高數(shù)課件不定積分d2 5微分

求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).1

+

ex￠1y方法2

等式兩邊同時對

y

求導(dǎo)d

x

d

xd

y

d

y復(fù)習(xí)與思考題1.

設(shè)解:

方法1機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束,求0\d

x

t

=d

y2.

設(shè)解：方程組兩邊同時對t

求導(dǎo),得d

yd

t機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、微分的概念二、微分運算法則三、微分在近似計算中的應(yīng)用四、微分在估計誤差中的應(yīng)用第五節(jié)函數(shù)的微分第二章機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、微分的概念x0DxDx)2x0Dx(DxA

=

x20x0關(guān)于△x

的線性主部Dx

fi

0

時為高階無窮小故稱為函數(shù)在x0

的微分得增量D

x

時,面積的增量為引例:

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,其邊長由x0

變到x0

+

Dx

,

問此薄片面積改變了多少?設(shè)薄片邊長為x

,面積為A

,則A

=x2

,當(dāng)x

在x0取機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義:若函數(shù)定理:

函數(shù)在點

x0

的增量可表示為=

ADx

+

o(Dx)(A

為不依賴于△x

的常數(shù))在點x0

可微的充要條件是即dy

=

f

(x0

)Dx則稱函數(shù)

y

=

f

(x)

在點的微分,

記作dy

=

ADx可微,而AD

x

稱為即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束證:“必要性”已知在點 可微

,

則Dxfi

0Dxfi

0

Dx\

lim

D

y

=

lim

(

A

+

o(Dx)

)

=

A故D

y

=

f

(x0

+

Dx)

-

f

(x0

)

=

ADx

+

o(Dx)Dx在點 的可導(dǎo),

且在點x0

可微的充要條件是定理:函數(shù)在點 處可導(dǎo),

且即dy

=

f

(x0

)Dx機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束在點x0

可微的充要條件是定理:函數(shù)在點 處可導(dǎo),

且即dy

=

f

(x0

)Dx“充分性”已知0lim

D

y

=

f

￠(x

)Dxfi

0

Dx0Dx\

D

y

=

f

￠(x

)

+a( lim

a

=

0

)Dxfi

0故

D

y

=

f

(x0

)Dx

+a

Dx

=

f

(x0

)Dx

+

o(Dx)線性主部即

dy

=

f

(x0

)Dx在點 的可導(dǎo),

則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束Dxfi

0

dyDylim

Dy

=

limDxfi

0

f

￠(x0

)Dx=f

￠(x0

)

Dxfi

0

Dx1lim

Dy

=1說明:

Dy

=

f

(x0

)Dx

+

o(Dx)dy

=

f

(x0

)Dx當(dāng)

f

(x0

)

?

0

時

,所以Dx

fi

0

時

D

y

與dy

是等價無窮小,

故當(dāng)

Dx很小時,

有近似公式D

y

?

dy機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束xyoy

=

f

(x)a0x0

+DxxDydyDxdy

=

f

(x0

)Dx

=

tana當(dāng)Dx

很小時,

Dy

?

dy當(dāng)y

=x

時，則有dy

=

f

(x)

dx從而dxdy

=

f

￠(x)導(dǎo)數(shù)也叫作微商微分的幾何意義

切線縱坐標(biāo)的增量Dy

=Dx

記dx=稱Dx為自變量的微分,

記作

dx機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例如,y

=

x3

,dyx

=

2dx

=

0.02=

3x2dxx

=

2dx

=

0.02=

0.24y

=

arctan

x

,11

+

x2dy

=

dx基本初等函數(shù)的微分公式(見P115表)又如,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、微分運算法則(C

為常數(shù))=

f

(u)

j

(x)

dxdudy

=

f

(u)

du微分形式不變設(shè)

u(x)

,

v(x)

均可微

,

則=

du

–

dv=

vdu

+

udv5.

復(fù)合函數(shù)的微分分別可微,則復(fù)合函數(shù) 的微分為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.解:121

+

exdy

=求2d(1

+

ex

)=12xdx1+

ex21ex221

+

ex=2xex2=

2

dx1

+

exex2

d

(x2

)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

設(shè)求解:

利用一階微分形式不變性

,

有d(

y

sin

x)

-

d(cos(x

-

y))

=

0sin

x

dy

+

y

cos

x

dx

+sin(

x

-

y)

(dx

-

dy)

=

0dy

=

y

cos

x

+sin(

x

-

y)

dxsin(

x

-

y)

-sin

x例3.

在下列括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:2w(1) d(

1

x2

+

C

)

=

xdx(2)d(

1

sin

wt

+

C)

=

cosw

t

d

t說明:上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意:數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.注意目錄上頁下頁返回結(jié)束22

=

(

4

)(

–

2

)2

=

44sin

p

=

(22

)224sin(

p

+

2kp

)

=數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性,例如注意目錄上頁下頁返回結(jié)束三、微分在近似計算中的應(yīng)用使用原則:

1)f

(x0

),

f

(x0

)好算;2)

x

與x0

靠近.D

y

=

f

(x0

)Dx

+

o(Dx)當(dāng)

Dx

很小時,

得近似等式:D

y=

f

(x0

+

Dx)

-

f

(x0

)

?

f

(x0

)Dxf

(x0

+

Dx)

?

f

(x0

)

+

f

(x0

)Dx令x

=x0

+Dxf

(x)

?

f

(x0

)

+

f

(x0

)(x

-

x0

)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束特別當(dāng)

x0

=

0

,

x

很小時,f

(x)

?

f

(0)

+

f

(0)x常用近似公式:

(

x

很小)xxx1

+

x1

+a

xf

(x)

=

(1+

x)a證明:

令得f

(0)

=1,f

(0)

=a\

當(dāng)

x

很小時,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束180解:

設(shè)

f

(x)

=

sin

x

,取則dx

=-p180

62

2=

1

+

3

(-0.0175)6

180例4.

求 的近似值

.sin

29

=

sin

29

p

?

sin

p

+

cos

p

(-

p

)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束的近似值.解:35

=

2431=

(243

+

2)51)52432=

3

(1+2

)5

243?

3

(1+

1=

3.0048例5.

計算(1+

x)a

?1+a

x機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束R

=1DR

=

0.01=

4p

R2DRR

=1DR

=

0.01?

0.13

(cm3

)因此每只球需用銅約為8.9

·0.13

=1.16

(

g

)例6.有一批半徑為1cm的球,為了提高球面的光潔度,要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,估計一下,每只球需用銅多少克.解:已知球體體積為鍍銅體積為

V

在 時體積的增量機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束四、

微分在估計誤差中的應(yīng)用某量的精確值為

A

,

其近似值為

a

,稱為a

的絕對誤差稱為a

的相對誤差若稱為測量A的絕對誤差限稱為測量A

的相對誤差限機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束誤差傳遞公式:按公式 計算

y

值時的誤差?

dy

=

f

(x)

Dx故

y

的絕對誤差限約為

dy

?

f

(x)

dxx相對誤差限約為

dy

?

f

(x)

dy f

(x)若直接測量某量得x

,已知測量誤差限為dx

,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.

設(shè)測得圓鋼截面的直徑絕對誤差限

欲利用公式圓鋼截面積,

試估計面積的誤差

.解:

計算

A

的絕對誤差限約為測量D

的計算(mm)A

的相對誤差限約為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)微分概念微分的定義及幾何意義可微可導(dǎo)2.

微分運算法則微分形式不變性

:

d

f

(u)

=

f

(u)

d

u(u

是自變量或中間變量)3.

微分的應(yīng)用近似計算估計誤差機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.

設(shè)函數(shù)的圖形如下,試在圖中標(biāo)出的點dy

<

0x0

+

Dxx0xoD

y<

0x0

處的dy

,Dy

及Dy

-dy

,并說明其正負(fù).Dy

-

dy

<

0y機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束de-x2.

d(arctan

e-x

)

=11+

e-2

xdx=1+

e-2

x-

e-xdsin

x3.

d

tan

x

=sec3