能量原理與變分法

能量原理與變分法第1頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月§12-1外力功變形能外力功：彈性體在外力作用下發(fā)生變形，于是外力的作用點將沿外力的作用方向產(chǎn)生位移（相應(yīng)位移）。外力在相應(yīng)位移上所作的功稱為外力功。變形能：在外力作功的同時，彈性體因變形而具有了作功的能力，即彈性體因變形而儲存了能量。這種能量稱為變形能。外力功和變形能的關(guān)系：若外力從零平緩地增加到最終值，則變形中的彈性體每一瞬時都處于平衡狀態(tài)，故其動能和其它能量損失不計，于是認(rèn)為全部外力共都轉(zhuǎn)變成變形能。即：能量法：利用外力功和變形能的概念，建立分析變形、位移、內(nèi)力的原理和方法，稱為能量法。2第2頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月外力功的計算：§12-2外力功和變形能的計算F——廣義力

——廣義位移梁為非彈性體時：梁為彈性體時：在線彈性范圍內(nèi):3第3頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月變形能的計算：

如果彈性體上作用幾個廣義力（包括力偶），產(chǎn)生相應(yīng)的廣義位移（包括角位移），那么非線性彈性體的變形能：線性彈性體的變形能：

克拉比隆（Clapeyron

）原理：彈性體的變形能等于廣義力與其相應(yīng)廣義位移乘積之半的總和。4第4頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月?對于桿C先加再加特性1：計算U時不能用疊加原理。(a)(c)(b)例：現(xiàn)有a，b，c三根桿，已知其長度l和剛度EA相等，

求：各桿的變形能。第5頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月特性2：U只與載荷的最終數(shù)值有關(guān)；與加載方式無關(guān)。(a)(c)(b)對于桿C先加再加6第6頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月

桿件在基本變形情況下的變形能：

變形形式外力功位移與力的關(guān)系變形能7第7頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月組合變形情況下桿件的變形能：在所截取的微段內(nèi)，可以認(rèn)為內(nèi)力為常量。軸力、剪力、彎矩、扭矩對微段來說是處于外力位置。所以整個桿的變形能注意：對以抗彎為主的桿件及桿系，因軸力和剪力遠(yuǎn)小于彎矩對變形的影響，所以在計算這類桿件的變形時通常不計軸力和剪力的影響。8第8頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月思考：變形能的計算能不能用疊加原理9第9頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月材料質(zhì)點（微單元體）能量原理與變分法

靜力平衡變形幾何物理關(guān)系偏微分方程變分法整個變形體的能量積分方程（能量的變分為零）變分法是有限元方法的基礎(chǔ)變分法與微分方程的描述，兩者可以轉(zhuǎn)化10第10頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月

靜力可能狀態(tài)物體Q，在內(nèi)部受體力(X，Y，Z)作用，在靜力邊界S上受面力(，，)作用

外力與內(nèi)力(應(yīng)力）處處（物體內(nèi)和邊界上）滿足平衡。11第11頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月

在物體內(nèi)滿足平衡微分方程

在靜力邊界上滿足靜力邊界條件

在位移邊界上，其反力由上式給出12第12頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月

在物體內(nèi)位移與應(yīng)變滿足幾何方程ud=vd=wd=

在位移邊界Su上，滿足位移邊界條件變形協(xié)調(diào)變形可能狀態(tài)13第13頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月

靜力可能狀態(tài)（s）和變形可能狀態(tài)（d）是同一物體的兩種不同的受力狀態(tài)和變形狀態(tài)，兩者可以彼此完全獨立而沒有任何關(guān)系

靜力可能狀態(tài)的應(yīng)力所給出的變形一般不滿足變形協(xié)調(diào)變形可能狀態(tài)給出的應(yīng)力一般不滿足平衡微分方程14第14頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月

可能功原理外力（體力和面力，包括反力）在變形可能的位移上所做功

＝內(nèi)力（應(yīng)力）在變形可能的應(yīng)變上所做功15第15頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月證明:散度定理16第16頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月真實狀態(tài)（靜力可能狀態(tài)）虛位移狀態(tài)（變形可能狀態(tài)）虛位移（功）原理17第17頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月外力虛功＝內(nèi)力虛功（1）虛功原理沒有涉及到物理方程，即沒有規(guī)定應(yīng)力與應(yīng)變之間的具體關(guān)系，因此，對彈性、塑性情況均適用。（2）虛位移原理完全等價于平衡微分方程和力邊界條件。使用可能功原理，并考慮到位移邊界上反力功為零18第18頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月使用位移法求解，應(yīng)力、應(yīng)變等都通過幾何方程和物理方程看作是位移的函數(shù)。若位移及與之相應(yīng)的應(yīng)力與應(yīng)變滿足：（1）單值連續(xù)（由它給出的應(yīng)變滿足變形協(xié)調(diào)條件），（2）位移邊界條件，（3）平衡微分方程，（4）靜力邊界條件，則該位移就是問題的解，即為真實位移。

19第19頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月

僅滿足前兩個條件的位移場是變形可能的位移場，而后兩個條件等價于虛位移原理。故求解彈性力學(xué)問題又可敘述為：

(1)在所有變形可能的位移場中，尋找所給出的應(yīng)力能滿足虛位移原理的位移場?；蛘?/p>

(2)真實的位移場除必須是變形可能的位移外，它所給出的應(yīng)力還應(yīng)滿足虛位移原理。20第20頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月最小勢能原理

內(nèi)力虛功物體是彈性的，則單位體積內(nèi)的內(nèi)力虛功對于整個彈性體內(nèi)力虛功＝應(yīng)變能因虛位移而引起的改變21第21頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月

外力虛功

如果作用的外力是保守力，大小和方向都不變，只是作用點的位置改變外力虛功＝外力勢能因虛位移而引起的改變22第22頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月

稱為彈性體的總勢能，它是應(yīng)變能與外力勢能之和從彈性體的真實狀態(tài)出發(fā)產(chǎn)生虛位移，所引起的總勢能變分應(yīng)為零，即在真實狀態(tài)總勢能取極值。對于處于穩(wěn)定平衡的真實狀態(tài)，應(yīng)是取最小值，最小勢能原理：在所有變形可能的位移中，使總勢能達(dá)到最小值的位移，就是真實的位移。將上述結(jié)果代入虛功原理，得位移變分原理23第23頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）虛位移原理無論是彈性、還是塑性情況下都成立，但位移變分方程式僅對彈性保守系統(tǒng)有效。（2）變分與微分在數(shù)學(xué)上的意義等同都是指微小的變化，因此運(yùn)算方法相同，但它們的運(yùn)算對象不同：微分運(yùn)算中，自變量一般是坐標(biāo)等變量，因變量是函數(shù)。變分運(yùn)算中，自變量是函數(shù)，因變量是函數(shù)的函數(shù)，即數(shù)學(xué)上所謂的泛函?？倓菽苁俏灰坪瘮?shù)的泛函。對泛函求極值的問題，數(shù)學(xué)上稱之為變分法將求解彈性力學(xué)中偏微分方程的問題轉(zhuǎn)化為求解勢能變分問題24第24頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）設(shè)滿足位移邊界的近似位移函數(shù)為 使用位移變分原理近似求解

=U＋V＝

(ak，bk，ck)

（2）求彈性體的總勢能 25第25頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月=ak＋bk＋＝0（3）總勢能變分為零，求待定系數(shù)26第26頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例題3用變分方法求簡支梁在均布荷載作用下的撓度解：（1）設(shè)位移函數(shù)為

w(x)=c1x(lx)+c2x2(l2x2)+