萬變不離其宗2017高中數(shù)學(xué)課本典例改編之選修21 22 23專題四空間向量推理與證明

共線向量定理：對空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得實(shí)數(shù)對(x，yp＝xa＋yb．a(chǎn)，b，cp，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，zp＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底．

，作

πa 1＋a 1＋a2＋a3·|

.→ 則

mn，m

設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量分別為a，b，其夾角為θ，則cosφ＝|cos n的夾角為θ，則有sinφ＝|cos 如圖②③，n1，n2分別是二面角α-l-β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足cos|→|

|n|①：已知的一般原理 綜合法：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法．分析法：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論反證法：假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)題，可按下列步驟進(jìn)行 →→＋→→→對空間任意一點(diǎn)O x→(1－x，OP＝ 對空間任意一點(diǎn)O ya，bθcos

離等問題，要注意空間角度與向量角度之間的區(qū)別和聯(lián)系，求距離往往利用|a|＝a·a＝證明兩直線的方向向量平行證明兩直線的方向向量垂直①證明直線的方向向量與平面的法向量平行②根據(jù)線面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為證直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直的問題①根據(jù)面面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直的問題②證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直 所成角的取值范圍是0，2，而兩向量所成角的取值范圍是[0，π]，所以當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角 ①分別在二面角α-l-β的面α，β內(nèi)，沿α，βn1⊥l，n2⊥l，則這兩個(gè)向量的夾角注意：二面角的取值范圍是的距離.——計(jì)算其值求空間中點(diǎn)到點(diǎn)的距離，可以利用兩點(diǎn)間的距離，或轉(zhuǎn)化為解三角形空間中的各種距離一般都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距，若用向量方法求空間距離，則點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距最終都可用空間向量的模來求解，而點(diǎn)面距則可由平面的法向量來求解.在數(shù)學(xué)中，類比是發(fā)現(xiàn)概念、方法、定理、的重要，并且應(yīng)用廣泛，數(shù)與式、平面與空間用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確題(猜想)，但結(jié)論不一定正確，有待(1))在進(jìn)行類比推理時(shí)，要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象所迷惑；否則只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象甚至假象就去類比，就會犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤．應(yīng)用解決問題時(shí)，應(yīng)首先明確什么是，什么是，如果與推理形式是正確的，結(jié)論必定是正確的．如果錯(cuò)誤，盡管推理形式是正確的，所得結(jié)論也是錯(cuò)誤的．在進(jìn)行類比推理時(shí)，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點(diǎn)：(1象的對應(yīng)元素，如：三角形對應(yīng)三棱錐，圓對應(yīng)球，面積對應(yīng)體積等等；(2)找對應(yīng)元素的對應(yīng)關(guān)系，演繹推理是從一般到特殊的推理，其一般形式是，應(yīng)用解決問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是和，如果前提是顯然的，則可以省略，本題中，等比數(shù)列的定義在解題中是，由于在推理論證過程中，一些稍復(fù)雜一點(diǎn)的證明題常常要由幾個(gè)才能完成 艱難，枝節(jié)．在證明數(shù)學(xué)問題的過程中分析法和綜合法往往是相互結(jié)合的，先用分析法探索證明途做出與命題結(jié)論相的假設(shè)由假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出與已知條件，或與假設(shè)，或與定義、公理、定理、事實(shí)等的結(jié)果；斷定產(chǎn)生的原因是假設(shè)不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明命題為真結(jié)論是否定形式題結(jié)論是以至多、至少、唯一等語句給出題結(jié)論的是較明顯或較易證明題用直接法較難證明或需要分成多種情形進(jìn)行分類討論題個(gè)個(gè)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí)，“歸納奠基”和“歸納遞推”兩個(gè)步驟證第二步的關(guān)鍵是合理運(yùn)用歸納假設(shè)，以“n＝k時(shí)命題成立”為條件，證明“當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題成11.原題（2-23）改編P是ABCABChAhBh，P到三邊的距離依次為l、l、l

ABCDhAhBhC、hD，P到這四個(gè)面的距離依次是la、lb、lcld，則

SPBC,

SPAC,

SABC

la

SPBCSPACSPAB1

ld

APP2（2-2改編PABCA1B1C1BB1PMBB1AA1MPNBB1交CC1NC