概率論與數理統(tǒng)計第二章

概率論與數理統(tǒng)計第二章第1頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月一、隨機變量及其分布為了全面地研究隨機試驗的結果，揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，我們將隨機試驗的結果與實數對應起來，將隨機試驗的結果數量化，引入隨機變量的概念。例：（1）、投擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數，試驗所有的可能的結果是“出現(xiàn)1點”，“出現(xiàn)2點”，┅，“出現(xiàn)6點”等6種可能，若用一個變量X表示“出現(xiàn)的點數”，則X的所有可能取值為X=1，2，3，4，5，6。X

是一個變量．第2頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）：某段時間內到商場購物的顧客數記為X

，若M為商場對人數的最大容量，則X的可能取值為[0，M]上的某一個整數。（3）：一個質點沿著數軸進行隨機運動，它在數軸上的位置用坐標X來表示，則X的可能取值為實數R上的某一個實數。（4）：投擲一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正面還是反面，每一次試驗結果用一個實數X來表示，出現(xiàn)正面用“1”表示，出現(xiàn)反面用“0”表示，則X

所有可能取值為X=1，0。為了計算n次投擲中出現(xiàn)的正面數就只須計算其中“1”出現(xiàn)的次數。第3頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月

這些例子中，隨機試驗的每一個結果都對應著變量X

的一個確定的取值，這個數x是隨著試驗的結果的不同而變化的，因此，這些變量是定義在樣本空間上的樣本點的一個函數。這種量稱之為隨機變量。正如對隨機事件一樣，我們所關心的不僅是試驗會出現(xiàn)的結果，更重要的是要知道這些結果將以怎樣的概率出現(xiàn)，也即對隨機變量我們不但要知道它取什么數值，而且要知道它取這些數值的概率。第4頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月1、隨機變量的定義設={}為某隨機現(xiàn)象的樣本空間，稱定義在上的實值函數X=X()為隨機變量.注意：、隨機變量X()是樣本點的函數，其定義域為，其值域為R=(，)若X表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點數，則{X=1.5}

是不可能事件.

第5頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月

(2)、若X

為隨機變量，則{X=k}、{a

<

Xb}、……均為隨機事件.即{a

<

Xb}={；a

<

X()b

}、注意以下一些表達式：{X=k}={Xk}{X<k}；{a<Xb}={Xb}{Xa}；{X>b}={Xb}.(4)、同一樣本空間可以定義不同的隨機變量.為什么？第6頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月2、離散型隨機變量的分布與性質1)離散型隨機變量的定義如果隨機變量X的取值是有限個或至多可列無窮個，則稱X

為離散型隨機變量．第7頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月2)、離散型隨機變量的分布設離散型隨機變量X

的所有可能取值為記：則稱之為X的概率函數，又稱為X的概率分布離散型隨機變量的分布也可用表格形式表示：第8頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月凡是滿足上述兩個條件的任意一組數：都可以成為一個離散隨機變量的分布，則稱為離散型概率分布。離散型隨機變量X的概率分布若滿足以下兩個條件：第9頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例

2.1.1、

從1～10這10個數字中隨機取出5個數字，令X：取出的5個數字中的最大值．試求X的分布．具體寫出，即可得X

的分布：解：

X

的可能取值為5，6，7，8，9，10．并且第10頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例

2.1.2、設隨機變量X

的分布為解：由分布率的性質，得該級數為等比級數，故有所以：第11頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.1.3：設一汽車在開往目的地的道路上需經過四盞信號燈，每盞信號燈以概率p禁止汽車通過.以X表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數，求X

的分布律.(信號燈的工作是相互獨立的).P{X=3}=(1-p)3p第12頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月解：

以p

表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則 X

的分布為：或寫成：P{X=k}=(1-p)kp，k=0,1,2,3

P{X=4}=(1-p)4

Xpk

01234p

(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4

以p=1/2代入得：Xpk

01234

0.50.250.1250.06250.0625第13頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月求離散隨機變量的分布應注意：(1)確定隨機變量的所有可能取值;

(2)計算每個取值點的概率.

第14頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月3）、（0—1）分布及Bernoulli

試驗（概型）

設隨機變量X只可能取0與1兩個值，它的分布：

P{X＝k}＝pk(1一p)1-k，k＝0，1(0<p<1)，則稱X服從(0—1)分布或兩點分布。X01pk1-pp

(0—1)分布的分布也可寫成：第15頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月關于（0—1）分布

對于一個隨機試驗，如果它的樣本空間只包含兩個元素，即={e1，e2}，我們總能在上定義一個服從(0一1)分布的隨機變量來描述這個隨機試驗的結果。例如，對新生嬰兒的性別進行登記，檢查產品的質量是否合格，某車間的電力消耗是否超過負荷以及前面多次討論過的“拋硬幣”試驗等都可以用(0—1)分布的隨機變量來描述。(0一1)分布是經常遇到的一種分布。第16頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月設試驗E只有兩個可能結果：A及，則稱E為伯努利(Bernoulli)試驗。Bernoulli

試驗（概型）n重伯努利試驗

設P(A)＝p(0<p<1)，此時P()＝1-p。將E獨立地重復地進行n次，則稱這一串重復的獨立試驗為n重伯努利試驗。這里“重復”是指在每次試驗中P(A)＝p保持不變；“獨立”是指各次試驗的結果互不影響，即若以Ci記第i次試驗的結果，Ci為A或，i＝1，2，…，n．“獨立”是指

P{C1C2…Cn}＝P(C1)P(C2)…P(Cn)．第17頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月

例如，E是拋一枚硬幣觀察得到正面或反面。A表示得正面，這是一個伯努利試驗．如將硬幣拋n次，就是n重伯努利試驗。又如拋一顆骰子，若A表示得到“1點”，表示得到“非l點”。將骰子拋n次，就是n重伯努利試驗。再如在袋中裝有a只白球，b只黑球。試驗E是在袋中任取一只球，觀察其顏色。以A表示“取到白球”，P(A)＝a／(a+b)。若連續(xù)取球n次作放回抽樣，這就是n重伯努利試驗。然而，若作不放回抽樣，各次試驗不再相互獨立，因而不再是n重伯努利試驗了。第18頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月對于有限樣本空間，或者由可列個點構成的樣本空間，我們只要知道每一個樣本點所構成的基本事件的概率，便可了解整個樣本空間的統(tǒng)計規(guī)律性。但是對于由不可列個點構成的樣本空間，我們不可能逐點去認識它的統(tǒng)計規(guī)律性，即不可能把隨機變量X取每個實數的概率一一列舉，在實際中，我們感興趣的往往是隨機變量X取值于某個區(qū)間(a,b)的概率，或取值于若干個這種區(qū)間的概率，如測量誤差小于某個數的概率，壽命大于某個數的概率，雨量介于100毫米到120毫米之間的概率等等。需要引入連續(xù)型隨機變量來描述。3、連續(xù)型隨機變量的概率密度第19頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月1）、連續(xù)型隨機變量的概念與性質(1)、定義如果對于隨機變量X，如果存在一個非負可積的函數f(x)，（-∞<x<+∞),使得對于任意兩個實數a,b(a<b)，都有則稱X

為連續(xù)型隨機變量，其中函數f(x)稱為X

的概率密度函數,簡稱概率密度.第20頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）、概率密度函數的性質對于連續(xù)性隨機變量X，X取任一指定實數值a的概率均為0，即P{X=a}=0。第21頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月注意

：在計算連續(xù)型隨機變量落在某一區(qū)間的概率時，可以不必區(qū)分該區(qū)間是開區(qū)間或閉區(qū)間或半閉區(qū)間。例如有P{a<X≤b}＝P{a≤X≤b}=P{a<X<b}。這里，事件{X=a)并非不可能事件，但有P{X＝a}=0．這就是說，若A是不可能事件，則有P(A)=0；反之，若P(A)＝0，并不一定意味著A是不可能事件。以后當我們提到一個隨機變量X的“概率分布”時，指的是它的分布函數；或者，當X是連續(xù)型時指的是它的概率密度，當X是離散型時指的是它的分布律。第22頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.1.

4設

X

是連續(xù)型隨機變量，其密度函數為解：⑴由密度函數的性質第23頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月第24頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月均勻分布若隨機變量X的密度函數為記作

X~U[a,b]第25頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月密度函數的驗證第26頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月類似地可以定義第27頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.1.

5第28頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月4、隨機變量的分布函數

1）定義

設X是一個隨機變量，x是任意實數，函數稱為

X的分布函數．對于任意的實數x1,x2(x1<x2)，有：x1

x2

xXo0xxX分布函數F(x)在x處的函數值就表示隨機變量X取值于區(qū)間（-∞，x]上的概率，如果已知隨機變量X的分布函數F(x),那么隨機變量X取其它值的概率便可由此計算第29頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月2）、分布函數的基本性質（1）、0≤F(x)≤1（2）、F(x)是一個不減函數。

即對于任意實數x1,x2(x1<x2),有F(x1)≤F(x2);（3）、（4）、F(x)至多有可列個間斷點，并且在其間斷點處也是右連續(xù)的，即對于任何實數x，F(xiàn)(x+0)=F(x)第30頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月分布函數基本性質的證明⑴、F(x)是一個不減函數：

對于任意實數x1,x2(x1<x2),有

F(x1)≤F(x2);證：

F(X2)-F(X1)=P{X1＜X≤X2}≥0.第31頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月⑵證：第32頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月⑶、F(x)是右連續(xù)的。即F(x+0)=F(x)證：由于F(x)是不減函數，只須證明對于一列單調上升的數列x0>x1>x2>…>xn>…,xn→x成立

即可。因為第33頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月離散型隨機變量分布函數的計算

有了離散隨機變量的分布列，可以通過下式求得分布函數顯然這時F(x)是一個跳躍函數。第34頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月設隨機變量X的分布律為如右：求X的分布函數.Xpk

-212解：當x<-2

時，01xX2-2x例2.1.6第35頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月x1X2-2xXpk

-212第36頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月同理當-2012x1第37頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月-2012x1說明：分布函數F(x)在x=xk(k=1,2,…)處有跳躍，其跳躍值為

pk=P{X=xk}.Xpk

-212第38頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月

對離散隨機變量的分布函數應注意：

(1)F(x)是遞增的階梯函數;

(2)其間斷點均為右連續(xù)的;(3)其間斷點（不連續(xù)點）即為X的可能取值點;(5)其間斷點的跳躍的幅度等于X在該點的概率值。.（4）離散型隨機變量X的概率集中在F(x)的某些孤立點上（即不連續(xù)點上），在連續(xù)點概率為零。第39頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月離散型隨機變量的分布律與分布函數的關系：第40頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月

例2.1.7

一個靶子是半徑為2米的圓盤，設擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，并設射擊都能中靶，以X表示彈著點與圓心的距離.試求隨機變量X的分布函數.解：（1）若

x<0,則是不可能事件，于是（2）Xk是某一常數第41頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）若

,則是必然事件，于是第42頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月01231F(x)x第43頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.1.8設隨機變量X的分布函數為解：由分布函數的性質:解方程組得解第44頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.1.9設隨機變量X具有概率密度⑴、確定常數k；

⑵、求X的分布函數F(x)；

⑶、求P{1<X≤7/2}。第45頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月第46頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月第47頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月設X與Y同分布，X的密度為已知事件A={X>a}和B={Y>a}獨立，解:因為P(A)=P(B),P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)從中解得且P(AB)=3/4,求常數a.且由A、B獨立，得=2P(A)[P(A)]2=3/4從中解得:P(A)=1/2,由此得0<a<2,因此1/2=P(A)=P(X>a)例2.1.10第48頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.1.11設

X~求

F(x).解：第49頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月均勻分布的分布函數第50頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.1.12設電阻值R是一個隨機變量，均勻分布在900～1100。求R的概率密度及R落在950～1050的概率。解按題意，R的概率密度為第51頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月*連續(xù)型隨機變量的f(x)⊿x在概率中的含義

由概率密度f(x)的性質，有

若不計高階無窮小，有:

P{x<X≤x+⊿x}≈f(x)⊿x這表示X落在小區(qū)間（x,x+⊿x]上的概率近似地等f(x)⊿x。第52頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月注意點

(1)

(2)F(x)是(∞,+∞)上的連續(xù)函數;(3)P(X=x)=F(x)F(x0)=0;第53頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)P{a<X≤b}=P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a≤X≤b}=F(b)F(a).(5)當F(x)在x點可導時,

p(x)=當F(x)在x點不可導時,

可令p(x)=0.第54頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月[注意}在計算連續(xù)型隨機變量落在某一區(qū)間的概率時，可以不必區(qū)分該區(qū)間是開區(qū)間或閉區(qū)間或半閉區(qū)間。例如有P{a<X≤b}＝P{a≤X≤b}=P{a<X<b>。在這里，事件{X=a)并非不可能事件，

但有P{X＝a}=0．這就是說，若A是不可能事件，則有P(A)=0；反之，若P(A)＝0，并不一定意味著A是不可能事件。以后當我們提到一個隨機變量X的“概率分布”時，指的是它的分布函數；或者，當X是連續(xù)型時指的是它的概率密度，當X是離散型時指的是它的分布律。第55頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月連續(xù)型密度函數

X~p(x)(不唯一

)2.4.P(X=a)=0離散型分布列:pn

=P(X=xn)

(唯一

)2.F(x)=

3.F(a+0)=F(a);P(a<Xb)=F(b)F(a).4.點點計較5.F(x)為階梯函數。

5.F(x)為連續(xù)函數。

F(a0)=F(a).F(a0)

F(a).第56頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月二、隨機變量的函數的分布在實際中，我們常對某些隨機變量的函數更感興趣。例如，在一些試驗中，所關心的隨機變量往往不能由直接測量得到，而它卻是某個能直接測量的隨機變量的函數。比如我們能測量圓軸截面的直徑d，而關心的卻是截面面積A＝d2/4。這里，隨機變量A是隨機變量d的函數。我們將討論如何由已知的隨機變量X的概率分布去求得它的函數Y=g(X)(g(·)是已知的連續(xù)函數)的概率分布。第57頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機變量的函數第58頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月

若X是離散型隨機變量，其分布列為則Y=g(x)仍為離散型隨機變量，其分布列為yi有相同值時，要合并為一項，對應的概率相加。Xy1=g(x1)y2=g(x2)…yn=g(xn)…pkp1p2…pn…Xx1x2…xn…pkp1p2…pn…1、離散型隨機變量函數的分布第59頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.2.1第60頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月

設隨機變量

X

具有以下的分布律，試求Y=(X-1)2

的分布律.pkX-10120.20.30.10.4

解:

Y的所有可能取值為:0，1，4.且Y=0對應于(X-1)2=0，解得X=1，例2.2.2所以,P{Y=0}=P{X=1}=0.1,同理,P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+0.4=0.7,P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,所以，Y=(X-1)2的分布律為：pkY0140.10.70.2第61頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.2.3第62頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月第63頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月2、連續(xù)型隨機變量函數的分布1）、分布函數法：先求Y=g(X)的分布函數第64頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月設隨機變量X

具有概率密度：試求Y=X-4

的概率密度.解：(1)、先求Y=X-4

的分布函數

FY(y)：例2.2.4第65頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月

整理得Y=X-4

的概率密度為：本例用到變限的定積分的求導公式第66頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.2.5設隨機變量X具有概率密度求：隨機變量Y=2X+8的概率密度。第67頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月第68頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.2.6、設隨機變量X具有概率密度fX(x),-∞<x<∞,求Y=X2的概率密度。第69頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月第70頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月第71頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月第72頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.2.7

設X~求Y=eX的分布.y=ex

單調可導,反函數x=h(y)=lny,所以當y>0時,由此得解：第73頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月第74頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月第75頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月小結：1一般情形下求隨機變量函數的分布。2在函數變換嚴格單調時利用定理求隨機變量函數的分布。重點：掌握一般情形下求隨機變量函數分布的方法：先求分布函數，再求導，求隨機變量函數的概率密度。第76頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月討論隨機變量的數字特征的意義

前面討論了隨機變量的分布函數，我們看到分布函數能夠完整地描述隨機變量的統(tǒng)計特性。但在一些實際問題中，不需要去全面考察隨機變量的變化情況，而只需知道隨機變量的某些特征，因而并不需要求出它的分布函數。例如，在評定某一地區(qū)糧食產量的水平時，在許多場合只要知道該地區(qū)的平均產量；又如在研究水稻品種優(yōu)劣時，時常是關心稻穗的平均稻谷粒數；再如檢查一批棉花的質量時，既需要注意纖維的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的偏離程度，平均長度較大、偏離程度較小，質量就較好。從上面的例子看到，與隨機變量有關的某些數值，雖然不能完整地描述隨機變量，但能描述隨機變量在某些方面的重要特征。這些數字特征在理論和實踐上都具有重要的意義。下面將介紹隨機變量的常用數字特征：數學期望、方差、和矩．第77頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例：有甲、乙兩個射手，他們的射擊技術用下表表出：甲射手擊中環(huán)數8910概率0.30.10.6

乙射手擊中環(huán)數8910概率0.20.50.3試問哪個射手本領較好？三、隨機變量的數字特征第78頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月解：設兩個選手各射N槍，則有甲：8×0.3N＋9×0.1N＋10×0.6N=9.3N

乙：8×0.2N＋9×0.5N＋10×0.3N=9.1N平均甲射中9.3環(huán)，乙射中9.1環(huán)，因此甲射手的本領好些。第79頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月1、離散型隨機變量的數學期望

設離散型隨機變量X的分布率為若級數絕對收斂，則稱的和為隨機變量X的數學期望（或均值），記為EX。即數學期望也稱為均值。

第80頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為，

若積分絕對收斂，則稱積分的值為X的數學期望。記為2、連續(xù)型隨機變量的數學期望第81頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.3.1若現(xiàn)從中任抽一名考生，其成績用X表示，則X為隨機變量，分布律為：顯然：第82頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.3.2設離散型隨機變量X

的分布律為：X012P0.10.20.7設離散型隨機變量X的分布律為：X012P0.70.20.1第83頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.3.3按規(guī)定，火車站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一輛客車到站，但到站的時刻是隨機的，且兩者到站的時間相互獨立，其規(guī)律為：到站時間8:10,9:108:30,9:308:50,9:50

概率1/63/62/6(1)旅客8:00到站，求他侯車時間的數學期望。(2)旅客8:20到站，求他侯車時間的數學期望。12第84頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月解：X

10

30

50P1/63/62/6(1)

旅客8：00到達X的分布率為設旅客的候車時間為X（以分記）

（2）旅客8：20到達X的分布率為

P3/62/6(1/6)(1/6)(3/6)(1/6)(2/6)(1/6)X1030507090由于第一輛車沒到而必須要等第二輛車，不僅要考慮第二輛車到的概率，同時也要考慮第一輛車沒到的概率第85頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.3.4：隨機變量X取值求數學期望。第86頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.3.5：設X～U(a,b),求E(X)。第87頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.3.6：由兩個相互獨立工作的電子裝置，它們的壽命Xk(k=1,2)服從同一指數分布，其概率密度為若將這兩個電子裝置串聯(lián)連接組成整機，求整機壽命（以小時計）N的數學期望。第88頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月第89頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月3、數學期望性質及其證明第90頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月第91頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月第92頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.3.7一民航送客載有20位旅客自機場開出，旅客有10個車站可以下車，如到達一個車站沒有旅客下車就不停車。以X表示停車的次數。求EX（設每個旅客在各個車站下車是等可能的，并設各旅客是否下車相互獨立）。第93頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月解：第94頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月4、隨機變量的函數Y=g(X)的數學期望第95頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.3.8

設隨機變量X的概率分布為求E(X2+2).=(02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4=1+3/4+6/4=13/4解:E(X2+2)X012P1/21/41/4第96頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.3.9設X~

求下列X

的函數的數學期望.(1)2X1,(2)(X

2)2解:(1)、E(2X

1)=1/3,(2)、

E(X

2)2=11/6.第97頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月5、方差第98頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機變量X的方差與數學期望有如下關系：

D(X)=E(X2)-[E(X)]2注：方差是一個非負常數，描述了隨機變量的所有取值的分散程度。第99頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.3.10第100頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月第101頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月6、方差的性質及其證明第102頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月第103頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月第104頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.3.11

,求E(X),Var(X).解:(1)E(X)==1(2)E(X2)==7/6所以,Var(X)=E(X2)[E(X)2]=7/61=1/6設X~第105頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)稱注意點X

=

(X)=(1)

方差反映了隨機變量相對其均值的偏離程度.

方差越大,則隨機變量的取值越分散.為X的標準差.標準差的量綱與隨機變量的量綱相同.第106頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月矩的概念第107頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機變量的標準化

設Var(X)>0,令則有E(Y)=0,Var(Y)=1.稱Y為X

的標準化.第108頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月1、二項分布X為n重伯努里試驗中“成功”的次數,如果隨機變量X的分布律為四、幾種重要的離散分布第109頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月

考慮n重伯努里試驗中，事件A恰出現(xiàn)k次的概率。以X表示n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數，X是一個隨機變量，我們來求它的分布律。X所有可能取的值為o，1，2，…，n．由于各次試驗是相互獨立的，故在n次試驗中，事件A發(fā)生k次的概率伯努利試驗與二項分布第110頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月第111頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月二項分布的最可能值二項分布的分布率先是隨著

k的增大而增大，達到其最大值后再隨著k的增大而減少．這個使得第112頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.4.1：按規(guī)定，某種型號電子元件的使用壽命超過1500小時的為一級品。已知某一大批產品的一級品率為0．2，現(xiàn)在從中隨機地抽查20只。問20只元件中恰有k只(k=0，，…，20)為一級品的概率是多少?

解這是不放回抽樣。但由于這批元件的總數很大，且抽查的元件的數量相對于元件的總數來說又很小，因而可以當作放回抽樣來處理，這樣做會有一些誤差，但誤差不大。我們將檢查一只元件看它是否為一級品看成是一次試驗，檢查20只元件相當于做20重伯努利試驗。以X記20只元件中一級品的只數，那么，X是一個隨機變量，且有X～b(20，0．2)。即得所求概率為第113頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.4.2：某人進行射擊，設每次射擊的命中率為0.02，獨立射擊400次，試求至少擊中兩次的概率。解：將一次射擊看成是一次試驗．設擊中的次數為X，則X～b(400，0．02)。X的分布律為第114頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.4.3一大批產品的次品率為0.1，現(xiàn)按重復抽樣方式從中取出15件．試求下列事件的概率：

B={取出的15件產品中恰有2件次品}

C={取出的15件產品中至少有2件次品}

由于從一大批產品中按重復抽樣方式取15件產品，故可看作是一15重Bernoulli試驗．解：所以，第115頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.4.4一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案是正確的．某學生靠猜測能答對4道題以上的概率是多少？則答5道題相當于做5重Bernoulli試驗．解：每答一道題相當于做一次Bernoulli試驗，第116頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月所以第117頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.4.5對同一目標進行300次獨立射擊，設每次射擊時的命中率均為0.44，試求300次射擊最可能命中幾次？其相應的概率是多少？

則由題意解：對目標進行300次射擊相當于做300重Bernoulli

試驗．令：因此，最可能射擊的命中次數為其相應的概率為第118頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月二項分布的數學期望。

二項分布b(n,p)的方差=np(1p)

第119頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月

易知，P{X=k)≥0，k=0，1，2，…，且有2、泊松(Poisson)

分布如果隨機變量X

的分布律為

則稱隨機變量X服從參數為λ的Poisson

分布．第120頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月分布律的驗證⑴由于可知對任意的自然數k，有⑵又由冪級數的展開式，可知所以是分布律．退出第121頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月泊松定理定理:(二項分布的泊松近似)在n重伯努里試驗中，記pn

為一次試驗中成功的概率.若npn

，則在應用中，當p相當小（一般當p≤0.1)時，我們用下面近似公式第122頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月

把隨機現(xiàn)象中事件的發(fā)生看作“流”的時候，如果事件流滿足：(1)平穩(wěn)性。即流的發(fā)生次數只與時間間隔⊿t的長短有關，而與初始時刻無關；<2)無后效性。即任一時間t0前流的發(fā)生與t0后流的發(fā)生無關；(3)普通性。即當時間間隔⊿t很小時，流至多發(fā)生一次。則“流”稱為泊松流，其概率分布服從泊松分布。什么樣的隨機現(xiàn)象服從泊松分布？

如商店里等待服務的顧客數，電話交換臺的呼喚數，火車站的乘客數，鑄件的氣孔數，棉布的疵點數，田地里一定面積上的雜草數，房間里單位面積上的塵埃數，等等，都屬于普阿松分布的隨機變量。泊松分布被稱為空間散布點子的幾何模型。第123頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月如果隨機變量X

的分布律為試確定未知常數c.例2.4.7由分布率的性質有解：第124頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.4.8設隨機變量X

服從參數為λ的Poisson分布，且已知解：隨機變量X

的分布律為由已知第125頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月得由此得方程得解所以，第126頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月泊松分布的數學期望。

泊松分布P()的方差=第127頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月3、超幾何分布如果隨機變量X的分布律為N個產品中有M個不合格品，超幾何分布對應于不返回抽樣模型

：

從中抽取n個，不合格品的個數為X.第128頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月

超幾何分布、二項分布和泊松分布都是重要的離散型隨機變量的概率分布。有時，他們的概率計算會十分繁冗。當試驗次數n很大時，可以推導出這三個分布間有一種近似關系式

這里，第一個等式要求n很大，且n/N較小，取p=M/N即成立。第二個等式要求n很大時成立。實際使用時，n≥20即可，當n≥50時，效果更好。而泊松分布可通過查表計算，比較簡單。超幾何分布、二項分布和泊松分布之間的關系第129頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月超幾何分布的概率背景:(不重復抽樣）

一批產品有

N件，其中有M

件次品，其余N-M

件為正品．現(xiàn)從中取出

n

件．令X：取出n

件產品中的次品數．則X的分布律為第130頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月記為X~Ge(p)

X為獨立重復的伯努里試驗中，“首次成功”時的試驗次數.

幾何分布具有無記憶性，即：

P(X>m+n|X>m)=P(X>n)幾何分布第131頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何分布的無記憶性

在貝努利試驗中，等待首次成功的時間服從幾何分布?，F(xiàn)在假定已知在前m次試驗中沒有出現(xiàn)成功，那么為了達到首次成功所再需要的等待時間′也還是服從幾何分布，與前面的失敗次數m無關，形象化地說，就是把過去的經歷完全忘記了。因此無記憶性是幾何分布所具有的一個有趣的性質。但是更加有趣的是，在離散型分布中，也只有幾何分布才具有這樣一種特殊的性質。

若是取正整數值的隨機變量，并且，在已知>k的條件下，=k+1的概率與k無關，那么服從幾何分布。什么樣的隨機現(xiàn)象服從幾何分布？第132頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何分布的數學期望。

幾何分布Ge(p)的方差=(1p)/p2第133頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月五、幾種重要的連續(xù)型隨機變量分布1、指數分布如果隨機變量X的密度函數為第134頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月指數分布的分布函數

指數分布Exp()期望:E(X)=1/

指數分布Exp()的方差=1/2第135頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月指數分布的無記憶性

這一性質稱為指數分布的無記憶性。事實上可以證明指數分布是唯一具有上述性質的連續(xù)型分布。第136頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.5.1一種電子元件的使用壽命X（單位：小時）服從參數為10的指數分布，求其中一個的使用壽命在10到20小時的概率。令：B={使用為10~20小時}第137頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月2、正態(tài)分布xf(x)0是位置參數.

是尺度參數.第138頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布分布函數圖示第139頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布密度函數的圖形性質xf(x)0第140頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月0xf(x)第141頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月x0f(x)第142頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月x0f(x)第143頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月p(x)x0xx

顯然(-x)=1-(x)標準正態(tài)分布第144頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布的計算：（1）標準正態(tài)分布的計算：第145頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月若X~N(0,1),則

(1)P(X

a)=(a);(2)P(X>a)=1(a);(3)P(a<X<b)=(b)(a);(4)若a0,則

P(|X|<a)=P(a<X<a)=(a)(a)

=(a)[1(a)]=2(a)1

第146頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月

例2.5.2設X~N(0,1),求

P(X>1.96),P(|X|<1.96)=1(1.96)=1(1(1.96))=0.975(查表得)=2(1.96)1=0.95=(1.96)解:P(X>1.96)P(|X|<1.96)=20.9751第147頁，課件共167頁，創(chuàng)作于2023年2月

設X~N(0,1),P(X

b)=0.9515,

P(X

a)=0.04947,求a,b.解:

(b)=0.9515>1/2,

所以b>0,

反查表得:

(1.66)=0.9515,

故b=1.66而(a)=0.0495<1/2,所以

a<0,