有限與無限的問題

有限與無限的問題第1頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月2高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的區(qū)別？第2頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3更加全面；更加深刻；更加細(xì)微；更加本質(zhì)；更加理論化；更加系統(tǒng)化；…………第3頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月4高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的區(qū)別？從研究“常量”發(fā)展到研究“變量”從研究“有限”發(fā)展到研究“無限”

初等數(shù)學(xué)更多地在“有限”的領(lǐng)域里討論，更多地以“有限”為手段和工具進(jìn)行討論；高等數(shù)學(xué)則更多地在“無限”的領(lǐng)域里討論，更多地以“無限”為手段和工具進(jìn)行討論。第4頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月5什么是悖論

悖論：從“正確”的前提出發(fā)，經(jīng)過“正確”的邏輯推理，得出荒謬的結(jié)論。

悖論（paradox）具體是指：由一個(gè)被承認(rèn)是真的命題為前提，設(shè)為B，進(jìn)行正確的邏輯推理后，得出一個(gè)與前提互為矛盾命題的結(jié)論非B；反之，以非B為前提，亦可推得B。那么命題B就是一個(gè)悖論。所謂正確第5頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月6

例如：“甲是乙”與

“甲不是乙”這兩個(gè)命題中總有一個(gè)是錯(cuò)的；但“本句話是七個(gè)字”與

“本句話不是七個(gè)字”又均是對(duì)的，這就是悖論。第6頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月7

再如：“萬物皆數(shù)”學(xué)說認(rèn)為“任何數(shù)都可表為整數(shù)的比”；但以1為邊的正方形的對(duì)角線之長(zhǎng)卻不能表為整數(shù)的比，這也是悖論。第7頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月

1.外祖母悖論

我會(huì)穿梭時(shí)空，回到過去，把我自己的外祖母殺了。我外祖母沒了，我媽就沒了，我也就沒了。而我沒了，就沒有人殺我外祖母，我外祖母就不會(huì)死，那我又有了。而有了我，外祖母就沒了，我也就沒了……這就是悖論，自己與自己就有矛盾。

3.“說謊者循環(huán)”

A說：“下面是句謊話。

B說：“上面是句真話。”

2.說謊者悖論——自指引發(fā)的悖論

“我正在說謊”

有克利特人中的一個(gè)本地中先知說：“克利特人常說謊話，乃是惡獸，又饞又懶”(《圣經(jīng)·提多書》第一章)第8頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月物理學(xué)中“平行宇宙”

這一理論中，世界不是只有一個(gè)，而是有許多平行的世界存在，按照如今的歷史過程：羅馬帝國(guó)時(shí)代、大英帝國(guó)時(shí)代、工業(yè)時(shí)代、第一次世界大戰(zhàn)、第二次世界大戰(zhàn)、電腦網(wǎng)絡(luò)……如果將整個(gè)工業(yè)時(shí)代去掉，那至此以后的歷史軌跡將會(huì)得到巨大的改變，或者兩次世界大戰(zhàn)都不會(huì)出現(xiàn)，又或者世界大戰(zhàn)將會(huì)在我們的另外一個(gè)平行的世界里存在，也就是說另外一個(gè)世界如今的我們可能正在遭受著戰(zhàn)爭(zhēng)的陰影。這個(gè)時(shí)候“外祖母悖論”就有了合理的解釋：一個(gè)人可以回到過去殺死自己的外祖母，但這將導(dǎo)致世界進(jìn)入兩個(gè)不同的軌道，一條中有那個(gè)人（原先的軌道），而另一條中沒有那個(gè)人。第9頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月《TheTimeMachine》《TheMatrix》第10頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月第11頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月第12頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月13

一、芝諾悖論---由無限引出的

芝諾（前490？—前430？）是（南意大利的）愛利亞學(xué)派創(chuàng)始人巴門尼德的學(xué)生。他企圖證明該學(xué)派的學(xué)說：“多”和“變”是虛幻的，不可分的“一”及“靜止的存在”才是唯一真實(shí)的；運(yùn)動(dòng)只是假象。于是他設(shè)計(jì)了四個(gè)例證，人稱“芝諾悖論”。這些悖論是從哲學(xué)角度提出的。第13頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月1）兩分法向著一個(gè)目的地運(yùn)動(dòng)的物體，首先要先走完路程的1/2，再走完剩下總路程的1/2，再走完剩下的1/2如此類推，以至無窮，永遠(yuǎn)不能到達(dá)終點(diǎn)。結(jié)論是：無窮是不可窮盡的過程，運(yùn)動(dòng)永遠(yuǎn)不可能開始的。

第14頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月15

2）阿基里斯(Achilles)悖論：阿基里斯追不上烏龜。第15頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3）飛矢不動(dòng)悖論一支飛行的箭是靜止的：由于每一時(shí)刻這支箭都有其確定的位置因而是靜止的，因此箭就不能處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。第16頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月4）“操場(chǎng)或游行隊(duì)伍”A、B兩件物體以等速向相反方向運(yùn)動(dòng)。從靜止的C看來，比如說，A、B都在1小時(shí)內(nèi)移動(dòng)了2公里；可是，從A看來，則B在1小時(shí)內(nèi)就移動(dòng)了4公里。由于B保持等速移動(dòng)，所以移動(dòng)2公里的時(shí)間應(yīng)該是移動(dòng)4公里時(shí)間的一半。因而一半的時(shí)間等于兩倍的時(shí)間。第17頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月182.癥結(jié)——“有限與無限”的矛盾無限段長(zhǎng)度的和，可能是有限的；無限段時(shí)間的和，也可能是有限的。3.芝諾悖論的意義：

1）促進(jìn)了嚴(yán)格、求證數(shù)學(xué)的發(fā)展

2）較早的“反證法”及“無限”的思想

3）尖銳地提出離散與連續(xù)的矛盾：空間和時(shí)間有沒有最小的單位？第18頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月19

芝諾的前兩個(gè)悖論是反對(duì)“空間和時(shí)間是連續(xù)的”，后兩個(gè)悖論則是反對(duì)“空間和時(shí)間是離散的”。在芝諾看來，這兩種理論都有毛??；所以，“運(yùn)動(dòng)只是假象，不動(dòng)不變才是真實(shí)”。芝諾的哲學(xué)觀點(diǎn)雖然不對(duì)，但是，他如此尖銳地提出了空間和時(shí)間是連續(xù)還是離散的問題，引起人們長(zhǎng)期的討論，促進(jìn)了認(rèn)識(shí)的發(fā)展，不能不說是巨大的貢獻(xiàn)。第19頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月/paradox-box/

從驚訝到思考——數(shù)學(xué)悖論奇景第20頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月21二、“有無限個(gè)房間”的旅館

1.“客滿”后又來1位客人（“客滿”？）

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2345┅k+1┅

空出了1號(hào)房間

第21頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月22

2.客滿后又來了一個(gè)旅游團(tuán)，旅游團(tuán)中有無窮個(gè)客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2468┅2k┅

空下了奇數(shù)號(hào)房間

第22頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月23

3.客滿后又來了一萬個(gè)旅游團(tuán)，每個(gè)團(tuán)中都有無窮個(gè)客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

10001200023000340004┅10001×k┅

給出了一萬個(gè)、又一萬個(gè)的空房間

第23頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月24全面、深刻地揭示本質(zhì)的回答

是容易推廣的。第24頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月25

2.客滿后又來了一個(gè)旅游團(tuán)，旅游團(tuán)中有無窮個(gè)客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2468┅2k┅

空下了奇數(shù)號(hào)房間

共兩個(gè)這樣的旅游團(tuán)，所以把房間兩個(gè)一份、兩個(gè)一份地分，可以讓兩個(gè)旅游團(tuán)的1號(hào)客人、2號(hào)客人、。。。分別入住。

第25頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月26

3.客滿后又來了一萬個(gè)旅游團(tuán)，每個(gè)團(tuán)中都有無窮個(gè)客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

10001200023000340004┅10001×k┅

給出了一萬個(gè)、又一萬個(gè)的空房間

第26頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月27全面、深刻地揭示本質(zhì)的回答

是容易推廣的。該旅館客滿后又來了9857個(gè)旅游團(tuán)，每個(gè)團(tuán)中都有無窮個(gè)客人，如何安排？該旅館客滿后又來了10億個(gè)旅游團(tuán)，每個(gè)團(tuán)中都有無窮個(gè)客人，如何安排？第27頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月28是否有人想提什么問題？第28頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月29

4.該旅館客滿后又來了無窮個(gè)旅游團(tuán)，每個(gè)團(tuán)中都有無窮個(gè)客人，還能否安排？

“無窮大！任何一個(gè)其他問題都不曾如此深刻地影響人類的精神；任何一個(gè)其他觀點(diǎn)都不曾如此有效地激勵(lì)人類的智力；然而，沒有任何概念比無窮大更需要澄清……”----Hilbert第29頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月30三、無限與有限的區(qū)別和聯(lián)系

1.區(qū)別

1）在無限集中，“部分可以等于全體”（這是無限的本質(zhì)），而在有限的情況下，部分總是小于全體。第30頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月31

當(dāng)初的伽利略悖論，就是因?yàn)闆]有看到

“無限”的這一個(gè)特點(diǎn)而產(chǎn)生的。

1234567891011…n…?????????????149162536496481100121…n2…

[該兩集合：有一一對(duì)應(yīng)，于是推出兩集合的元素個(gè)數(shù)相等；但由“部分小于全體”，又推出兩集合的元素個(gè)數(shù)不相等。這就形成悖論。]第31頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月32

2.）

“有限”時(shí)成立的許多命題，對(duì)“無限”不再成立

（1）實(shí)數(shù)加法的結(jié)合律在“有限”的情況下，加法結(jié)合律成立:(a+b)+c=a+(b+c)，

a，b，c

第32頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月33

在“無限”的情況下，加法結(jié)合律不再成立。如第33頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月34

（2）有限級(jí)數(shù)一定有“和”?！?/p>

是個(gè)確定的數(shù)無窮級(jí)數(shù)一定有“和”。×

則不是個(gè)確定的數(shù)。稱為該級(jí)數(shù)“發(fā)散”。反之稱為“收斂”。第34頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月35

2.聯(lián)系

在“有限”與“無限”間建立聯(lián)系的手段，往往很重要。

1）數(shù)學(xué)歸納法

通過有限的步驟，證明了命題對(duì)無限個(gè)自然數(shù)均成立。

2）極限

通過有限的方法，描寫無限的過程。

如：；自然數(shù)N，都，使時(shí)，。

第35頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月36

3）無窮級(jí)數(shù)

通過有限的步驟，求出無限次運(yùn)算的結(jié)果，如

4）遞推公式,n=2,3,…

第36頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月37

3.數(shù)學(xué)中的無限在生活中的反映

1）大煙囪是圓的：每一塊磚都是直的（整體看又是圓的）

2）銼刀銼一個(gè)光滑零件：每一銼銼下去都是直的（許多刀合在一起的效果又是光滑的）第37頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月38

3）不規(guī)則圖形的面積：正方形的面積，長(zhǎng)方形的面積三角形的面積，多邊形的面積，圓面積。規(guī)則圖形的面積→不規(guī)則圖形的面積？法Ⅰ.用方格套（想像成透明的）。方格越小（格子的數(shù)目越多），所得面積越準(zhǔn)。

第38頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月39

法Ⅱ.首先轉(zhuǎn)化成求曲邊梯形的面積，（不規(guī)則圖形→若干個(gè)曲邊梯形），再設(shè)法求曲邊梯形的面積：劃分，求和，矩形面積之和近似等于曲邊梯形面積；越小，就越精確；再取極，就得到曲邊梯形的面積。第39頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月40

四、潛無限與實(shí)無限

1．潛無限與實(shí)無限簡(jiǎn)史

潛無限是指把無限看成一個(gè)永無終止的過程，認(rèn)為無限只存在于人們的思維中，只是說話的一種方式，不是一個(gè)實(shí)體。第40頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月41

從古希臘到康托以前的大多數(shù)哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家都持這種潛無限的觀點(diǎn)。他們認(rèn)為“正整數(shù)集是無限的”來自我們不能窮舉所有正整數(shù)。例如，可以想象一個(gè)個(gè)正整數(shù)寫在一張張小紙條上，從1，2，3，…寫起，每寫一張，就把該紙條裝進(jìn)一個(gè)大袋子里，那么，這一過程將永無終止。因此，把全體正整數(shù)的袋子看作一個(gè)實(shí)體是不可能的，它只能存在于人們的思維里。亞里士多德只承認(rèn)潛無限，不承認(rèn)直線是由點(diǎn)構(gòu)成。

第41頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月42

但康托不同意這一觀點(diǎn)，他很愿意把這個(gè)裝有所有正整數(shù)的袋子看作一個(gè)完整的實(shí)體。這就是實(shí)無限的觀點(diǎn)。康托的工作是劃時(shí)代的，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響，但當(dāng)時(shí)，康托的老師克羅內(nèi)克爾，卻激烈反對(duì)康托的觀點(diǎn)。所以康托當(dāng)時(shí)的處境和待遇都不太好。高斯反對(duì)實(shí)無限：反對(duì)把無窮量作為現(xiàn)實(shí)的實(shí)體，認(rèn)為無限只不過是一種說話的方式

第42頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)無限、潛無限只是一個(gè)硬幣的兩個(gè)面兩種無窮思想經(jīng)歷了此消彼長(zhǎng)，兩種無限在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中都是有用武之地。微積分采用潛無限，非標(biāo)準(zhǔn)分析采用實(shí)無限無窮本身是一個(gè)矛盾體，既是一個(gè)需無窮逼近的過程，也是一個(gè)可供研究的實(shí)體Hilbert認(rèn)為：無窮是一個(gè)永恒之謎，無窮是人類心情寧靜的最大敵人第43頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月44康托GeorgFerdinandPhilipCantor(1845～1918)德國(guó)數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862年17歲時(shí)入瑞士蘇黎世大學(xué),翌年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué),主修數(shù)學(xué)，從學(xué)于E.E.庫默爾、K.（T.W.）外爾斯特拉斯和L.克羅內(nèi)克。1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。1867年在庫默爾指導(dǎo)下以數(shù)論方面的論文獲博士學(xué)位。1869年在哈雷大學(xué)通過講師資格考試，后即在該大學(xué)任講師，1872年任副教授，1879年任教授。第44頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月由于康托爾的無窮學(xué)說從根本上否定了“整體大于部分”的觀念，而且他在無限王國(guó)走得如此遠(yuǎn)，以至于同時(shí)代的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家都不能理解他的觀點(diǎn)，懼怕集合論。有人說，康托爾的集合論是一種“疾病”，康托爾的概念是“霧中之霧”，甚至說康托爾是“瘋子”。來自數(shù)學(xué)權(quán)威們的巨大精神壓力終于摧垮了康托爾，使他心力交瘁，患了精神分裂癥，被送進(jìn)精神病醫(yī)院。1918年1月6日，康托爾在一家精神病院去世。

康托的無窮集合論也導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。

第45頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月三次數(shù)學(xué)危機(jī)與“無限的聯(lián)系

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的要害是不認(rèn)識(shí)無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，它可以看成是無窮個(gè)有理數(shù)組成的數(shù)列的極限。。

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的要害是極限理論的邏輯基礎(chǔ)不完善，而極限正是“有窮過渡到無窮”的重要手段。貝克萊的責(zé)難，也集中在“無窮小量”上。由于無窮和有窮的本質(zhì)區(qū)別，所以極限的嚴(yán)格定義，極限的存在性，無窮級(jí)數(shù)的收斂性這樣一些問題就顯得特別重要。

第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的要害是“是其本身成員的所有集合的集合”這樣界定集合的說法有毛病。人們犯了自我指謂、惡性循環(huán)的錯(cuò)誤。而且“所有集合的集合”這樣的說法涉及無窮多個(gè)集合，有些矛盾可能掩蓋在其中難以發(fā)覺，特別是無窮集合之間也可能比較大小，這一新鮮事物讓許多人難以接受。第46頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月47

2．無限集合也有“大小”

——從“一一對(duì)應(yīng)”說起

實(shí)無限的觀點(diǎn)讓我們知道，同樣是無限集合，也可能有不同的“大小”。正整數(shù)集合是最“小”的無限集合。實(shí)數(shù)集合比正整數(shù)集“大”。實(shí)數(shù)集合上全體連續(xù)函數(shù)的集合又比實(shí)數(shù)集合更大。不存在最“大”的無限集合（即對(duì)于任何無限集合，都能找到更“大”的無限集合）。第47頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月

“無窮集合”的本質(zhì)“無窮集合”中一定可以找到一個(gè)真子集，與全集一一對(duì)應(yīng)。如果一個(gè)集合中能夠找到一個(gè)真子集，與全集一一對(duì)應(yīng)，這個(gè)集合一定是“無窮集合”。第48頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月49

這需要“一一對(duì)應(yīng)”的觀點(diǎn)。

1）“一一對(duì)應(yīng)”——雙射（單射+滿射）

2）集合的勢(shì)|A|——集合中元素的多少

3）|N|=可數(shù)無窮勢(shì)a

，|Q|=a4）|R|=不可數(shù)無窮（稱連續(xù)統(tǒng)勢(shì)c）,

：無理數(shù)比有理數(shù)多得多。第49頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月50

5）無窮集合可能有不同的勢(shì)，其中最小的勢(shì)是a；不存在最大的勢(shì)。

6）“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”長(zhǎng)期未徹底解決“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”：可數(shù)無窮a是無限集中最小的勢(shì)，連續(xù)統(tǒng)勢(shì)c是（否？）次小的勢(shì)。

？第50頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月51

康托1882年曾認(rèn)為他證明了這一假設(shè)，后來發(fā)現(xiàn)證明有錯(cuò)。直到現(xiàn)在，這一問題仍吸引著一些數(shù)學(xué)家的興趣。第51頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月無限可分與原子論很多思想家都研究過無窮大。古希臘的哲學(xué)家們就一條線段(或者就任何數(shù)量而言)，是不是可無限地被分割，或者說是不是可以最終得到一個(gè)不可分割的點(diǎn)(即“原子”)等問題，展開了無休止的爭(zhēng)論。他們的現(xiàn)代追隨者——物理學(xué)家們今天仍然還在設(shè)法解決同一個(gè)問題，他們使用巨大的粒子加速器尋找“基本粒子”——那些構(gòu)成整個(gè)宇宙的基本磚塊。天文學(xué)家一直在從另一個(gè)極端的——無限廣闊的——尺度上思索著無窮大問題。我們的宇宙真像它所呈現(xiàn)在晴朗的黑夜那樣無窮無盡，或是它有一個(gè)邊界(在這個(gè)邊界之外什么東西也不存在)嗎？有限宇宙的可能性似乎是對(duì)我們常識(shí)的一種挑戰(zhàn)。我們可以在任何方向上一直走下去而永遠(yuǎn)也到不了“邊”，這個(gè)事實(shí)不是很清楚嗎？但是我們將不難看出，當(dāng)研究無窮大時(shí)，“常識(shí)”是一個(gè)非常差勁的向?qū)В?/p>

第52頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月

古希臘哲學(xué)家、詩人盧克萊修認(rèn)為宇宙是無限的，在其哲理長(zhǎng)詩《物性論》中曾提到：如果你說宇宙是有限的，那么我的拐杖就能扔出這個(gè)有限的宇宙去！第53頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼對(duì)這一問題給出了解答，舉例說明：一只圓盤的表面是有限的，也是有界的，一只螞蟻?zhàn)叩綀A盤的邊界就會(huì)掉下去；而一個(gè)足球的表面是有限的，卻是無界的，無論螞蟻在球面上怎么走都不會(huì)碰到邊界．這種對(duì)“無限”和“無界”的區(qū)分，尤其是有限無界的提法具有很重要的哲學(xué)意義：否定了宇宙是無限的說法。

即：這個(gè)宇宙是有限的，而不是無限的；這個(gè)宇宙不是無限宇宙中的有限宇宙，在這個(gè)宇宙之外已經(jīng)沒有任何空間了！第54頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月55

五．哲學(xué)中的無限

1．哲學(xué)對(duì)“無限”的興趣

哲學(xué)是研究整個(gè)世界的科學(xué)。自從提出“無限”的概念，就引起了哲學(xué)家廣泛的關(guān)注和研究?，F(xiàn)在我們知道哲學(xué)中有下邊一些命題：

第55頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月56

物質(zhì)是無限的；時(shí)間與空間是無限的；物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)形式是無限的。一個(gè)人的生命是有限的；一個(gè)人對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)是有限的。第56頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月57

2．?dāng)?shù)學(xué)對(duì)“無限”的興趣

數(shù)學(xué)則更嚴(yán)密地研究有限與無限的關(guān)系，大大提高了人類認(rèn)識(shí)無限的能力。在有限環(huán)境中生存的有限的人類，獲得把握無限的能力和技巧，那是人類的智慧；在獲得這些成果過程中體現(xiàn)出來的奮斗與熱情，那是人類的情感；對(duì)無限的認(rèn)識(shí)成果，則是人類智慧與熱情的共同結(jié)晶。一個(gè)人，若把自己的智慧與熱情融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究之中，就會(huì)產(chǎn)生一種特別的感受。如果這樣，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅不是難事，而且會(huì)充滿樂趣。