河南省南陽市六校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022—2023學(xué)年（下）南陽六校高一年級期末考試數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知的半徑為，弦的長等于半徑，則劣弧的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由弦長可確定所對圓心角，代入扇形弧長公式即可.【詳解】弦的長等于半徑，所對的圓心角為，的長為.故選：C.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行化簡，從而得出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可.【詳解】，故對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第二象限.故選：B3.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，得到，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】由，平方可得，可得，因?yàn)?，所以，所以，又由，所?故選：B.4.如圖，一個(gè)水平放置的平行四邊形ABCD的斜二測畫法的直觀圖為矩形，若，，則在原平行四邊形ABCD中，（）A.3 B. C. D.9【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法規(guī)則把直觀圖還原為原圖形即可求解.【詳解】在直觀圖中，，，則，，把直觀圖還原為原圖，如圖，則根據(jù)斜二測畫法規(guī)則得，，所以.故選：D.5.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用降冪公式和二倍角公式進(jìn)行化簡，求出A的值后即可求B.【詳解】，，，，在△ABC中，.,.故選：A.6.將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長度得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則的零點(diǎn)為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由圖象變換可得，根據(jù)題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，以整體，結(jié)合正弦函數(shù)求零點(diǎn).【詳解】將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長度，得到，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，解得，又因?yàn)椋瑒t，所以，令，解得，即的零點(diǎn)為.故選：C.7.已知某正四棱臺(tái)上底面的邊長為，下底面的邊長為，外接球的表面積為，則該正四棱臺(tái)的體積為（）A.224 B.112 C.224或 D.112或【答案】D【解析】【分析】確定上底面和下底面的中心，連接兩個(gè)中心，分球心在線段上和延長線上兩種情況考慮，利用勾股定理可求出正四棱臺(tái)的高，近一步計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意，球心位置分為兩種情況：若球心位置在幾何體內(nèi)，如圖所示：設(shè)為外接球球心，為外接球半徑，則,又上底面是邊長為的正方形，故下底面的邊長為的正方形，故外接球的表面積為所以則所以正四棱臺(tái)的高正四棱臺(tái)的體積當(dāng)球心在的延長線上時(shí)，正四棱臺(tái)的高則正四棱臺(tái)的體積故選：8.已知△ABC中，，且△ABC的面積為，則△ABC的邊AB上的中線長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意利用正弦定理可得，結(jié)合面積公式可得，再根據(jù)向量可知，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求模長.【詳解】由正弦定理可得：，設(shè)，由面積公式，即，解得，則，設(shè)邊AB上的中線為，則，可得，即.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可求解.【詳解】A項(xiàng)，，可平行，可相交，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，由，，可得，又，所以與可能平行，還可能，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；C項(xiàng)，由于，，所以，又，所以，故C項(xiàng)正確；D項(xiàng)，由，，可知或，又，所以，故D項(xiàng)正確；故選：CD.10.已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.z的虛部為i B.C. D.若，則的最小值是1【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)概念，可判定A不正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可判定B、C正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可判定D正確.【詳解】由復(fù)數(shù)，可得復(fù)數(shù)虛部為，所以A不正確；由復(fù)數(shù)，所以B正確；由復(fù)數(shù)，，所以C正確；由復(fù)數(shù)，可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為的單位圓，如圖所示，又由復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)，可得，所以的最小值為，所以D正確.故選：BCD.11.如圖，正三棱錐的底面邊長是側(cè)棱長的倍，E，F(xiàn)，H分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，D為PH的中點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面【答案】ABD【解析】【分析】利用平面與平面垂直的判定定理判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，在等腰三角形中，，在等腰三角形中，,又因?yàn)?平面中，所以平面,因?yàn)槠矫?所以平面平面，故A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以∥,所以平面,因平面,所以平面平面，故B正確；選項(xiàng)C，由已知條件可知,為的中點(diǎn)，則,若平面平面，則平面,根據(jù)正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征可知點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是三角形的中心，同時(shí)也是的三等分點(diǎn)，而此處為的中點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，連接，分別為的中點(diǎn)，所以∥,因?yàn)檎忮F的底邊長為側(cè)棱的倍，所以三棱錐的側(cè)面均為等腰直角三角形，所以，，因?yàn)?平面,所以平面,所以平面,又因?yàn)槠矫?所以平面平面，故D正確；故選：.12.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱B.的值域?yàn)镃.滿足在區(qū)間上單調(diào)遞增的的最大值為D.在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為【答案】ACD【解析】【分析】利用兩角和差公式、二倍角和輔助角公式可化簡得到；利用代入檢驗(yàn)法可知A正確；根據(jù)正弦型函數(shù)值域可知B錯(cuò)誤；根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增，利用整體代換法可求得范圍，知C正確；將問題轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和的問題，由對稱性可求得D正確.【詳解】；對于A，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，A正確；對于B，，的值域?yàn)?，B錯(cuò)誤；對于C，若在上單調(diào)遞增，則，解得：，又，，解得：，，，則的最大值為，C正確；對于D，令，則；當(dāng)時(shí)，，作出與的圖象如下圖所示，與的交點(diǎn)即為方程的根，由對稱性可知：，，，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)相關(guān)問題的求解；本題求解方程實(shí)根之和的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)的問題，采用數(shù)形結(jié)合的方式，結(jié)合正弦函數(shù)對稱性可求得結(jié)果.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合向量垂直可得，進(jìn)而可求模長.【詳解】由題意可得，若，則，解得，所以，則.故答案為：.14.已知函數(shù)的最小正周期為，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正切型函數(shù)的周期可得，再令，結(jié)合正切函數(shù)求定義域.【詳解】由題意可得：，且，解得，對于函數(shù)，令，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.15.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，則______．【答案】【解析】【分析】先利用三角函數(shù)的定義求得和，再根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡求解即可.【詳解】因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，所以，，所以，故答案為：16.已知向量滿足，則的最小值是______，最大值是______．【答案】①.②.【解析】【分析】利用向量數(shù)量積運(yùn)算律可得到，，令，平方后可求得范圍，進(jìn)而得到的范圍，即可求得所求最值.【詳解】設(shè)夾角為，，，，令，則且，，，，，即的最小值為，最大值為.故答案為：；.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)．（1）求證：平面，（2）若三棱柱的體積為6，求四面體的體積．【答案】（1）證明見解析（2）2【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，可得，利用線面平行的判斷定理可得答案；（2）設(shè)，，利用三棱柱的體積為6可得，再由可得答案.【小問1詳解】連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，所以為的中點(diǎn)，可得為的中位線，所以，因?yàn)槠矫?，平面，平面；【小?詳解】在直三棱柱中，底面，平面，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，設(shè)，，所以三棱柱的體積為，可得，所以.18.如圖，在中，．（1）用，表示，；（2）若點(diǎn)滿足，證明：，，三點(diǎn)共線．【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算和基本定理求解即可.（2）利用三點(diǎn)共線的判定證明即可.【小問1詳解】因?yàn)?，?【小問2詳解】由，可得，所以，，即，所以，，三點(diǎn)共線.19.已知復(fù)數(shù)，，．（1）若為實(shí)數(shù)，求的值；（2）設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別是，若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算將化簡，然后由為實(shí)數(shù)列出方程，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由列出方程即可得到，再由同角的平方關(guān)系，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，且為?shí)數(shù)，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以，則.【小問2詳解】由題意可得，，，因?yàn)?，所以，即，化簡可得，所以，又因?yàn)?，則，所以.20.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，已知的圖象在區(qū)間上有且僅有兩條對稱軸．（1）求；（2）求在上的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）（2）遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為.【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到，再由的圖象在區(qū)間上有且僅有兩條對稱軸，求得，得到，得出，即可求得的值；（2）由，可得，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【小問1詳解】解：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到，因?yàn)?，可得，又因?yàn)榈膱D象在區(qū)間上有且僅有兩條對稱軸，則滿足，解得，因?yàn)?，所以，所以，則.【小問2詳解】解：由函數(shù)，又由，可得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.21.在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若，求bc的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再由內(nèi)角和等于消去角C，然后通過兩角和差的正弦公式展開化簡即可求解；（2）由正弦定理、三角恒等變換化簡可得，結(jié)合角A的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】已知，由正弦定理可得，即，整理得，又，所以，所以，即，又，所以，即.【小問2詳解】由（1）知，又，由正弦定理，得，所以，所以，，在銳角中，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，則，故的周長的取值范圍為.22.如圖，圓錐PO的體積，點(diǎn)A，B，C，D都在底面圓周上，且，，AB＝4，E為PB的中點(diǎn)．（1）求圓錐PO的側(cè)面積；（2）求直線CE與平面