北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第一章 特殊平行四邊形：1.2矩形的性質(zhì)與判定 填空題專題訓(xùn)練 （含答案）

第第頁北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第一章特殊平行四邊形：1.2矩形的性質(zhì)與判定填空題專題訓(xùn)練（含答案）2023-2024學(xué)年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《1.2矩形的性質(zhì)與判定》

填空題專題訓(xùn)練（附答案）

1．如圖所示，四邊形ABCD為矩形，AE⊥EG，已知∠1＝25°，則∠2＝_____

2．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠ACB＝30°，則∠AOB的大小為．

3．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的“從長(zhǎng)方形的對(duì)角線上任意一點(diǎn)作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所得兩長(zhǎng)方形的面積具有一定的大小關(guān)系（如圖所示）”請(qǐng)根據(jù)圖形判斷兩個(gè)矩形陰影部分的面積大小S1S2．（填“＞”“＜”或“＝”）

4．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝2，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，連接AE，△AB′E和△ABE關(guān)于AE所在直線對(duì)稱，若△B′CD是直角三角形，則BC邊的長(zhǎng)為．

5．已知矩形的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若AO＝2，那么BD＝．

6．將兩條鄰邊長(zhǎng)分別為，1的矩形紙片剪成四個(gè)等腰三角形紙片（無余紙片），各種剪法剪出的等腰三角形中，其中一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)可以是下列數(shù)中的（填序號(hào)）．

①，②1，③﹣1，④，⑤．

7．如圖，四邊形ABDE是長(zhǎng)方形，AC⊥DC于點(diǎn)C，交BD于點(diǎn)F，AE＝AC，∠ADE＝62°，則∠BAF的度數(shù)為．

8．如圖，點(diǎn)E為矩形ABCD的邊BC長(zhǎng)上的一點(diǎn)，作DF⊥AE于點(diǎn)F，且滿足DF＝AB．下面結(jié)論：①△DEF≌△DEC；②S△ABE＝S△ADF；③AF＝AB；④BE＝AF．其中正確的結(jié)論是．

9．在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，若∠AOB＝100°，則∠OAB＝．

10．如圖，ABCD為一矩形，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且S△ABE＝3，S△CEF＝2，S△ADF＝2，則S△AEF＝．

11．木匠做一個(gè)矩形木框，長(zhǎng)為80cm，寬為60cm，對(duì)角線的長(zhǎng)為100cm，則這個(gè)木框（填“合格”或“不合格”）

12．如圖，要使平行四邊形ABCD成為矩形，應(yīng)添加的條件是（只需填一個(gè)你認(rèn)為正確的結(jié)論即可）．

13．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于A、B兩點(diǎn)），過點(diǎn)P分別作AC、BC邊的垂線，垂足分別為M、N，則MN最小值是．

14．如圖，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，點(diǎn)P是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，C不重合），過點(diǎn)P分別作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF∥BC交AB于點(diǎn)F，連接EF，則EF的最小值為．

15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)D以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，Q以每秒4cm的速度從點(diǎn)C出發(fā)，在B、C兩點(diǎn)之間做往返運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D為止（同時(shí)點(diǎn)Q也停止），這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，P、Q、C、D四點(diǎn)組成矩形．

16．如圖，若將四根木條釘成的矩形木框變成ABCD的形狀，并使其面積變?yōu)榫匦蚊娣e的一半，則ABCD的最小內(nèi)角的度數(shù)為．

17．如圖，矩形ABCD沿AE折疊，使D點(diǎn)落在BC邊上的F點(diǎn)處，若∠BAF＝58°，則∠DAE等于_____度．

18．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm．E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)．則E到DF的距離是_____cm．

19．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，，．若，，則四邊形OCED的面積為___.

20．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AF垂直平分OB，交OB于點(diǎn)E，若AB＝6，則CF的長(zhǎng)為_____．

21．如圖，四邊形OABC是矩形，A(2，1)，B(0，5)，點(diǎn)C在第二象限，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是______．

參考答案

1．解：∵四邊形ABCD是矩形

∴AD∥BC

∴∠DFE＝∠2

∵∠DFE＝∠1+∠E＝115°

∴∠2＝115°

故答案為115°

2．解：由矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠ACB＝30°，得

∠ABC＝90°，

∠BAO＝90°﹣∠ACB＝60°．

由OA＝OB，得

△ABO是等邊三角形，

∠AOB＝60°，

故答案為：60°

3．解：如圖所示：

∵S矩形NFGD＝S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF＝S△ABC﹣（S△AEF+S△FCM）

又∵S△ADC＝S△ABC，S△ANF＝S△AEF，S△FGC＝S△FMC，

∴S矩形NFGD＝S矩形EBMF．即S1＝S2．

故答案為：＝．

4．解：連接BB′，

∵BE＝B′E＝EC，

∴∠BB′C＝90°，

∴∠B′CD＜90°，

（1）如圖1，∠B′DC＝90°，

則四邊形ABEB′和ECDB′是正方形，

∴BC＝2AB＝4，

（2）如圖2，∠CB′D＝90°，

則B，B′，D三點(diǎn)共線，

設(shè)AE，BB′交于F，

∵AB＝AB′，EB＝EB′，

∴AE垂直平分BB′，

∴BF＝B′F，

∵∠AFB＝∠DB′C＝90°，

∵∠BAF+∠ABF＝∠ABF+∠EBF＝90°，

∴∠BAF＝∠EBF，同理∠EBF＝∠DCB′，

∴∠BAF＝∠DCB′，

∵AB＝CD，

∴△ABF≌△CDB′，

∴BF＝B′D，

∴F，B′是對(duì)角線BD的三等分點(diǎn)，

∴BC＝CD＝2，

故答案為：4或2．

5．解：在矩形ABCD中，

∵對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AO＝2，

∴AO＝CO＝BO＝DO＝2，

∴BD＝2BO＝4．

故答案為：4．

6．解：如圖所示：

則其中一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)可以是①，②1，③﹣1，④，不可以是．

故答案為：①②③④．

7．解：∵四邊形ABDE是矩形，

∴∠BAE＝∠E＝90°，

∵∠ADE＝62°，

∴∠EAD＝28°，

∵AC⊥CD，

∴∠C＝∠E＝90°

∵AE＝AC，AD＝AD，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）

∴∠EAD＝∠CAD＝28°，

∴∠BAF＝90°﹣28°﹣28°＝34°，

故答案為：34°．

8．解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C＝∠ABE＝90°，AD∥BC，AB＝CD，

∵DF＝AB，

∴DF＝CD，

∵DF⊥AE，

∴∠DFA＝∠DFE＝90°，

在Rt△DEF和Rt△DEC中，，

∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），①正確；

∵AD∥BC，

∴∠AEB＝∠DAF，

在△ABE和△DFA中，，

∴△ABE≌△DFA（AAS），

∴S△ABE＝S△ADF；②正確；

∴BE＝AF，④正確，③不正確；

故答案為：①②④．

9．解：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC＝2OA，BD＝2BO，AC＝BD，

∴OB＝OA，

∵∠AOB＝100°，

∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣100°）＝40°

故答案為：40°．

10．解：設(shè)AB＝x，CE＝y(tǒng)．

∵∠B＝∠C＝90°，又S△ABE＝3，

所以BEx＝3，即BE＝，

同理CF＝，

所以DF＝CD﹣CF＝AB﹣CF＝x﹣，

AD＝＝，

而AD＝BC，

即+y＝

化簡(jiǎn)得（xy）2﹣2xy﹣24＝0．

解得xy＝6，

而矩形ABCD的面積＝x（+y）＝6+xy＝6+6＝12，

∴S△AEF＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△CEF﹣S△ADF＝12﹣3﹣2﹣2＝5，

故答案為：5．

11．解：∵802+602＝10000＝1002，

即：AD2+DC2＝AC2，

∴∠D＝90°，

同理：∠B＝∠BCD＝90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

故答案為合格．

12．解：AC＝BD，

理由是：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，

∴四邊形ABCD是矩形，

故答案為：AC＝BD．

13．解：如圖，連接MN，PC．

在△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝＝10，

∵PM⊥AC，PN⊥BC，

∴∠PMC＝∠PNC＝∠C＝90°，

∴四邊形PMCN是矩形，

∴MN＝PC，

∴當(dāng)PC⊥AB時(shí)，PC的值最小，此時(shí)MND最小值＝PC＝＝，

故答案為．

14．（1）證明：如圖，連接BP．

∵∠B＝∠D＝90°，AD＝3，CD＝4，

∴AC＝5，

∵PE⊥BC于點(diǎn)E，PF∥BC，∠B＝90°，

∴四邊形PEBF是矩形；

∴EF＝BP，

由垂線段最短可得BP⊥AC時(shí)，線段EF的值最小，

此時(shí)，S△ABC＝BCAB＝ACBP，

即×4×3＝×5BP，

解得BP＝．

故答案為：．

15．解：根據(jù)已知可知：當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)Q將由C﹣B﹣C﹣B﹣C運(yùn)動(dòng)，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠D＝90°，

∴PD∥CQ，

若PD＝CQ，則四邊形APQB是矩形，

由題意得DP＝12﹣t，

當(dāng)0≤t≤3時(shí)，CQ＝4t，12﹣t＝4t，

∴t＝2.4（s），

當(dāng)3＜t≤6時(shí)，CQ＝24﹣4t，12﹣t＝24﹣4t，

∴t＝4（s），

當(dāng)6＜t≤9時(shí)，CQ＝4t﹣24，12﹣t＝4t﹣24，

∴t＝7.2（s）；

當(dāng)9＜t≤12時(shí)，CQ＝48﹣4t，12﹣t＝48﹣4t，

∴t＝12（s），此時(shí)PQ與DC重合，無法構(gòu)成矩形，故舍去，

故答案為：2.4s或4s或7.2s．

16．解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，

∵平行四邊形的面積為矩形的一半且同底BC，

∴平行四邊形ABCD的高AE是矩形寬AB的一半．

在直角三角形ABE中，AE＝AB，

∴∠ADC＝30°．

故答案為：30°．

17．解：根據(jù)翻折不變性設(shè)∠DAE＝∠FAE＝x度，

又∵∠BAF＝58°，

∠BAD＝90°，

∴x+x+58°＝90°，

解得x＝16

∴∠EAD＝16°．

故答案為16.

18．解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝4cm，AD＝BC＝8cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，

∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，

∴AE＝BE＝AB＝2cm，BF＝CF＝BC＝4cm，

∴DF＝＝4（cm），

∴△DEF的面積＝矩形ABCD的面積﹣△BEF的面積﹣△CDF的面積﹣△ADE的面積

＝8×4﹣×4×2﹣×4×4﹣×8×2

＝12（cm2），

作EG⊥DF于G，如圖所示：

則△DEF的面積＝DFEG＝12，

∴EG＝＝3（cm），

即E到DF的距離是3cm，

故答案為3．

19．解：連接OE，與DC交于點(diǎn)F，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，AB=CD，

∵OD∥CE，OC∥DE，

∴四邊形ODEC為平行四邊形，

∵OD=OC，

∴四邊形OCED為菱形，

∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，

∵DE∥OA，且DE=OA，

∴四邊形ADEO為平行四邊形，

∵AD=，AB=2，

∴OE=，CD=2，

則S菱形OCED=OEDC=××2=．

故答案為．

20．解：∵四邊形ABCD是矩形

∴AO＝BO＝CO＝DO，∠ABC＝90°

∵AF垂直平分OB，

∴AB＝AO，BE＝EO，AF⊥BO，

∴AB＝AO＝BO，

∴△ABO是等邊三角形，

∴∠BAO＝60°，∠BAF＝∠CAF＝30°

∴∠ACB＝90°﹣∠BAO＝30°

∴∠FAC＝∠ACF＝30°，BC＝AB＝6，

∴AF＝FC，

在Rt△ABF中，AF2＝BF2+AB2，

∴CF2＝（6﹣CF）2+36

∴CF＝4.

故答案是：4.

21．解：作AM⊥x軸于M