材料力學(xué)課件第四章彎曲內(nèi)力

§4-5載荷集度、剪力和彎矩的關(guān)系§4-6用疊加法作彎矩圖§4-7平面曲桿的彎曲內(nèi)力§4-1平面彎曲的概念和應(yīng)力§4-2梁的支座及載荷的簡(jiǎn)化§4-3平面彎曲時(shí)梁橫截面上的內(nèi)力§4-4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖§4-1平面彎曲的概念和實(shí)例一、什么叫平面彎曲？F返回FFF返回彎曲變形:桿的軸線的曲率發(fā)生變化,相鄰兩橫截面之間產(chǎn)生垂直軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng).返回平面彎曲:變形前后桿的軸線位于同一平面內(nèi)梁:以彎曲變形為主的桿件返回二.產(chǎn)生平面彎曲的充分條件若：截面有縱向?qū)ΨQ軸, 梁有縱向?qū)ΨQ面載荷均作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)（包括約束及支反力）則：變形前后梁的軸線必位于同一平面（對(duì)稱平面）內(nèi)，也稱為對(duì)稱彎曲返回當(dāng)梁的截面，載荷不滿足以上充分條件，又要其產(chǎn)生平面彎曲，則必須附加必要的條件才能產(chǎn)生平面彎曲，這將在后面討論本章僅討論彎曲內(nèi)力問題。說明返回§4-2梁的支座及載荷的簡(jiǎn)化§4-2梁的支座及載荷的簡(jiǎn)化一`支座的基本形式

1`固定鉸支座2`可動(dòng)鉸支座3`固定端支座返回`二 載荷形式(2)線性分布

(3)非線性分布返回`集中力F(N)`集中力偶

Me(N·m)均勻分布3

`分布力三靜定梁的基本形式簡(jiǎn)支梁外伸梁懸臂梁彎曲變形的主要研究對(duì)象為直梁，此外工程中還有折梁（剛架），曲梁和組合梁。返回§4、

3

平面彎曲時(shí)梁橫截面上的內(nèi)力—`

求內(nèi)力的方法——截面法靜定梁在外力作用下，求任意橫截面上的內(nèi)力。首先求支反力（必須校核），保證其大小、方向都是正確的。然后按截面法（切、取、代、平）求內(nèi)力返回

Fy

=

0

FAy-F-FQn-n=0cn-n

Ay+F(x-a)-F

xFQn-n=FAy-M

=

0

MFMn-n=FAyx-F(x-aYFMeqO求n-n截面內(nèi)力

X

設(shè)支反力已求出nnaAB依截面法返回FQ

剪力M

彎矩FxFAyaYxFAyFQn-nMnX-nc二.內(nèi)力符號(hào)規(guī)定根據(jù)符號(hào)規(guī)定,可以得到下述兩個(gè)規(guī)律:橫截面上的剪力,在數(shù)值上等于作用在此截面任一側(cè)梁上所有外力在y軸上投影的代數(shù)和;橫截面上的彎矩,在數(shù)值上等于作用在此橫截面任一側(cè)所有外力對(duì)該截面形心力矩的代數(shù)和.返回FQ

-F

+Q+MM-已知:Me、F、q、L解:求支反力在D截面切開，取右段梁求內(nèi)力qL返回Me=qL2F=qLqqL/2

L/4L/4L/4

L/4E例4.1AB求:D截面內(nèi)力CDFQMD結(jié)果為正說明方向設(shè)對(duì)；若為負(fù)說明方向設(shè)錯(cuò)。為了不發(fā)生符號(hào)的混

亂，仍采取正向假定

內(nèi)力的方法。Y

=

0eM

=qL2F=qLqL/4L/4EACDqL

2BDDL/4

L/4qLqqL4qLBFQD

-

qL

+ =

0返回1.求支反力AyFa

+

b=

bF

ByFa+b=

aF

FxabF

OAAy`FBBy求內(nèi)力y§4-4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖MQ1M12FQ2

M

=

0c11

1F x

-M

=M

=F

x1

Ay

1FY

=

0FAy-FQ1=0FQ1=FAyFBy+FQ2F

=-FQ2

ByBy

2

2=F0

x

-M

=0

AyM

=F

x2

By

2FAyFByFyOxA

x1Babx2返回2.截面法求內(nèi)力FAyC

F1FByC2列寫FQ`M方程的簡(jiǎn)便方法:一`在正確的支反力前提下二`依符號(hào)規(guī)定采取正向假定內(nèi)力的方法三`根據(jù)外力對(duì)內(nèi)力的效應(yīng)直接列寫FQ`M方程1`FQ(x)=?左起列方程:向上的力產(chǎn)生正的FQ向下的力產(chǎn)生負(fù)的FQ右起反之!2`M(x)=?不論從哪邊起,向上的力產(chǎn)生正的M向下的力產(chǎn)生負(fù)的M彎矩圖FQ=FQ(x)

方程用圖形表示剪力圖返回M=M(x)結(jié)構(gòu)圖FQxMxQ,M方程,并Q作F

,M解：(1)求支反力（2）列FQ,M方程Q（3）作F

，M圖；內(nèi)力方程描M返回FaFbBF

y

=FA

y

=

LLFb圖L。Fbx11M1

=FQ1

=

Lx

￡

a)(0

￡點(diǎn)。LMFa22=

Fax2FQ

2

=

-

L(0

￡

x

￡

b)LFbLFaLFabLFQFbFa

LbaAB例4`2x列1

出F圖示x梁2

的FL例4`3 列內(nèi)力方程,作FQ`M圖Me/(a+b)Meb/(a+b)Mea/(a+b)M解:求支反力,大小`方向如圖列FQ`

M方程FQ1=-Me/(a+b)F

=-eMQ2/(a+b)M1=-Mex1/(a+b)eb)FQeM

/(a+b)校核支反力！返回aM

/(a+bex1

M

x2例4`4列圖示內(nèi)力方程,作FQ`M圖解:求支反力,大小`方向如圖FQ(x)=qL/2-qxM(x)=qLx/2-qx2/作FQ`M圖FQ返回M8ql

2L qL

2M

( )

=2

82M

'

(

x

)

=

qL

-

qxLqBAx2令

M

'

=

0

,

x

=

LL/2qL/2

列FQ`M方程qL/2qL/2qL/2§4-5載荷集度`剪力和彎矩的關(guān)系q(x)向上為正xDxPMq

x)dxFQ(x)+dFQ(x)M(x)+dM(x)QM(x)F

(x)q(x)取圖示坐標(biāo)系，由微段的平衡，略去高階微量,有x

2x1x

2x1FQ(x)dxM(x2)

-

M(x1)

=q(x)dxFQ(x2)

-

FQ(x1)

=dFQ(x)/dx=q(x)dM(x)/dx=FQ(x)d2M(x)/dx2=q經(jīng)積分得(x)梁微段的注意：導(dǎo)數(shù)關(guān)系與坐標(biāo)選取有關(guān)，若利用q(x)`FQ(x)`M(x)之間的微`積分關(guān)系可以幫助繪制`校核FQ`M圖。利用歸納的q`F`Me作用下FQ`M圖的特征找出繪制FQ`M圖的簡(jiǎn)便方法。q`FQ`M式的力學(xué)意義平衡方程式Y(jié)

FQ以向上為正dFQ/dx=-qdM/dx=

FxoFQ`M曲線的斜率，M曲線的凹凸幾何意義繪制FQ`M圖的簡(jiǎn)便方法一`

在正確的支反力前提下。二`

依FQ`M符號(hào)規(guī)定，采取正向假定內(nèi)力的方法。三`

有集中力F作用處，F(xiàn)Q圖有突變，突變值=

集中力數(shù)值；有集中力偶Me作用處，M圖有突變，突變值=集中力偶數(shù)值四`

根據(jù)q`FQ`M間的微分關(guān)系定圖形。FQ=a1+b1xM為x的二次函數(shù)FQ<0FQ>0FQ>0FQ<01`q=0段FQ=C1為水平線M=a+bx為斜直線2`q=C段FQ>0FQ<0q>q<

0

0

載荷圖xFQMx五`FQ=0處，M取得極值。六`根據(jù)q`FQ`M之間的積分關(guān)系定FQ`M圖數(shù)值DFQDMFQ>0FQ<0七`內(nèi)力圖封閉面積增量法兩截面間內(nèi)力的變化量=上圖對(duì)應(yīng)的面積內(nèi)力圖規(guī)律+

e外力情況荷載圖剪力圖彎矩圖無外荷載q=

0dQ(x)

=ˉ0dxQ(x)

=

cdM(x)

=

cdxM(x)=

cx

+

d平行軸線的直線段斜直線均布荷載q

>

0dQ(x)

=

qdxQ(x)

=

qx

+ddM(x)

=

qx

+ddx

q

2M(x)

=

x

+

dx2q

<

0斜直線二次曲線內(nèi)力圖規(guī)律外力情況荷載圖剪力圖彎矩圖集中力P}P集中力偶M}MqL/2qLFQ

qL/2xMxqL2/8qLqLqL2/8qqL/2

L/4L/4L/2qL2/4

3qL2/8FQ2qa3qaqa2qa2M

2qa2qa5qa2qa22qaqa2aa用簡(jiǎn)便方法繪制FQ

M圖解:求支反力(大小`方向如圖)2qa25qa/2qa/2FQXqa/29qa/2XM

qa2校核支反力！qa例4.5作FQ`M圖2q2qaa2aa2qaQXqaqaqa2/2qa2/2qa2/2qa2/2例4.6作FQ`M圖qqa2aa2qaaXMX(m)FQ/kN8.53.564.836M/kN

mX(m)746.043.5kNX(m)yqMe224圖14.5kN例4.9已知q=3kN/m,Me=3kN

m,作FQ,MX(m)X(m)5M/kN

m313267kN5kN2kN10kNm3m4m4m4m1kN/m2kN解例:4求.10支作反FQ力,M圖(大小`方向如圖FQ)/kN

720

20.5

166例

題ˉ20kNm20kNm31.25kNm20kN15kN25kN35kN25kNB20kNm

=

40kNmq

=10kN

/

mC

A1m

4mQ圖荷載圖ˉ2.5mM圖工程中某些結(jié)構(gòu)的軸線是由幾段直線組成的折線，這種結(jié)構(gòu)的每?jī)山M成部分用剛節(jié)點(diǎn)聯(lián)接。剛節(jié)點(diǎn)---剛性接頭處，相連桿件間的夾角在受力時(shí)不變化，剛節(jié)點(diǎn)不僅能傳力，而且還能傳遞力矩。剛架---桿系在聯(lián)接處用剛節(jié)點(diǎn)聯(lián)接起來的結(jié)構(gòu)。平面剛架---剛架的各桿系位于同一平面內(nèi)。平面剛架的內(nèi)力及內(nèi)力圖平面剛架的內(nèi)力的計(jì)算和內(nèi)力圖的作法與直梁是一樣的，不同點(diǎn)在于對(duì)剛架的各段桿要分別選取坐標(biāo)（可用旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)）。剛架的內(nèi)力不僅有FQ`M，可能還有FN。向如圖)qa/2qa/2qa解:1`求支反力（大小`方qx2x1例4.11 列出平面剛架的內(nèi)力方程,

并作內(nèi)力圖2`分段建立內(nèi)力方程（剛節(jié)點(diǎn)處`集中力`集中力偶作用處及分布載荷不連續(xù)處均需分段）M1=qax1/2M2=qa2/2-FN1=0

FQ1=-qa/2FN2=qa/2

FQ2=qx2qx

2/23

作F

MN圖（M圖畫在桿件受壓側(cè)qaqa/2ˉˉ-ˉFQ圖M圖FN圖qa/2ˉx1qqa/2x2qaqa/2N1F

=0FQ1=-qa/21

1M

=qax

/2`

Q`

`FN即2=和qa直/梁2

的FQ規(guī)2=定q一x2樣）

M2=qa2/2-2qx

2/22qa

2注意對(duì)平面剛架剛節(jié)點(diǎn)處能夠傳遞力矩，當(dāng)該處無外力偶作用時(shí)，截面兩側(cè)的彎矩值應(yīng)相等，通常用圓弧虛線表示其值相等。疊加原理：由幾個(gè)載荷共同作用下所引起的

某一物理量（內(nèi)力，應(yīng)力，應(yīng)變或形等），等于每一個(gè)載荷（主動(dòng)）單獨(dú)作用下所引起的該物理量的疊加（代數(shù)和）應(yīng)用條件：所求物理量（內(nèi)力，應(yīng)力，應(yīng)變或形等）必須是載荷的線性齊次式當(dāng)t￡tP（t￡tP)小變形，即線彈性結(jié)構(gòu)下，內(nèi)力，應(yīng)力，應(yīng)變，均與載荷為線性關(guān)系，即滿足疊原理應(yīng)用疊加法可簡(jiǎn)化計(jì)算要求對(duì)簡(jiǎn)單載荷作用下的物理量較熟4-6用疊加法作彎矩圖方法：先分別畫出每一載荷單獨(dú)作用時(shí)梁的彎矩圖，然后將同一截面相應(yīng)的各縱坐標(biāo)代數(shù)疊加，即得到梁在所有載荷共同作用時(shí)的彎矩圖ACBL/2L/2q

F=qLbACBL/2L/2F=qL

b83ql

24Fl ql

24

=8ql

2ABLqq=

+Fqa2qa2qa2/2qa2/2qaaaF=qaFaFaMMeMMqqa2/2MMeqa2Mqa2/2qa2Fa/2MF2aaMe=qa2qMe=Faa

a

aF平面曲桿—軸線是一平面曲線小曲率桿—為曲率很小時(shí)，對(duì)小曲率的平面曲桿，其內(nèi)力的計(jì)算仍采用直梁的方法截面法：任意截面切開，設(shè)內(nèi)力FN,FQ,M根據(jù)平衡方程即可列出內(nèi)力方程內(nèi)力符號(hào)規(guī)定：FN,FQ

同前,

M—使軸線曲率增加為正4-7平面曲桿的彎曲內(nèi)力4-7平面曲桿的彎曲內(nèi)力M圖FRFN(j)=Fsinj,FQ(j)=-Fcosj,M(j)=-FRsinjRFFQMFNF

對(duì)于曲桿，因軸線本身就為曲線，內(nèi)力又在曲線上曲線分布，畫內(nèi)

力圖的意義不大這里略負(fù)定討論幾種特殊情況下梁的內(nèi)力：FQ曲線的凸凹性可由d2FQ/dx2=dq(x)/dx定q=0處FQ有極值ql/61當(dāng)分布載荷為線性函數(shù)q是C

的一次函數(shù)—斜直線M是C

的三次函數(shù)—三拋物線M曲線的凸凹性仍由q的正lq6FQ是C

的二次函數(shù)二拋物線qlql33FQl/6qlqlM9

3ql

2

3Mql

29

3FQ6ql3qlql6ql3ql2、梁上受無沖擊的移動(dòng)載荷作用此時(shí)梁內(nèi)的內(nèi)力是載荷

FQMx位置的函數(shù)因梁的支反力要隨載荷的位置而變討論：