湖南省長沙市毛公橋中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

湖南省長沙市毛公橋中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在等差數(shù)列{an}中，已知，，公差d=－2，則n=()

A.16

B.17

C.18

D.19參考答案：C2.記Ⅰ為虛數(shù)集，設(shè)，，則下列類比所得的結(jié)論正確的是（

）A．由，類比得B．由，類比得C.由，類比得D．由，類比得參考答案：C3.已知圓的極坐標(biāo)方程為，則其圓心坐標(biāo)為（）A. B. C. D.(2,0)參考答案：B【分析】把圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求得圓心坐標(biāo)，再根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可求解.【詳解】由題意知，圓的極坐標(biāo)方程為，即，即，所以，所以圓心坐標(biāo)為，又由，可得圓心的極坐標(biāo)為，故選B.【點睛】本題主要考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，及圓的方程應(yīng)用，其中解答中熟記極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，把極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4.曲線y=x3﹣2在點（1，﹣）處切線的斜率為（）A． B．1 C．﹣1 D．參考答案：B【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】求曲線在某點處的切線的斜率，就是求曲線在該點處的導(dǎo)數(shù)值，先求導(dǎo)函數(shù)，然后將點的坐標(biāo)代入即可求得結(jié)果．【解答】解：y=x3﹣2的導(dǎo)數(shù)為：y′=x2，將點（1，﹣）的橫坐標(biāo)代入，即可得斜率為：k=1．故選：B．5.四個小動物換座位，開始是鼠、猴、兔、貓分別坐、、、號位上（如圖），第一次前后排動物互換座位，第二次左右列動物互換座位，這樣交替進(jìn)行下去，那么第次互換座位后，小兔坐在第

號座位上A.

B.

C.

D.參考答案：B6.圓x2＋y2－4x－4y＋5＝0上的點到直線x＋y－9＝0的最大距離與最小距離的差為A.

B．2

C．3

D．6參考答案：B7.下面幾種推理過程是演繹推理的是()(A)某校高三有8個班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推測各班人數(shù)都超過50人(B)由三角形的性質(zhì),推測空間四面體的性質(zhì)(C)平行四邊形的對角線互相平分,菱形是平行四邊形,所以菱形的對角線互相平分(D)在數(shù)列{an}中,a1=1,an=

,由此歸納出{an}的通項公式參考答案：C略8.已知函數(shù)，滿足，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A.(1,2) B.(2,3) C.(1,3) D.(2,4)參考答案：A【分析】首先求出函數(shù)的定義域，把代入函數(shù)中化簡，解出不等式的解，即可得到答案?！驹斀狻亢瘮?shù)的定義域為，由可得：，兩邊平方：則（1）或（2）解（1）得：無解，解（2）得：，所以實數(shù)的取值范圍是：；故答案選A9.已知有極大值和極小值，則的取值范圍為（）．A． B． C． D．參考答案：D【考點】6C：函數(shù)在某點取得極值的條件．【分析】先求出導(dǎo)數(shù)，由有極大值、極小值可知有兩個不等實根．【解答】解：函數(shù)，所以，因為函數(shù)有極大值和極小值，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，即有兩個不相等的實數(shù)根，∴，∴，解得：或．故選．10.已知結(jié)論：在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點，G是三角形ABC的重心，則AG：GD=2:1，若把該結(jié)論推廣到空間中，則有結(jié)論：在棱長都相等的四面體ABCD中，若三角形BCD的中心為M，四面體內(nèi)部一點O到各面的距離都相等，則AO：OM=（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.雙曲線的漸近線方程是

。參考答案：12.已知命題:對任意的，則是

．參考答案：13.已知集合A={x|x2+x+a≤0},B={x|x2－x+2a－1<0}，c={x|a≤x≤4a－9}，且A，B，C中至少有一個不是空集，則a的取值范圍是

。參考答案：（－∞，）14.如圖1，線段AB的長度為，在線段AB上取兩個點C、D，使得，以CD為一邊在線段AB的上方做一個正六邊形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對圖2中的最上方的線段EF作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：記第n個圖形（圖1為第1個圖形）中的所有線段長的和為Sn，現(xiàn)給出有關(guān)數(shù)列{Sn}的四個命題：①數(shù)列{Sn}是等比贊列；②數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列；

③存在最小的正數(shù)a，使得對任意的正整數(shù)n，都有；④存在最大的正數(shù)a，使得對任意的正整數(shù)n，都有.其中真命題的序號是__________．(請寫出所有真命題的序號）.參考答案：②④分析：求出數(shù)列是的前四項，可得到①錯，②對；利用等比數(shù)列求和公式求出，利用不等式恒成立可判斷③錯，④對.詳解：由圖可知，，不是等比數(shù)列，①錯誤；是遞增數(shù)列，②正確；，對于③，，要使恒成立，只需，無最小值，③錯誤；對于④，，要使恒成立，只需，即的最大值為，④正確，真命題是②④，故答案為②④.點睛：本題考查等比數(shù)列的求和公式，不等式恒成立問題以及歸納推理的應(yīng)用，屬于難題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系，同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.15.拋擲兩個骰子，至少有一個4點或5點出現(xiàn)時，就說這次試驗成功，則在10次試驗中，成功次數(shù)X的期望是______.參考答案：在一次試驗中成功的概率為1－×＝，∵X～B，∴E(X)＝np＝10×＝.16.設(shè)空間兩個單位向量，與向量的夾角都等于，則

參考答案：略17.與雙曲線有相同焦點，且離心率為0.6的橢圓方程為---__________參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加.（注：）(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an,bn的表達(dá)式；(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？參考答案：解：(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1－)萬元，…第n年投入為800×(1－)n－1萬元，所以，n年內(nèi)的總投入為an=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1=800×(1－)k－1=4000×［1－()n］第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×(1+)，…，第n年旅游業(yè)收入400×(1+)n－1萬元.所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)k－1=400×()k－1.=1600×［()n－1］(2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此bn－an＞0，即：1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.∴至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.

略19.（12分）已知函數(shù)⑴求函數(shù)在[]上的單調(diào)區(qū)間；⑵已知角滿足，，求的值。參考答案：(2)

∵，∴∴（12分）20.（Ⅰ）求證：+＜2（Ⅱ）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求證：，中至少有一個小于2．參考答案：【考點】不等式的證明．【分析】（Ⅰ）利用了分析法，和兩邊平方法，（Ⅱ）利用了反證法，假設(shè)：，都不小于2，則≥2，≥2，推得即a+b≤2，這與已知a+b＞2矛盾，故假設(shè)不成立，從而原結(jié)論成立．【解答】（Ⅰ）證明：因為和都是正數(shù)，所以為了證明+＜2，只要證（+）2＜（2）2只需證：10＜20，即證：2＜10，即證：＜5，即證：21＜25，因為21＜25顯然成立，所以原不等式成立．（Ⅱ）證明：假設(shè)：，都不小于2，則≥2，≥2，∵a＞0，b＞0，∴1+b≥2a，1+a≥2b，∴1+b+1+a≥2（a+b）即a+b≤2這與已知a+b＞2矛盾，故假設(shè)不成立，從而原結(jié)論成立．21.已知函數(shù)f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．參考答案：【分析】（Ⅰ）由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線y=x可得f′（1）=﹣2，可求出a的值；（Ⅱ）根據(jù)（I）可得函數(shù)的解析式和導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析導(dǎo)函數(shù)的符號，進(jìn)而可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，∴f′（x）=﹣﹣，∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線y=x．∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，解得：a=．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，f′（x）=﹣﹣=（x＞0），令f′（x）=0，解得x=5，或x=﹣1（舍），∵當(dāng)x∈（0，5）時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（5，+∞）時，f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（5，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（0，5）；當(dāng)x=5時，函數(shù)取極小值﹣ln5．22.（1）當(dāng)時，求證：；（2）若，用反證法證明：函數(shù)（）無零點.參考答案：（1）見解析（2）見解析試題分析：（1）利用分析法證，將其變?yōu)檎阶C明；根據(jù)，用換元法證明；（2）假設(shè)結(jié)論不成立，可得在上有解，即在上有解.構(gòu)造函