高中物理競賽的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)自用修改

普通物理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)選自趙凱華老師新概念力學(xué)一、微積分初步物理學(xué)研究的是物質(zhì)的運動規(guī)律，因此我們經(jīng)常遇到的物理量大多數(shù)是變量，而我們要研究的正是一些變量彼此間的聯(lián)系。這樣，微積分這個數(shù)學(xué)工具就成為必要的了。我們考慮到，讀者在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)物理課時若能較早地掌握一些微積分的初步知識，對于物理學(xué)的一些基本概念和規(guī)律的深入理解是很有好處的。所以我們在這里先簡單地介紹一下微積分中最基本的概念和簡單的計算方法，在講述方法上不求嚴(yán)格和完整，而是較多地借助于直觀并密切地結(jié)合物理課的需要。至于更系統(tǒng)和更深入地掌握微積分的知識和方法，讀者將通過高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)去完成?！??函數(shù)與其圖形1.1函數(shù)自變量和因變量 絕對常量和任意常量2函數(shù)的圖象3物理學(xué)中函數(shù)的實例§2.導(dǎo)數(shù)1極限如果當(dāng)自變量X無限趨近某一數(shù)值x〔記作XfX〕時，函數(shù)f〔X〕的數(shù)00值無限趨近某一確定的數(shù)值a，則a叫做x—x時函數(shù)f〔X〕的極限值，并記0作limf&)=a. (A.17)〔A.17〕式中的“l(fā)im〃是英語“l(fā)imit〔極限〕〃一詞的縮寫，〔A.17〕式讀作“當(dāng)X趨近X時，f〔X〕的極限值等于a〃。0極限是微積分中的一個最基本的概念，它涉與的問題面很廣。這里我們不企圖給“極限〃這個概念下一個普遍而嚴(yán)格的定義，只通過一個特例來說明它的意義。求極限公式(1)lime=c

lim"切2〕XT叮Ir1°..smx.limtanx..arcsin .lim—二0hin =1 =1lim =1〔3〕4〕JiTCl工 ，心Cl x等價無窮小量代換sinx?sinx?x;tan?x;2極限的物理意義〔1〕瞬時速度(A.(A.20)對于勻變速直線運動來說,v=lim傘三=lim（險"*■包5十—aZXt）=vn+atn.Q0 2 0 0這就是我們熟悉的勻變速直線運動的速率公式〔A.5〕?！?〕瞬時加速度反映岀某一時刻速度變化的快慢，我們就需取欝在△L0時的極限，這就是物體在t=t時刻的瞬時加速度a：0/it△t(A./it△t(A.⑵〔3〕水渠的坡度任何排灌水渠的兩端都有一定的高度差，這樣才能使水流動。為簡單起見，我們假設(shè)水渠是直的，這時可以把x坐標(biāo)軸取為逆水渠走向的方向〔見圖A-5〕，于是各處渠底的高度h便是x的函數(shù)：h=h〔X〕.知道了這個函數(shù)，我們就可以計算任意兩點之間的高度差。

映出來，我們應(yīng)當(dāng)腿更外的長度間隔△籠.△諏得愈小，藝就愈能精確地反映出x=x這一點的坡度。所以在x=x這一點的坡度k應(yīng)00是厶L0時的平均坡度匸的極限值，即**曲學(xué)=1⑹h仏十g-QLXx2.3小量比值 函數(shù)的變化率——導(dǎo)數(shù)前面我們舉了三個例子，在前兩個例子中自變量都是t,第三個例子中自變量是x.這三個例子都表明，在我們研究變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系時，除了它們數(shù)值上“靜態(tài)的〃對應(yīng)關(guān)系外，我們往往還需要有“運動〃或“變化〃的觀點，著眼于研究函數(shù)變化的趨勢、增減的快慢，亦即，函數(shù)的“變化率〃概念。當(dāng)變量由一個數(shù)值變到另一個數(shù)值時，后者減去前者，叫做這個變量的增量。增量，通常用代表變量的字母前面加個“△〃來表示。例如，當(dāng)自變量x的數(shù)值由x變到x時，其增量就是01△x三x-x. 〔A.25〕10與此對應(yīng)。因變量y的數(shù)值將由y=f〔x〕變到y(tǒng)二f〔x〕，于是它的增0011量為△y三y-y二f〔x〕—f〔x〕=f(x+△x)—f〔x〕. (A.26〕應(yīng)當(dāng)指出，增量是可正可負(fù)的，負(fù)增量代表變量減少。增量比△y (坯十△韻$仗0)△盟- △誥CA.27）可以叫做函數(shù)在X=x到x=x+Ax這一區(qū)間內(nèi)的平均變化率，它在Ax-000時的極限值叫做函數(shù)y=f〔x〕對x的導(dǎo)數(shù)或微商，記作y或f〔X〕，Ay.—lim-t—=lim加-o/

除fQ外，導(dǎo)數(shù)或微商還常常寫作￥、二2dxdxaxf〔X〕等其它形式。導(dǎo)數(shù)與增量不同，它代表函數(shù)在一點的性質(zhì)，即在該點的變化率。應(yīng)當(dāng)指出，函數(shù)f〔X〕的導(dǎo)數(shù)f〔X〕本身也是X的一個函數(shù)，因此我們可以再取它對X的導(dǎo)數(shù)，這叫做函數(shù)y=f〔X〕的二階導(dǎo)數(shù)，記作卯、U、寫黑據(jù)此類推，我們不難定義出高階的導(dǎo)數(shù)來。有了導(dǎo)數(shù)的概念，前面的幾個實例中的物理量就可表示為:(A.30(A.30)(A.31)〔扎32)dt瞬時加速度過=^=4-出dt水渠坡度k=■—?ox2.4導(dǎo)數(shù)的幾何意義所以導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率。函數(shù)的變化率§3.導(dǎo)數(shù)的運算在上節(jié)里我們只給出了導(dǎo)數(shù)的定義，本節(jié)將給出以下一些公式和定理，利用它們可以把常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出來。3.1基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式〔1〕y=f〔x〕=C〔常量〕Ax^-o Ax^-o / g-o⑵y=f〔x〕=x3-q Zak 八絮§4.微分4.1微分自變量的微分，就是它的任意一個無限小的增量Ax.用dx代表x的微分,則dx=Ax.(A.38〕一個函數(shù)y二f〔X〕的導(dǎo)數(shù)f〔X〕乘以自變量的微分dx，叫做這個函數(shù)的微分，用dy或df〔X〕表示，即dy三df〔X〕三f〔x〕dx， 〔A.39〕故嚴(yán)(Q二雯. (A.40)在前面我們也曾把導(dǎo)數(shù)寫成工的形式。然而是把它作為dx一個整體引入的。當(dāng)時它雖然表面上具有分?jǐn)?shù)的形式，但在運算時并不象普通分?jǐn)?shù)那樣可以拆成“分子〃和“分母〃兩部分。在引入微分的概念之后，我們就可把導(dǎo)數(shù)看成微分dy與dx之商〔所謂“微商〃〕，即一個真正的分?jǐn)?shù)了。把導(dǎo)數(shù)寫成分?jǐn)?shù)形式，常常是很方便的，例如，把上節(jié)定理四〔A.37〕式的左端fuW@)］簡寫咸生，則該式化為dudu dv = * ■dxdv dx此公式從形式上看就和分?jǐn)?shù)運算法則一致了，很便于記憶。下面看微分的幾何意義。圖A-8是任一函數(shù)y=f〔X〕的圖形，P〔X，00y〕和P(x+Ax，y+Ay〕是曲線上兩個鄰近的點，PT是通過P的切線。直010000角三角形APMP的水平邊01麗二△紜豎直邊=Ay(見圖A-對o設(shè)PqT與NT】的交點為N,則tanZNP0tanZNP0M=MNMNP0M〔X〕，因此0但tanZNPM為切線PT的斜率，它等于〔X〕，因此0000dy=f?(z0)Ak=tanZNP0M*Az=MN.所以微分dy在幾何圖形上相當(dāng)于線段MN的長度，它和增量Ay=MPl相差NT]—段長°從上一節(jié)計算導(dǎo)數(shù)吋取概限的過程中可以看出，＜iy是Ay中正比于△藍(lán)的那一部分，而亟則是正比于〔Ax〕2以與Ax更高冪次的各項之和[例如對于函數(shù)y二f〔X〕=X3,Ay=3x2^x+3x〔Ax〕2+〔Ax〕3,而dy二f'〔x〕Ax=3x2Ax].當(dāng)△x很小時，〔Ax〕2、〔Ax〕3、…比Ax小得多，亜也就比旳小得多，所以我們可以把微分旳叫做増量心/中的線性主部。這就是說，如果函數(shù)在x=x的地方象線性函數(shù)那樣增長,0則它的增量就是dy.§5.小量累積積分5.1幾個物理中的實例(1)變速直線運動的路程我們都熟悉勻速直線運動的路程公式。如果物體的速率是v,則它在ta到t一段時間間隔內(nèi)走過的路程是bs=v(t—t). (A.45)b a對于變速直線運動來說，物體的速率v是時間的函數(shù)：v=v(t)，函數(shù)的圖形是一條曲線(見圖A-10a)，只有在勻速直線運動的特殊情況下，它才是一條直線(參見圖A-4b)。對于變速直線運動，(A.45)式已不適用。但是，我們可以把t=t到t=t這段時間間隔分割成許多小段，當(dāng)小段足夠TOC\o"1-5"\h\za b短時，在每小段時間內(nèi)的速率都可以近似地看成是不變的。這樣一來，物體在每小段時間里走過的路程都可以按照勻速直線運動的公式來計算，然后把各小段時間里走過的路程都加起來，就得到t到t這段時間里走過的總路程。a b設(shè)時間間隔(t—t)被t=t(二t)、t、t、…、t、t分割成n小段，每小b a 1a 2 3 n b段時間間隔都是At，則在t、t、t、…、t各時刻速率分別是v(t)、v(t)、12 3 n 1 2v(t)、…、v(t)。如果我們把各小段時間的速率v看成是不變的，則按照勻3 n速直線運動的公式，物體在這些小段時間走過的路程分等于v(t)At、v(t)12△t、v(t)At、…、v(t)At.于是，在整個(t-t)這段時間里的總路程是3 n bas=AtH-At+ H—+ AtII=5；v(tL)At. (A.4Qi=l現(xiàn)在我們來看看上式的幾何意義。在函數(shù)v=v(t)的圖形中，通過t=t、1t、t、…、t各點垂線的高度分別是v(t)、v(t)、v(t)、…、v(t)(見圖2 3 n 1 2 3 nATOb)，所以v(t)At、v(t)At、v(t)^t、…、v(t)△t就分1 2 3 n別是圖中那些狹長矩形的面積,是所有i=這些矩形面積的總和，即圖中畫了斜線的階梯狀圖形的面積。

在上面的計算中，我們把各小段時間At里的速率v看做是不變的，實際上在每小段時間里v多少還是有些變化的，所以上面的計算并不精確。要使計算精確，就需要把小段的數(shù)目n加大，同時所有小段的At縮短(見圖A-10c)。At愈短，在各小段里v就改變得愈少，把各小段里的運動看成勻速運動也就愈接近實際情況。所以要嚴(yán)格地計算變速運動的路程s,我們就應(yīng)對(A.46)式取nA