運籌學(xué)2對偶問題課件

運籌學(xué)2對偶問題6、法律的基礎(chǔ)有兩個，而且只有兩個……公平和實用。——伯克7、有兩種和平的暴力，那就是法律和禮節(jié)。——歌德8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序?！獊喞锸慷嗟?、上帝把法律和公平湊合在一起，可是人類卻把它拆開。——查·科爾頓10、一切法律都是無用的，因為好人用不著它們，而壞人又不會因為它們而變得規(guī)矩起來?！轮円怂惯\籌學(xué)2對偶問題運籌學(xué)2對偶問題6、法律的基礎(chǔ)有兩個，而且只有兩個……公平和實用。——伯克7、有兩種和平的暴力，那就是法律和禮節(jié)?！璧?、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序?！獊喞锸慷嗟?、上帝把法律和公平湊合在一起，可是人類卻把它拆開?！椤た茽栴D10、一切法律都是無用的，因為好人用不著它們，而壞人又不會因為它們而變得規(guī)矩起來?！轮円怂笴hapter2對偶問題DualProblem1.線性規(guī)劃的對偶模型DualModelofLP2.對偶性質(zhì)Dualproperty3.對偶單純形法DualSimplexMethod4.靈敏度分析SensitivityAnalysis運籌學(xué)OperationsResearch在線性規(guī)劃問題中，存在一個有趣的問題，即每一個線性規(guī)劃問題都伴隨有另一個線性規(guī)劃問題，稱它為對偶線性規(guī)劃問題。【例2.1】某企業(yè)用四種資源生產(chǎn)三種產(chǎn)品，工藝系數(shù)、資源限量及價值系數(shù)如下表：建立總收益最大的數(shù)學(xué)模型。1.發(fā)掘生活素材、運用直觀教具與實踐活動，使學(xué)生直觀地理解幾何概念在課堂教學(xué)中，借助直觀教具，聯(lián)系生活實際，充分利用有價值的生活素材來補充教材，重組教材內(nèi)容，以便更好地組織學(xué)生學(xué)習(xí)"空間與圖形"的知識。1.1通過直觀的工具，為學(xué)生理解幾何概念提供幫助。小學(xué)生在思維方面，多是以形象思維和直觀思維為主。因此，教師在幾何圖形的教學(xué)期間，借助一些直觀的工具，對學(xué)生理解幾何圖形的概念可起到一定的幫助。以"長方體"的教學(xué)為例，在教學(xué)期間教師可對一些相關(guān)的道具加以利用，如書本、長方體紙盒等，通過演示道具，使學(xué)生直接觀察到幾何圖像的特征。在實踐操作的過程中，教師可借由長方體的模型讓學(xué)生直接觀察到長方體在面與面之間的特征，接著，由此引出正方體中的"棱"，進而通過"棱"將"頂點"引出。通過模型，學(xué)生可更快速地理解長方體的概念。在選擇教具時，教師要注意選擇具有典型性的實物或者模型，它們要能明顯地體現(xiàn)學(xué)習(xí)對象的本質(zhì)，減少非本質(zhì)屬性的干擾。同時還要注意教具的大小及演示的高度，要做到讓全班學(xué)生都看得到，看得清楚。1.2通過直觀操作，促進學(xué)生理解概念?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：動手操作、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要方式。幾何形體概念需要理解它的本質(zhì)，只借助看、聽、說等方法是不夠的，在教學(xué)時，應(yīng)當(dāng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，結(jié)合實例，聯(lián)系學(xué)生已有知識經(jīng)驗，采用直觀操作等實踐活動的形式，幫助學(xué)生理解概念。給學(xué)生創(chuàng)設(shè)動手操作、自主探究的學(xué)習(xí)機會和空間，讓學(xué)生在操作中從抽象到概括，獲取數(shù)學(xué)知識和體驗。在指導(dǎo)學(xué)生動手操作、自主探究的過程中，注意操作的可行性和有效性。我的具體做法是：制定明確的目標(biāo)；選擇合適的時機；留有適當(dāng)?shù)目臻g；加強方法的指導(dǎo)。例如：教學(xué)"長方形的認(rèn)識"的教學(xué)，在學(xué)生掌握圖形名稱的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生借助自己動手制作的長方形實物模型，通過折一折，量一量，進一步觀察、分析、對比，自己說出長方形的特征（對邊相等四個角都是直角），在此基礎(chǔ)上，再擴展到生活中去，答出哪些物體的形狀是長方形的。這樣讓學(xué)生在操作中思維，在思維中操作，在頭腦中形成清晰的表象。2.緊緊圍繞幾何圖像的特點，使學(xué)生更迅速地理解幾何概念在解決幾何圖像問題的過程中，學(xué)生通常會聯(lián)想到相應(yīng)的幾何圖像，所以在幾何圖形的教學(xué)過程中，教師應(yīng)注意將幾何圖形的概念與相關(guān)的幾何圖像聯(lián)系到一起。2.1加強變式，幫助學(xué)生理解概念本質(zhì)。變式是指概念的肯定例證在無關(guān)特征方面的變化。變式用以說明同一個概念的本質(zhì)特征相同、非本質(zhì)特征不同的一組實例。這些實例都是概念的正例，但是它們在概念的非本質(zhì)特征方面有變化。由于概念所指的對象除了具有相同的本質(zhì)屬性以外，還會在非本質(zhì)屬性方面有不同的表現(xiàn)，在幾何形體概念的教學(xué)中，我們可以充分運用變式來幫助學(xué)生獲得更精確、更穩(wěn)定的概念。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)"互相垂直"的概念時，常常習(xí)慣于豎著理解，過直線外一線作垂線也習(xí)慣于向水平方向畫。當(dāng)變化了直線的方向、位置，就會受標(biāo)準(zhǔn)方向的定勢影響，發(fā)生錯誤，以至后來在位置或形狀有了變化的三角形（平行四邊形、梯形）中找錯、畫錯高，影響面積的正確計算，其原因就在于"互相垂直"這個概念的形成階段未能為學(xué)生提供充分的變式材料，學(xué)生沒能在"兩條直線相交成直角"這一本質(zhì)意義上對"互相垂直"實行抽象概括。其實，在學(xué)生開始學(xué)習(xí)"互相垂直"時，教師不僅要提供互相垂直的標(biāo)準(zhǔn)式，而且要提供互相垂直的各種變式的練習(xí)。在認(rèn)識和畫出三角形（平行四邊形、梯形）的高時，不僅在標(biāo)準(zhǔn)圖形中進行，而且要在變式圖形中進行。然后引導(dǎo)學(xué)生分析、比較，找出它們的相同點和不同點，從而幫助學(xué)生從不同方面理解"三角形的高"，明確"三角形的高"的本質(zhì)特征。2.2通過表象作用，為學(xué)生理解幾何概念提供幫助。首先，在教學(xué)期間為學(xué)生準(zhǔn)備相應(yīng)的幾何圖形直觀感知材料，使學(xué)生通過材料直接取得幾何圖像的表象。其次，適當(dāng)對形成表象采取加工處理，為學(xué)生建立起表象。在教學(xué)的過程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過想象來描寫直觀材料所具有的特征。在建立起幾何圖形的表象后，將會為學(xué)生在今后的幾何學(xué)習(xí)與解題中提供很大的幫助。3.建立幾何圖像概念網(wǎng)絡(luò)體系，使學(xué)生更精確地掌握幾何概念在教學(xué)前，教師可對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進行了解，進而對新舊知識、生活與知識等之間的相關(guān)點進行探索，從而設(shè)計出合理有效的教學(xué)方案，為學(xué)生建立起當(dāng)中的關(guān)系網(wǎng)。3.1分清概念的不同之處。幾何圖像的概念學(xué)習(xí)中，存在不少相近概念，若學(xué)生未能正確區(qū)分，極易發(fā)生混淆現(xiàn)象。因此教師需教會學(xué)生如何分清與辨別各個概念，此時，教師可通過對比相近的事物，幫助學(xué)習(xí)正確分析相近幾何圖像的概念。3.2巧妙結(jié)合圖示和意義。一般情況下，學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何圖像的概念時，均是通過具體至表象至抽象這一個過程認(rèn)識并建立起的。所以，在教學(xué)期間，教師應(yīng)注意結(jié)合圖示和意義，引導(dǎo)學(xué)生整理與歸納幾何圖形的概念，加深學(xué)生對幾何圖形概念的理解?？傊?，促進學(xué)生發(fā)展是幾何形體概念教學(xué)永恒不變的追求！教師只有根據(jù)概念的本質(zhì)屬性，從學(xué)生的認(rèn)知特點和現(xiàn)實起點出發(fā)，運用各種有效地嘗試教學(xué)方法、策略，以發(fā)展的觀點開展嘗試教學(xué)，在概念的系統(tǒng)中教學(xué)概念，建立起概念之間的聯(lián)系，緊扣概念本質(zhì)，幫助學(xué)生在觀察、探索、體驗、實踐中深入剖析理解概念本質(zhì)，才能收到良好的嘗試教學(xué)效果和享受。2011版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)的正式頒行，意味著課程改革又進入了一個新的階段。新課標(biāo)明確指出：“義務(wù)教育物理課程應(yīng)體現(xiàn)物理學(xué)的本質(zhì)，反映物理學(xué)對社會發(fā)展的影響；應(yīng)注重學(xué)生的全面發(fā)展，關(guān)注學(xué)生應(yīng)對未來社會挑戰(zhàn)的需求；應(yīng)發(fā)揮在培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)方面的重要作用”，這為初中物理教學(xué)指明了方向。這次修訂，為減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)，在“知識與技能”方面作了適當(dāng)調(diào)整，但由于“過程”和“情感”目標(biāo)對學(xué)生基本素質(zhì)的形成具有關(guān)鍵意義，在“過程與方法”和“情感、態(tài)度與價值觀”方面，不僅沒有弱化，而且有一定程度的加強，它更突出能力為重、強化能力培養(yǎng)。下面通過分析新課標(biāo)中課程內(nèi)容的變化及特點，思考對初中物理教學(xué)和考試評價帶來的影響，以更好地培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)。課標(biāo)的第三部分原名為“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”，現(xiàn)改為“課程內(nèi)容”，其中包含科學(xué)探究和科學(xué)內(nèi)容兩部分；原主題欄目“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”現(xiàn)改為“內(nèi)容要求”。筆者認(rèn)為名詞更改后用詞更準(zhǔn)確，對教學(xué)的指導(dǎo)更確切，它規(guī)定的是義務(wù)教育物理課程的基本學(xué)習(xí)內(nèi)容和應(yīng)達(dá)到的基本要求，也就是我們常說教學(xué)中的最低要求，在教學(xué)中應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實際能力分層次要求，防止個別教師誤解為“到此為止”。一、科學(xué)探究的變化1.“科學(xué)探究要素”名稱變化科學(xué)探究第三個要素名稱由原“制定計劃與設(shè)計實驗”改為“設(shè)計實驗與制訂計劃”，更加突出了對學(xué)生設(shè)計實驗?zāi)芰Φ呐囵B(yǎng)。因此，在平時教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生依據(jù)實驗原理設(shè)計實驗，學(xué)會選擇研究方法和測量器材，制訂出較科學(xué)的實驗計劃和步驟。2.“科學(xué)探究能力基本要求”的修訂新課標(biāo)對科學(xué)探究七個要素的具體能力要求在水平層次和內(nèi)容上適度微調(diào)和整合。（1）各要素的認(rèn)知目標(biāo)均由“認(rèn)識”改為“了解”，即把“認(rèn)識……的意義（重要性、作用）”的表述統(tǒng)一改為“了解……的意義”，適當(dāng)降低了對學(xué)生認(rèn)知目標(biāo)的水平層次。（2）刪去“嘗試評估有關(guān)信息的科學(xué)性”、“能注意假設(shè)與探究結(jié)果間的差異”，增加了“能對收集的信息進行簡單的歸類”。個別要求在文字上作了調(diào)整和整合，如將“嘗試對問題的成因提出猜想”中“成因”改為“可能答案”，將“會閱讀簡單儀器的說明書，能按書面說明進行操作”中“書面說明”改為“要求”，將“能寫出簡單的探究報告”改為“能表述探究的問題、過程和結(jié)果”，對學(xué)生能力要求的可操作性增強。3.“科學(xué)探究案例”的修訂原課標(biāo)有兩個課外科學(xué)探究案例，修訂后刪去了其中一個案例，補充了兩個課內(nèi)探究實例。原課標(biāo)的探究案例對教師認(rèn)識科學(xué)探究要素起了很大幫助，修訂后的三個案例有較合理的內(nèi)容結(jié)構(gòu)：既有課內(nèi)探究，也有課外探究，且在每一個案例后增寫了一段“評析”。目的在引導(dǎo)教師認(rèn)識：課內(nèi)的探究和課外的探究有什么區(qū)別？案例是怎樣處理課堂時間少和探究過程多的矛盾？怎樣處理學(xué)生“自主”和教師“指導(dǎo)”的矛盾？解決以上矛盾的辦法是：側(cè)重部分探究要素的教學(xué)。在教學(xué)中，教師應(yīng)明確本課要培養(yǎng)的探究能力目標(biāo)是什么？重點要訓(xùn)練的探究要素是什么？屬于本課題能力目標(biāo)的要素，應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生的自主性，讓他們獨立完成；不屬于本課題的過程目標(biāo)，可以大膽發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，讓學(xué)生把主要精力放在教師事先設(shè)計需要強化的要素上。實際上，由于不同的課題分別突出了不同的探究要素，學(xué)生探究能力得到的是深入和全面的發(fā)展。二、科學(xué)內(nèi)容的調(diào)整課標(biāo)中科學(xué)內(nèi)容含“物質(zhì)”、“運動與相互作用”及“能量”三大一級主題，在每個一級主題下有若干二級主題，每個二級主題下又有若干三級主題。此次修訂保留了原課標(biāo)中的一級、二級主題，主要針對三級主題內(nèi)容進行了修改。原有“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”68條，修訂后有“內(nèi)容要求”63條。具體有如下變化、特點：1.刪減或整合內(nèi)容，以減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)（1）刪去的條目*“能從生活或社會應(yīng)用的角度，對物質(zhì)進行分類”。在化學(xué)學(xué)科已有類似條目，課標(biāo)對此不再單列，將對生活和社會的關(guān)注在其它條目中予以重視。*在“比較色光混合與顏料混合的不同現(xiàn)象”中，刪去了“顏料混合”的內(nèi)容，改為“了解色光混合的現(xiàn)象”。*“知道波長、頻率和波速的關(guān)系”，改為“知道波長、頻率和波速”。這些知識進入高中后將會進一步學(xué)習(xí)，刪去后并不影響初中知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)和完整，因此關(guān)于計算問題就可以不考慮。*“探究光在同種均勻介質(zhì)中的傳播特點”。此知識小學(xué)科學(xué)課已學(xué)，初中又沒有進一步提升，沒有必要列入條目重復(fù)提出要求。但學(xué)生若對此知識不夠清晰，教學(xué)中還是有必要提醒的。（2）降低要求的條目課標(biāo)是通過行為動詞的調(diào)整，適當(dāng)降低內(nèi)容要求。*原“理解機械效率”的要求，現(xiàn)下調(diào)為“知道”。機械效率問題本來就是教學(xué)難點，修訂后機械效率的簡單計算可以要求，較復(fù)雜的問題能力高的學(xué)生可以選擇面對。*原“理解物體的慣性”要求，現(xiàn)為“能用物體的慣性解釋生活和自然中的有關(guān)現(xiàn)象”，側(cè)重于解釋現(xiàn)象。*關(guān)于“不可再生能源和可再生能源”，修訂后只要求“列舉”，不再強調(diào)“說出特點”。值得注意的是“知道白光是由色光組成的”改為“了解白光的組成”；“解釋機械功的含義”調(diào)為“說明”；“認(rèn)識機械的使用對社會發(fā)展的作用”調(diào)為“了解”；“嘗試用比熱容解釋簡單的自然現(xiàn)象”中“解釋”調(diào)為“說明”。這些基本上是在同一水平層次的規(guī)范表述，但從行為動詞改變看，似乎也隱含著一點微調(diào)。（3）整合的條目課標(biāo)將半導(dǎo)體、超導(dǎo)體、納米材料等有關(guān)條目合并為“通過收集信息，了解一些新材料的應(yīng)用和發(fā)展前景，了解新材料的發(fā)展對人類生活和社會發(fā)展帶來的影響”，而原來相關(guān)的三個條目則作為例子列入，這樣既降低了難度，又為教材編寫和教學(xué)留下了更多空間。2.明確和細(xì)化內(nèi)容要求，以利于教學(xué)和評價（1）認(rèn)知領(lǐng)域只設(shè)了解、認(rèn)識、理解三個水平層次。修訂后規(guī)范了行為動詞，不再使用“初步認(rèn)識”、“大致了解”等介于兩者之間的說法，使各認(rèn)知水平更加統(tǒng)一和簡潔。（2）細(xì)化條目，使教學(xué)和評價要求進一步明確。原課標(biāo)中有些內(nèi)容條目比較原則，不便于評價，修訂后做了進一步細(xì)化，詳見下表。（3）明確列出了學(xué)生實驗具體項目課標(biāo)對具體實驗項目的要求有31條，哪些是演示實驗，哪些應(yīng)作為學(xué)生實驗，過去不明確。本次修訂明確列出了20個實驗項目作為學(xué)生實驗，也就是說學(xué)生至少要動手操作這20個實驗，對于其他實驗，如果可能，教師也可以創(chuàng)造條件讓學(xué)生做分組實驗。3.適當(dāng)增加內(nèi)容，優(yōu)化三維目標(biāo)（1）增加了優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)的內(nèi)容“觀察摩擦起電現(xiàn)象，探究并了解同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引。”此條目在小學(xué)科學(xué)、高中物理課程中皆未明確要求，此內(nèi)容與生產(chǎn)生活聯(lián)系密切且對后續(xù)學(xué)習(xí)有一定影響。除此外還增加了“知道原子是由原子核和電子組成的”，“知道噪聲的危害”，“知道地磁場”，“了解熱機的工作原理”，“知道電壓、電流和電阻”，“了解串、并聯(lián)電路電流和電壓的特點”，“理解電功”等知識點。（2）增加了探究過程的內(nèi)容“通過實驗測量物體運動的速度”，“通過實驗，探究液體壓強與哪些因素有關(guān)”，“通過實驗，認(rèn)識磁場”，“通過實驗，了解電流周圍存在磁場”。（3）增加了注重情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)落實的內(nèi)容“運用物體的浮沉條件說明生產(chǎn)、生活中的一些現(xiàn)象”，“知道大氣壓強及其與人類生活的關(guān)系”，“了解提高機械效率的途徑和意義”，“了解電磁感應(yīng)在生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用”，“用焦耳定律說明生產(chǎn)、生活中的一些現(xiàn)象”，“能在個人力所能及的范圍內(nèi)對社會的可持續(xù)發(fā)展有所作為”，“有節(jié)約用電的意識”等，這些內(nèi)容強化了物理知識與生產(chǎn)、生活的聯(lián)系，更加關(guān)注知識的實踐應(yīng)用，是教學(xué)聯(lián)系實際的好素材。值得注意的是：課標(biāo)看似刪去了“了解測量大氣壓強的方法”，其實在“知道大氣壓強及其與人類生活的關(guān)系”中已體現(xiàn)?？此苿h去了“了解物體運動狀態(tài)變化的原因”，其實在“認(rèn)識力的作用效果”中體現(xiàn)了物體受到力時運動狀態(tài)如何改變，在“通過實驗，認(rèn)識牛頓第一定律”中體現(xiàn)了物體不受力時運動狀態(tài)如何。課標(biāo)刪去這兩條，是為了使行文的含義準(zhǔn)確，避免重復(fù)陳述，并沒有刪去這兩方面的內(nèi)容要求。再如，看似刪了“能用實驗證實電磁相互作用”，實則在“通過實驗，了解電流周圍存在磁場”、“通過實驗，了解通電導(dǎo)線在磁場中會受到力的作用”中已有體現(xiàn)，不需再重復(fù)?？此苿h了“有評估某些物質(zhì)對人和環(huán)境的積極和消極影響的意識”，實則在其他條目中有“關(guān)注環(huán)境、保護環(huán)境”的要求?？此苿h了“能簡單描述溫度和內(nèi)能的關(guān)系”，其實在“了解分子熱運動的特點”中已包含。Chapter2對偶問題DualProblem1.線性規(guī)劃的對偶模型

DualModelofLP2.對偶性質(zhì)

Dualproperty3.對偶單純形法

DualSimplexMethod4.靈敏度分析

SensitivityAnalysis運籌學(xué)OperationsResearch在線性規(guī)劃問題中，存在一個有趣的問題，即每一個線性規(guī)劃問題都伴隨有另一個線性規(guī)劃問題，稱它為對偶線性規(guī)劃問題。【例2.1】某企業(yè)用四種資源生產(chǎn)三種產(chǎn)品，工藝系數(shù)、資源限量及價值系數(shù)如下表：產(chǎn)品資源ABC資源限量Ⅰ986500Ⅱ547450Ⅲ832300Ⅳ764550每件產(chǎn)品利潤1008070

建立總收益最大的數(shù)學(xué)模型?！窘狻吭O(shè)x1，x2，x3分別為產(chǎn)品A，B，C的產(chǎn)量，則線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型為：現(xiàn)在從另一個角度來考慮企業(yè)的決策問題。假如企業(yè)自己不生產(chǎn)產(chǎn)品，而將現(xiàn)有的資源轉(zhuǎn)讓或出租給其它企業(yè)，那么資源的轉(zhuǎn)讓價格是多少才合理？價格太高對方不愿意接受，價格太低本單位收益又太少。合理的價格應(yīng)是對方用最少的資金購買本企業(yè)的全部資源，而本企業(yè)所獲得的利潤不應(yīng)低于自己用于生產(chǎn)時所獲得的利潤。這一決策問題可用下列線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型來表示。設(shè)y1，y2，y3及y4分別表示四種資源的單位增殖價格（售價＝成本＋增殖），總增殖最低可用minw=500y1+450y2+300y3+550y4

表示。企業(yè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品A用了四種資源的數(shù)量分別是9，5，8和7個單位，利潤是100,企業(yè)出售這些數(shù)量的資源所得的利潤不能少于100，即同理，對產(chǎn)品B和C有價格不可能小于零，即有yi≥0,i=1,…,4.從而企業(yè)的資源價格模型為這是一個線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，稱這一線性規(guī)劃問題是前面生產(chǎn)計劃問題的對偶線性規(guī)劃問題或?qū)ε紗栴}。生產(chǎn)計劃的線性規(guī)劃問題稱為原始線性規(guī)劃問題或原問題?！纠?.2】某人根據(jù)醫(yī)囑，每天需補充A、B、C三種營養(yǎng)，A不少于80單位，B不少于150單位，C不少于180單位。此人準(zhǔn)備每天從六種食物中攝取這三種營養(yǎng)成分。已知六種食物每百克的營養(yǎng)成分含量及食物價格如下表，試建立此人在滿足健康需要的基礎(chǔ)上花費最少的數(shù)學(xué)模型。

營養(yǎng)成分

一

二

三

四

五

六需要量80B24930251215≥150C1872134100≥180食物單價（元/100g）0.50.40.80.90.30.2

含量食物【解】設(shè)xj為每天第j種食物的用量，數(shù)學(xué)模型為現(xiàn)有一制藥廠要生產(chǎn)一種包含A、B、C三種營養(yǎng)成分的合成藥，如何制定價格，使得此藥既要暢銷又要產(chǎn)值最大。設(shè)yi（i=1，2，3）為第i種營養(yǎng)成分的單價，則影子價格(Shadowprice):

上面兩個線性規(guī)劃有著重要的經(jīng)濟含義。原始線性規(guī)劃問題考慮的是充分利用現(xiàn)有資源，以產(chǎn)品的數(shù)量和單位產(chǎn)品的收益來決定企業(yè)的總收益，沒有考慮到資源的價格，但實際在構(gòu)成產(chǎn)品的收益中，不同的資源對收益的貢獻(xiàn)也不同，它是企業(yè)生產(chǎn)過程中一種隱含的潛在價值，經(jīng)濟學(xué)中稱為影子價格，即對偶問題中的決策變量yi的值。由后面的對偶性質(zhì)可知：原問題和對偶問題的最優(yōu)值相等，故有即yi是第i種資源的變化率，說明當(dāng)其它資源供應(yīng)量bk(k≠i)不變時，bi增加一個單位時目標(biāo)值Z增加yi個單位。例如，第一種資源的影子價格為y1=2，第二種資源的影子價格為y2=2，即當(dāng)?shù)谝环N資源增加一個單位時，Z增加2個單位，當(dāng)?shù)诙N資源增加一個單位時，Z增加2個單位。企業(yè)可利用影子價格調(diào)節(jié)生產(chǎn)規(guī)模。例如，目標(biāo)函數(shù)Z表示利潤（或產(chǎn)值），當(dāng)?shù)趇種資源的影子價格大于零（或高于市場價格）時，表示有利可圖，企業(yè)應(yīng)購進該資源擴大生產(chǎn)規(guī)模，當(dāng)影子價格等于零（或低于市場價格），企業(yè)不能增加收益，這時應(yīng)將資源賣掉或出讓，縮小生產(chǎn)規(guī)模。應(yīng)當(dāng)注意，是在最優(yōu)基B不變的條件下有上述經(jīng)濟含義，當(dāng)某種資源增加或減少后，最優(yōu)基B可能發(fā)生了變化，這時yi的值也隨之變化。在例2.1中，原問題的最優(yōu)解X＝（24.24，0，46.96）對偶問題的最優(yōu)解Y＝（10.6，0.91，0，0）最優(yōu)值z=w=5712.12分析：1.y1=10.6說明在現(xiàn)有的資源限量的條件下，增加一個單位第一種資源可以給企業(yè)帶來10.6元的利潤；如果要出售該資源，其價格至少在成本價上加10.6元。2.y3=0說明增加第三種資源不會增加利潤，因為第三種資源還有沒有用完。問題：1.第三、四種資源的售價是多少，是否不值錢？2.如果要增加利潤，企業(yè)應(yīng)增加哪幾種資源，各增加多少后再進行調(diào)整？上面兩種形式的線性規(guī)劃稱為對稱形式。原問題和對偶問題是互為對偶的兩個線性規(guī)劃問題，已知一個問題就可寫出另一個問題。對稱形式的定義是：目標(biāo)函數(shù)求極大值時，所有約束條件為≤號，變量非負(fù)；

目標(biāo)函數(shù)求極小值時，所有約束條件為≥號，變量非負(fù)。

對稱形式的線性規(guī)劃的對偶問題亦是對稱形式。以上是依據(jù)經(jīng)濟問題推導(dǎo)出對偶問題，還可以用代數(shù)方法推導(dǎo)出對偶問題?！纠?.3】寫出下列線性規(guī)劃的對偶問題【解】這是一個對稱形式的線性規(guī)劃，設(shè)Y=（y1，y2），則有從而對偶問題為對偶變量yi也可寫成xi的形式?！纠?.4】寫出下列線性規(guī)劃的對偶問題【解】這是一個對稱形式的線性規(guī)劃，它的對偶問題求最小值，有三個變量且非負(fù)，有兩個“≥”約束，即若給出的線性規(guī)劃不是對稱形式，可以先化成對稱形式再寫對偶問題。也可直接按表2－1中的對應(yīng)關(guān)系寫出非對稱形式的對偶問題。將上述原問題與對偶問題的對應(yīng)關(guān)系列于表2－1例如，原問題是求最小值，按表2-1有下列關(guān)系：1.第i個約束是“≤”約束時，第i個對偶變量yj≤02．第i個約束是“=”約束時，第i個對偶變量yi無約束；3．當(dāng)xj≤0時，第j個對偶約束為“≥”約束，當(dāng)xj無約束時，第j個對偶約束為“=”約束。原問題（或?qū)ε紗栴}）對偶問題（或原問題）目標(biāo)函數(shù)（max）目標(biāo)函數(shù)系數(shù)（資源限量）約束條件系數(shù)矩陣A（AT）目標(biāo)函數(shù)（min）資源限量（目標(biāo)函數(shù)系數(shù)）約束條件系數(shù)矩陣ATA）變

量n個變量第j個變量≥0第j個變量≤0第j個變量無約束約

束n個約束第j個約束為≥第j個約束為≤第j個約束為=約

束m個約束第i個約束≤第i個約束≥第i個約束為=變

量m個變量第i個變量≥0第i個變量≤0第i個變量無約束表2－1【例2.5】寫出下列線性規(guī)劃的對偶問題【解】目標(biāo)函數(shù)求最小值，應(yīng)將表2－1的右邊看作原問題，左邊是對偶問題，原問題有3個約束4個變量，則對偶問題有3個變量4個約束，對照表2－1的對應(yīng)關(guān)系，對偶問題為：本節(jié)以實例引出對偶問題;介紹了如何寫對稱與非對稱問題的對偶問題;1.您應(yīng)該會寫任意線性規(guī)劃的對偶問題；2.深刻領(lǐng)會影子價格的含義，學(xué)會用影子價格作經(jīng)濟活動分析。作業(yè)：教材P74T2.3（1）（2）TheEndofSection2.1對偶性質(zhì)Exit返回首頁設(shè)原問題是（記為LP）：對偶問題是（記為DP）：這里A是m×n矩陣X是n×1列向量，Y是1×m行向量。假設(shè)Xs與Ys分別是（LP）與（DP）的松馳變量?！拘再|(zhì)1】對稱性對偶問題的對偶是原問題?！咀C】設(shè)原問題是7/16/2023它與下列線性規(guī)劃問題是等價的：再寫出它的對偶問題。它與下列線性規(guī)劃問題是等價的即是原問題。由表2－1知，它的對偶問題是7/16/2023【性質(zhì)2】弱對偶性設(shè)X°、Y°分別為（LP）與（DP）的可行解，則【證】因為X°、Y°是可行解，故有AX°≤b,X°≥0及Y°A≥C，Y°≥0,將不等式AX°≤b兩邊左乘Y°得Y°AX°≤Y°b再將不等式Y(jié)°A≥C兩邊右乘X°，故CX°≤Y°AX≤Y°b這一性質(zhì)說明了兩個線性規(guī)劃互為對偶時，求最大值的線性規(guī)劃的任意目標(biāo)值都不會大于求最小值的線性規(guī)劃的任一目標(biāo)值，不能理解為原問題的目標(biāo)值不超過對偶問題的目標(biāo)值。得CX°≤Y°AX°7/16/2023由這個性質(zhì)可得到下面幾個結(jié)論：（1）（LP）的任一可行解的目標(biāo)值是（DP）的最優(yōu)值下界；（DP）的任一可行解的目標(biāo)是（LP）的最優(yōu)值的上界；（2）在互為對偶的兩個問題中，若一個問題可行且具有無界解，則另一個問題無可行解；(3）若原問題可行且另一個問題不可行，則原問題具有無界解。注意上述結(jié)論（2）及（3）的條件不能少。一個問題有可行解時，另一個問題可能有可行解（此時具有無界解）也可能無可行解。7/16/2023例如：無可行解，而對偶問題有可行解，由結(jié)論（3）知必有無界解。7/16/2023【性質(zhì)3】最優(yōu)準(zhǔn)則定理設(shè)X°與Y°分別是（LP）與（DP）的可行解，則當(dāng)X°、Y°是（LP）與（DP）的最優(yōu)解當(dāng)且僅當(dāng)CX°=Y°b.【證】若X°、Y°為最優(yōu)解，B為（LP）的最優(yōu)基，則有Y°=CBB－1，并且當(dāng)CX°=Y°b時，由性質(zhì)1，對任意可行解有即Y°b是（DP）中任一可行解的目標(biāo)值的下界，CX°是（LP）中任一可行解的目標(biāo)值的上界，從而X°、Y°是最優(yōu)解。7/16/2023【性質(zhì)4】還可推出另一結(jié)論：若（LP）與（DP）都有可行解，則兩者都有最優(yōu)解，若一個問題無最優(yōu)解，則另一問題也無最優(yōu)解?！咀C】設(shè)（LP）有最優(yōu)解X°，那么對于最優(yōu)基B必有C－CBB-1A≤0與－CBB-1≤0，即有Y°A≥C與Y°≥0，這里Y°=CBB-1，從而Y°是可行解，對目標(biāo)函數(shù)有由性質(zhì)3知Y°是最優(yōu)解。由性質(zhì)4還可推出另一結(jié)論：若（LP）與（DP）都有可行解，則兩者都有最優(yōu)解，若一個問題無最優(yōu)解，則另一問題也無最優(yōu)解。7/16/2023【性質(zhì)5】互補松弛定理設(shè)X°、Y°分別為（LP）與（DP）的可行解，XS和YS是它的松弛變量的可行解，則X°和Y°是最優(yōu)解當(dāng)且僅當(dāng)YSX°=0和Y°XS=0【證】設(shè)X°和Y°是最優(yōu)解，由性質(zhì)3，CX°=Y°b，由于XS和YS是松弛變量，則有AX°＋XS＝bY°A－YS=C將第一式左乘Y°，第二式右乘X°得Y°AX°＋Y°XS＝Y(jié)°bY°AX°－YSX°=CX°7/16/2023顯然有Y°XS=－YSX°又因為Y°、Xs、Ys、X°≥0，所以有Y°XS=0和YSX°=0成立。反之，當(dāng)Y°XS=0和YSX°=0時，有Y°AX°＝Y(jié)°bY°AX°=CX°顯然有Y°b=CX°,由性質(zhì)3知Y°與X°是（LP）與（DP）的最優(yōu)解。證畢。7/16/2023性質(zhì)5告訴我們已知一個問題的最優(yōu)解時求另一個問題的最優(yōu)解的方法，即已知Y°求X°或已知X°求Y°。Y°XS=0和YSX°=0兩式稱為互補松弛條件。將互補松弛條件寫成下式由于變量都非負(fù)，要使求和式等于零，則必定每一分量為零，因而有下列關(guān)系：7/16/2023（1）當(dāng)yi°>0時，，反之當(dāng)時yi°=0；注意：對于非對稱形式，性質(zhì)5的結(jié)論仍然有效?！纠?.6】已知線性規(guī)劃的最優(yōu)解是，求對偶問題的最優(yōu)解。7/16/2023的最優(yōu)解是，求對偶問題的最優(yōu)解?！窘狻繉ε紗栴}是因為X1≠0，X2≠0，所以對偶問題的第一、二個約束的松弛變量等于零，即解此線性方程組得y1=1,y2=1,從而對偶問題的最優(yōu)解為Y=（1，1），最優(yōu)值w=26。7/16/2023【例2.7】已知線性規(guī)劃的對偶問題的最優(yōu)解為Y=（0,-2），求原問題的最優(yōu)解?！窘狻繉ε紗栴}是由y2≠0得=0，由得x2=0，原問題的約束條件變?yōu)?解此方程組得原問題最優(yōu)解：X=(-5,0,-1)T，minZ=-12。7/16/2023【例2.8】證明下列線性規(guī)劃無最優(yōu)解：【證】容易看出X=（4，0，0）是一可行解，故問題可行。對偶問題將三個約束的兩端分別相加得，而第二個約束有y2≥1，矛盾，故對偶問題無可行解，因而原問題為無界解，即無最優(yōu)解。7/16/2023【性質(zhì)6】（LP）的檢驗數(shù)的相反數(shù)對應(yīng)于（DP）的一組基本解.其中第j個決策變量xj的檢驗數(shù)的相反數(shù)對應(yīng)于（DP）中第j個松弛變量的解，第i個松弛變量的檢驗數(shù)的相反數(shù)對應(yīng)于第i個對偶變量yi的解。反之，（DP）的檢驗數(shù)（注意：不乘負(fù)號）對應(yīng)于（LP）的一組基本解。證明略。7/16/2023【例2.9】線性規(guī)劃（1）用單純形法求最優(yōu)解；（2）寫出每步迭代對應(yīng)對偶問題的基本解；（3）從最優(yōu)表中寫出對偶問題的最優(yōu)解；（4）用公式Y(jié)=CBB-1求對偶問題的最優(yōu)解。【解】（1）加入松弛變量x4、x5后，單純形迭代如表2－2所示。7/16/2023表2－2XBx1x2x3x4x5b(1)x4x52*1-102410012→4λj6↑-2100

(2)x1x510-1/21/2*131/2-1/20113→λj01↑-5-30

(3)x1x21001460-11246λj00-11-2-2

7/16/2023最優(yōu)解X=（4，6，0），最優(yōu)值Z=6×4－2×6=12；（2）設(shè)對偶變量為y1、y2,松弛變量為y3、y4、y5,Y=（y1、y2、y3、y4、y5），由性質(zhì)6得到對偶問題的基本解（y1、y2、y3、y4、y5）=（－λ4，－λ5，－λ1，－λ2，－λ3），即表2－2（1）中λ=（6，－2，1，0，0），則Y（1）=（0，0，-6，2，－1）表2－2（2）中λ=（0，1，－5，－3，0），則Y（2）=（3，0，0，－1，5）表2－2（3）中λ=（0，0，－11，－2，－2），則Y（3）=（2，2，0，0，11）7/16/2023（1）因為表2－2（3）為最優(yōu)解，故

Y（3）=（2，2，0，0，11）為對偶問題最優(yōu)解；（1）表2－2（3）中的最優(yōu)基

B-1為表2－2（3）中x4，x5兩列的系數(shù)，即CB=（6，－2），因而7/16/2023本節(jié)您學(xué)了六個對偶性質(zhì)；這些性質(zhì)是研究原問題與對偶問題解的對應(yīng)關(guān)系；表2－3也許對您了解這些性質(zhì)有幫助。表2－3一個問題max另一個問題min有最優(yōu)解有最優(yōu)解性質(zhì)4無最優(yōu)解無最優(yōu)解無最優(yōu)解性質(zhì)4無界解（有可行解）無可行解性質(zhì)2無可行解無界解（有可行解）應(yīng)用已知最優(yōu)解通過解方程求最優(yōu)解性質(zhì)5已知檢驗數(shù)檢驗數(shù)乘以－1求得基本解性質(zhì)67/16/2023試一試：判斷下列結(jié)論是否正確，如果不正確，應(yīng)該怎樣改正？1．任何線性規(guī)劃都存在一個對應(yīng)的對偶線性規(guī)劃.2．原問題第i個約束是“≤”約束，則對偶變量yi≥0.3．互為對偶問題，或者同時都有最優(yōu)解，或者同時都無最優(yōu)解.4．對偶問題有可行解，則原問題也有可行解.5．原問題有多重解，對偶問題也有多重解.6．對偶問題有可行解，原問題無可行解，則對偶問題具有無界解.7．原問題無最優(yōu)解，則對偶問題無可行解.8．若某種資源影子價格為零，則該資源一定有剩余.9．對偶問題不可行，原問題可能無界解.10．原問題與對偶問題都可行，則都有最優(yōu)解.11．原問題具有無界解，則對偶問題不可行.12．對偶問題具有無界解，則原問題無最優(yōu)解.13．若X*、Y*是原問題與對偶問題的最優(yōu)解，則X*=Y*.14．在資源優(yōu)化的線性規(guī)劃問題中，若某一資源有剩余，則該資源影子價格為零.

7/16/2023作業(yè)：教材P75T2.4、2.6、2.5TheEndofSection2.2對偶單純形法Exit7/16/2023設(shè)原問題是（記為LP）：對偶問題是（記為DP）：根據(jù)對偶性質(zhì)6，可以構(gòu)造一個求線性規(guī)劃的另一種方法，即對偶單純形法。對偶單純形法的計算步驟：對偶單純形法的條件是：初始表中對偶問題可行，即極大化問題時λj≤0，極小化問題時λj≥0。7/16/2023（1）將線性規(guī)劃的約束化為等式，求出一組基本解，因為對偶問題可行，即全部檢驗數(shù)λj≤0（max）或λj≥0（min）,當(dāng)基本解可行時，則達(dá)到最優(yōu)解；若基本解不可行，即有某個基變量的解bi<0，則進行換基計算；（2）先確定出基變量。行對應(yīng)的變量xl出基；（3）再選進基變量。求最小比值（4）求新的基本解，用初等變換將主元素alk化為l,k列其它元素化為零，得到新的基本解，轉(zhuǎn)到第一步重復(fù)運算。7/16/2023【例2.10】用對偶單純形法求解【解】先將約束不等式化為等式，再兩邊同乘以（－1），得到用對偶單純形法，迭代過程如下頁或看演示(請啟用宏)。7/16/2023表2－47/16/2023應(yīng)當(dāng)注意：（1）用對偶單純形法求解線性規(guī)劃是一種求解方法，而不是去求對偶問題的最優(yōu)解；（2）初始表中一定要滿足對偶問題可行，也就是說檢驗數(shù)滿足最優(yōu)判別準(zhǔn)則；（3）最小比值中的絕對值是使得比值非負(fù)，在極小化問題時λj≥0，分母aij<0這時必須取絕對值。在極大化問題中，λ≤j0分母aij<0，總滿足非負(fù)，這時絕對值符號不起作用，可以去掉。如在本例中將目標(biāo)函數(shù)寫成這里λj≤0在求θk時就可以不帶絕對值符號。7/16/2023（4）對偶單純形法與普通單純形法的換基順序不一樣，普通單純形法是先確定進基變量后確定出基變量，對偶單純形法是先確定出基變量后確定進基變量；（5）普通單純形法的最小比值是其目的是保證下一個原問題的基本解可行，對偶單純形法的最小比值是其目的是保證下一個對偶問題的基本解可行；（6）對偶單純形法在確定出基變量時，若不遵循規(guī)則，任選一個小于零的bi對應(yīng)的基變量出基，不影響計算結(jié)果，只是迭代次數(shù)可能不一樣。7/16/2023【例2.12】用對偶單純形法求解求解過程見演示（鏈接到Excel文件，需啟用宏）。7/16/2023例2.12可用性質(zhì)6及性質(zhì)2來說明，表（2）的第2行對應(yīng)于對偶問題的第2列（相差一個負(fù)號），檢驗數(shù)行對應(yīng)于對偶問題的常數(shù)項（相差一個負(fù)號），比值對應(yīng)于對偶問題的比值失效也說明即對偶問題具有無界解，由性質(zhì)2知原問題無可行解。7/16/2023本節(jié)利用對偶性質(zhì)6：原問題的檢驗數(shù)與對偶問題的基本解的對應(yīng)關(guān)系，介紹了一種特殊線性規(guī)劃的求解方法—對偶單純形法。1.對偶單純形法的應(yīng)用條件；2.出基與進基的順序；3.如何求最小比值；4.最優(yōu)解、無可行解的判斷。作業(yè)：教材P76T2.7TheEndofSection3靈敏度分析Exit7/16/2023線性規(guī)劃的靈敏度分析也稱為敏感性分析，它是研究和分析參數(shù)（cj，bi，aij）的波動對最優(yōu)解的影響程度，主要研究下面兩個方面：（1）參數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時，原最優(yōu)解或最優(yōu)基不變；（2）當(dāng)參數(shù)已經(jīng)變化時，最優(yōu)解或最優(yōu)基有何變化。當(dāng)模型的參數(shù)發(fā)生變化后，可以不必對線性規(guī)劃問題重新求解，而用靈敏度分析方法直接在原線性規(guī)劃取得的最優(yōu)結(jié)果的基礎(chǔ)上進行分析或求解，既可減少計算量，又可事先知道參數(shù)的變化范圍，及時對原決策作出調(diào)整和修正。2.4.1價值系數(shù)cj的變化分析為使最優(yōu)解不變，求cj的變化范圍。7/16/2023設(shè)線性規(guī)劃其中Am×n，線性規(guī)劃存在最優(yōu)解，最優(yōu)基的逆矩陣為檢驗數(shù)為要使最優(yōu)解不變，即當(dāng)cj變化為后，檢驗數(shù)仍然是小于等于零，即這時分cj是非基變量和基變量的系數(shù)兩種情況討論。7/16/2023一、cj是非基變量xj的系數(shù)即cj的增量不超過cj的檢驗數(shù)的相反數(shù)時，最優(yōu)解不變，否則最優(yōu)解就要改變。所以7/16/2023二、ci是基變量xi的系數(shù)因ci∈CB，所以每個檢驗數(shù)λj中含有ci,當(dāng)ci變化為ci＋后λj同時變化，這時令令7/16/2023要使得所有，則有【例2.13】線性規(guī)劃（1）求最優(yōu)解；（2）分別求c1,c2,c3的變化范圍，使得最優(yōu)解不變。7/16/2023【解】（1）加入松弛變量x4,x5,x6，用單純形法求解，最優(yōu)表如表2－6所示。表2－6Cj113000bCBXBx1x2x3x4x5x60x40－201－1－151x111001－153x301100115λj0－300－1－2

最優(yōu)解X=（5，0，15）;最優(yōu)值Z=50。7/16/2023（2）x2為非基變量，x1、x3為基變量，則c2變化范圍是：對于c1：表2－6是x1對應(yīng)行的系數(shù)只有一個負(fù)數(shù),有兩個正數(shù)c1的變化范圍是：7/16/2023對于c3：表2－6中x3對應(yīng)行Δc3無上界，即有Δc3≥－2，c3的變化范圍是。7/16/2023對c3的變化范圍，也可直接從表2－6推出，將c3=3寫成分別計算非基變量的檢驗數(shù)并令其小于等于零。7/16/2023得Δc3≥－2，同理，用此方法可求出c2和c1的變化區(qū)間。，要使、同時小于等于零，解不等式組2.4.2資源限量bi變化分析為了使最優(yōu)基B不變，求bi的變化范圍。設(shè)br的增量為Δbr，b的增量為原線性規(guī)劃的最優(yōu)解為X，基變量為XB=B－1b，要使最優(yōu)基B不變，即要求，7/16/2023因為7/16/2023所以當(dāng)令7/16/2023因而要使得所有必須滿足這個公式與求的上、下限的公式類似，比值的分子都小于等于零，分母是B－1中第r列的元素，大于等于比值小于零的最大值，小于等于比值大于零的最小值。當(dāng)某個時，可能上界或無下界。【例2.14】求例2.13的b1,b2,b3分別在什么范圍內(nèi)變化時，原最優(yōu)基不變。7/16/2023【解】解：由表2－6知，最優(yōu)基B、B－1及分別為對于b1：比值的分母取B－1的第一列，這里只有β11=1，而β21=β31=0，則7/16/2023Δb1無上界，即Δb1≥－5，因而b1在內(nèi)變化時最優(yōu)基不變。對于b2：比值的分母取B－1的第二列，，則即b2在[15，25]上變化時最優(yōu)基不變。7/16/2023對于b3：比值的分母取B－1的第三列，有故有在[0，20]上變化時最優(yōu)基不變。靈敏度分析方法還可以分析工藝系數(shù)aij的變化對最優(yōu)解的影響，對增加約束、變量或減少約束、變量等情形的分析，下面以一個例子來說明這些分析方法。若線性規(guī)劃模型是一個生產(chǎn)計劃模型，當(dāng)求出cj或bi的最大允許變化范圍時，就可隨時根據(jù)市場的變化來掌握生產(chǎn)計劃的調(diào)整。7/16/2023【例2.15】考慮下列線性規(guī)劃求出最優(yōu)解后，分別對下列各種變化進行靈敏度分析，求出變化后的最優(yōu)解。（1）將目標(biāo)函數(shù)改為；（1）改變右端常數(shù)為:7/16/2023（3）改變目標(biāo)函數(shù)x3的系數(shù)為c3=1;（4）改變目標(biāo)函數(shù)中x2的系數(shù)為c2=2；（5）改變x2的系數(shù)為（6）改變約束（1）為（7）增加新約束（8）增加新約束7/16/2023【解】加入松弛變量x4、x5、x6，用單純形法計算，最優(yōu)表如2－7所示。表2－7Cj2-14000bCBXBx1x2x3x4x5x64x305/711/73/7022x112/70－1/74/7010x60－200－111λj0－31/70－2/7－20/70

7/16/2023最優(yōu)解X=（1，0，2，0，0，1），最優(yōu)值Z=10，最優(yōu)基（1）等價于，即將cj改變?yōu)椋ǎ?，1，－4），其中c1=－2、c3=－4是基變量的系數(shù)，c2=1是非基變量的系數(shù)，求得檢驗數(shù)7/16/2023這里表2－7的解不是最優(yōu)，將上述檢驗數(shù)代替表2－7的檢驗數(shù)，再單純形法繼續(xù)迭代，計算結(jié)果如表2－8所示。7/16/2023表2－8cj－21－4000bCBXBx1x2x3x4x5x6－4x305/711/73/702－2x112/70－1/74/7010x60－200－111λj031/702/720/70

1x2017/51/53/5014/5－2x110－2/5－1/52/501/50x60014/52/51/5033/5λj00－31/5－3/51/50

1x2－3/2121/2005/20x55/20－1－1/2101/20x6－1/2031/20113/2λj－1/20－6－1/200

7/16/2023最優(yōu)解（2）基變量的解為基本解不可行，將求得的XB代替表2－7中的常數(shù)項，用對偶單純形法求解，其結(jié)果見表2－9所示。7/16/2023表2－9Cj2－14000bCBXBx1x2x3x4x5x64x305/711/73/7022/72x112/70－1/74/706/70x60－200－11－2λj0－31/70－2/7－20/70

4x30011/71/145/1417/72x1100－1/73/71/74/7－1x201001/2－1/21λj000－2/7－9/14－31/14

7/16/2023最優(yōu)解（3）由表2－7容易得到基變量x3的系數(shù)c3的增量變化范圍是，而c3=1在允許的變化范圍之外，故表2－7的解不是最優(yōu)解。非基變量的檢驗數(shù)x4進基，用單純形法計算，得到表2－10。7/16/2023表2－10XBx1x2x3x4x5x6

bx305/711/73/702x112/70－1/74/701x60－200－111λj0－16/