高中數(shù)學-平面與平面垂直的判定教學設計學情分析教材分析課后反思

PAGE6PAGE教學設計——《2.3.2平面與平面垂直的判定》【教學目標】知識與技能①體會二面角的概念與度量②歸納兩個平面垂直的判定定理③應用判定定理證明一些空間位置關系的簡單命題過程與方法①通過二面角的概念的探索過程，滲透類比遷移的思想。②通過歸納兩個平面垂直的判定定理內容，提高學生抽象概括能力。③通過運用定理的過程，提高學生類比化歸能力，培養(yǎng)學生降低空間維數(shù)的化歸與轉化的數(shù)學思想。情感態(tài)度與價值觀直觀感知、操作確認數(shù)學定理，通過揭示概念的形成、發(fā)展和應用過程，使學生理會教學。存在于觀實生活周圍，從中激發(fā)學生積極思維，培養(yǎng)學生的觀察、分析、解決問題能力.教學重點兩個平面垂直的判定定理及應用教學難點二面角角的概念及度量方法，兩個平面垂直的判定定理的歸納概括【學法與教學用具】學法：實物觀察直觀感知操作確認類比歸納語言表達.教學用具：二面角模型長方體模型折疊紙多媒體軟硬件設備等.【教學情景設計】教學內容教師活動設計意圖引入問題1直線與直線相交成一定的角那么平面與平面相交是否也成一定角？利用課本“修筑水壩、發(fā)射人造衛(wèi)星”兩個實例，實際是兩個平面相交，它們的相對位置可由兩個平面所成的“角”確定.問題2:閱讀教科書第68頁，類比初中所學角的概念，歸納二面角的概念.從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫二面角。這條直線叫做二面角的棱這兩個半平面叫做二面角的面.問題3：舉出實際生活中一些二面角的例子.問題4：如何表示二面角？1.從實際背景出發(fā),增加學生對二面角的感性認識.讓學生感受生活中處處有數(shù)學,數(shù)學用途廣泛,增強學數(shù)學的興趣.2.概念的形成主要依靠對感性材料的抽象概括,對已有知識的歸納總結,設置學生的最近思維發(fā)展區(qū),不將書中的定義生硬地教給學生,而是通過自制模具的演示,采用類比的思想將二面角的概念移植過來。3.讓學生在此基礎上再舉一些平面成角的例子.如教室的門在打開的過程中與墻面成一定的角度,書本翻開的過程中兩張紙面呈一定的角度等.4.以知識填空的形式呈現(xiàn),使學生了解二面角的數(shù)學符號表述。探索思考二面角的度量問題1:我們常說“把門開得大些”,是指哪個角大些?我們應該怎樣刻畫二面角的大小?讓學生回憶定義兩條異面直線所成角的做法得到啟發(fā),能否用“平面角”來度量“二面角”?引導學生動手操作翻開教科書成二面角形狀,觀察書頁底部邊沿所成的平面角隨翻動幅度的改變(二面角)而改變的情況.引導學生分析書頁底部邊沿所成的平面角的特點.一是平面角的頂點在棱上二是平面角的兩邊分別在二面角的兩個平面內三是兩邊分別垂直于棱。問題2:對于確定的二面角而言,滿足上述特點的平面角有多少個?請在二面角模型上任意作兩個平面角,平面角的大小與頂點在棱上的位置有無關系?平面角與頂點在棱上的位置無關只與二面角的張角大小有關。問題3:根據(jù)平面角的特點與作法,你能歸納出二面角的平面角的概念嗎?在二面角α―l―β的棱l上任取一點O,以點O為垂足,在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB,則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角。問題4:二面角的平面角所確定的平面和二面角的棱的關系?注:1.二面角是用它的平面角來度量的,一個二面角的平面角多大,就說這個二面角是多少度的二面角。2.平面角是直角的二面角叫做直二面角。1.引導學生用“平面化”的思想來思考問題.2.捕捉創(chuàng)造適宜于學生領悟的問題情境,讓學生動手操作,直觀感受數(shù)學過程形象而生動的特點,生成知識.3.讓學生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程,使得學生對概念的認識不斷深化。4.提高學生數(shù)學表達、歸納能力.探究兩個平面垂直的判定定理觀察:教室里的墻面所在平面與地面所在平面相交,它們所成的二面角及其度數(shù).問題1:類比線線垂直的定義,如何用二面角的平面角的大小給面面垂直下一個定義?引導學生歸納面面垂直的定義。兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面相互垂直.問題2:在工程建設中,建筑工人用一端系有鉛錘的線來檢查墻面與地面是否垂直,即若緊貼墻面的鉛錘的線.如垂直地面,則確定墻面與地面垂直,否則不垂直。緊貼墻面的線?這句話的實質意義是什么?(學生討論,期望回答:即此線在墻所在平面)由此實際問題如何抽象為數(shù)學問題呢?(學生交流討論,期望回答:若平面過另一平面的垂線,則平面垂直)探究長方體模型中的面面垂直關系追問1:如何用判定定理證明長方體的側面與底面垂直?追問2:在側面內有多少條線與底面垂直?只需要幾條.追問3:(1)如何證明上述命題呢?從已學過知識可知,只能從定義出發(fā)。(2)定義的實質是什么呢?即證明兩平面垂直的根據(jù)是什么?期望回答:即證二面角的平面是直角。(3)二面角的平面角如何做出呢?關鍵在哪里?學生交流,期望回答:已知平面的垂線故此垂線必垂直于兩平面的交線,所以關鍵在于在已知平面做與公共棱垂直的直線。(4)過已知平面的垂線再作一個面與已知面是否垂直?引導學生再次經(jīng)歷上述探究過程。歸納生成兩個平面垂直的判定定理一個平面過另一個平面的垂線則這兩個平面垂直問題3:演示開門、關門的過程,門與地面始終垂直嗎?為什么?問題4:判定面面垂直的本質和關鍵是什么?1.采用類比遷移的思想,歸納面面垂直的定義,提高學生的抽象概括能力和知識遷移能力。2.教師站在稍稍超前于學生智力發(fā)展的邊界上通過問題引領來促成學生形成面面垂直的判定定理。3.強調本質,注意適度形式化.數(shù)學的本質是生動活潑的數(shù)學思維活動。通過學生交流討論,把實際問題抽象成數(shù)學問題,并賦予抽象的數(shù)學符號和表達方式。4.盡可能地揭示出知識生成的全貌,使學生從整體上把握問題的解決方法。5.用判定定理解釋生活中的常見現(xiàn)象,讓學生意識到數(shù)學來源于生活,服務于生活,也體現(xiàn)了從特殊到一般再到特殊的知識認知過程。6.促進學生數(shù)學思想方法的形成,引導學生確實掌握轉化與化歸的數(shù)學思想方法。讓學生對教學思想方法及其情境達到較為純熟的認識,并將這種認識思維地貯存在大腦中,隨時提取和應用。平面垂直的判定定理應用例：AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A、B的任意一點，求證：平面PAC⊥平面PBC證明設⊙O所在平面為α由已知條件,有PA⊥α,BC在α內,所以PA⊥BC.因為點C是不同于A、B的任意一點，AB為⊙O的直徑，所以∠BCA=90°即BC⊥CA又因為PA與AC是△PAC所在面內的兩條相交直線所以BC⊥平面PAC又因為BC在平面PBC內所以平面PAC⊥平面PBC。雖然多媒體的使用方便快捷，但不能完全代替板書。因此，教師一定要對證明過程進行規(guī)范、完整的板書，引導學生注意證明過程的規(guī)范性和嚴謹性，幫助學生養(yǎng)成良好的學習習慣。課堂梳理如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90。.證明：平面PAB⊥平面PAD1、知識性內容的總結,可以把課堂教學傳授的知識盡快轉化為學生的素質。2、數(shù)學思想方法的總結,學生更系統(tǒng)、更深刻地理解數(shù)學思想方法在解題中的地位和作用，并且逐漸培養(yǎng)學生的良好個性品質。這是每堂課必不可少的一個重要環(huán)節(jié)。布置作業(yè)基礎題：課本P.73習題2.3A組1,2,3,4.拓展題:課本P.69例在四面體PABC中任意兩個平面所成的二面角的平面角如何確定？設計了基礎題與拓展題，因材施教，這樣既面向總體又照顧學生差異，滿足不同學生發(fā)展的需要，最終實現(xiàn)全體學生的學習水平在差異狀態(tài)下的差異發(fā)展。也落實了將新課程倡導的“數(shù)學教育要面向全體學生，實現(xiàn)人人學有價值的數(shù)學，人人都能獲得必要的數(shù)學，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展?！睂W情分析——《2.3.2平面與平面垂直的判定》一、學生的認識基礎對于高一的學生來說，在初中學生已經(jīng)掌握了平面內證明線線垂直的方法，學習本課前，學生又通過直觀感知、操作確認的方法，學習了直線、平面平行的判定定理，對空間概念建立有一定基礎，因而，可以采用類比的方法來學習本課。學生的能力基礎高一學生的年齡大多在十五、六歲，處在感性認識向理性認識、抽象思維向邏輯思維轉化的時期，本節(jié)課從創(chuàng)設情境引領探究，通過平面與平面垂直的判定定理得探索歷程,使學生的感性認識進一步上升到理性認識。通過思考提問，討論，回顧相關知識，提升學習能力，學會活學活用，獨立解決與本節(jié)內容有關的實際問題。由于學生的抽象概括能力、空間想象力還有待提高。線面垂直的定義比較抽象，平面內看不到直線，要讓學生去體會“與平面內所有直線垂直”就有一定困難；同時，線面垂直判定定理的發(fā)現(xiàn)具有一定的隱蔽性，學生不易想到。因而，我將本節(jié)課的教學難點確立為：操作確認并概括出直線與平面垂直的定義和判定定理。由于本課時內容具有較高的抽象性，學生們會感到困難，因此在教學中，除了引導學生自主、探索、合作學習以外，還通過啟發(fā)式教學，設置一定量的問題情境，來激發(fā)學生的學習興趣和進一步培養(yǎng)他們分析、歸納、概括能力。在此基礎上，他們能夠掌握基本的思維方法，特別是抽象邏輯思維、辯證思維、創(chuàng)造思維有了較大的發(fā)展。觀察力、記憶力、想象力有了一定的提高，認知活動的自覺性，認知系統(tǒng)的自我評價和自我控制能力也有了相應的發(fā)展。效果分析——《2.3.2平面與平面垂直的判定》通過大家激烈的討論，感覺很有啟發(fā)。我個人認為，從總體上來說，這還是一堂比較成功的探究式教學的課程。本節(jié)課體現(xiàn)了新課改的理念，充分調動了學生學習和探究的積極性，提高了學生的數(shù)學素養(yǎng)。一、本節(jié)課的成功之處1、復習的內容能夠使學生很快進入課堂，也活躍了課堂氣氛，這也給本節(jié)課奠定了一個很好的學習氛圍基礎，同時學生的大腦也進入了加速運轉的狀態(tài)，在這樣一種狀態(tài)下在講解新課，那么他們接受新知識就有了保障，同時也讓學生明白了課前課后復習的重要性，也有利于培養(yǎng)學生良好的學習習慣，做到溫故而知新，為了能節(jié)省時間，提高課堂效率，在復習中我大都是口頭表達復習，這也給學生提供了一個善于表達數(shù)學語言的機會。2、引導學生自學概念，并在概念的理解上有問題的進行分組討論，通過對比找出自己的問題所在，并加以改正，激發(fā)學生學習的主動性。讓同學們盡可能的完善自己知識上的漏洞，切實體會什么叫當局者迷旁觀者清。培養(yǎng)他們對知識的整合能力以及團隊合作精神。3、在座的同學具備將來成為科學工作者的潛質。很好的鼓勵。4、課堂上的分組，使得不同層次的學生通過小組合作取長補短，相互學習，共同提高。由此可見，教學的最終目的是為了使學生在全面發(fā)展的基礎上實現(xiàn)有個性的發(fā)展，分層只是一種偶爾為之的手段，不是目的，不必在教學過程中刻意為之，更不必時時分層、事事分層。二、本節(jié)課的“遺憾”之處教學永遠是一門遺憾的藝術，本節(jié)課還有些不盡人意的地方，如：1、課堂氣氛不夠活躍，問題的提出應該一石激起千層浪般激發(fā)學生回答的熱情，而不要采取老師點名的方式。如果同學發(fā)言聲音太小，老師最好能重復一下，以便于其他同學都能夠聽到。大聲一點！很好！2、適時適度啟發(fā)仍然重要，需要技巧，需要細心。教學力求幫助每個層面的學生都得到發(fā)展和進步。設計教案，就是設計學生的未來，讓我們少一些“遺憾”，多一些“愜意”。3.師生交流不夠，高中新課程的宗旨是著眼于學生的發(fā)展，學生是學習的主體，教師要圍繞著學生展開教學。在教學過程中，教師盡量少講，讓學生多動手動腦，加強師生、生生交流，但是內容與時間的矛盾又不得不犧牲討論、交流的時間，其實這節(jié)課我是講得比較多的，學生沒有太多的機會來交流自己的想法或是觀點，這樣，長久以往，也許會形成學生過于依賴老師，也就是說沒有從“學會”轉變?yōu)椤皶W”，更不用說讓他們從“要我學”到“我要學”的蛻變了。此外，由于學生沒有太多的討論交流機會，所以學生沒有得到太多的思考空間，局限了他們的創(chuàng)新能力的發(fā)展。教材分析——《2.3.2平面與平面垂直的判定》一．教材地位和作用本節(jié)課的主要內容有兩個：（1）二面角和二面角的平面角的概念，（2）平面與平面?zhèn)兇怪钡呐卸?。由于平面與平面垂直的概念是建立在二面角的基礎之上，且二面角的平面角不但定量地描述了兩相交平面的相對位置，同時也是空間中線線、線面、面面垂直關系的一個匯集點，所以搞好二面角的學習，對學生掌握線面垂直、面面垂直的知識。乃至空間思維能力的培養(yǎng)都具有十分重要的意義。二．教學目標1、知識與技能（1）使學生正確理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“兩個平面互相垂直”的概念；（2）使學生掌握兩個平面垂直的判定定理及其簡單的應用；（3）引導學生總結求二面角的方法，培養(yǎng)學生歸納問題的能力。2、過程與方法（1）通過實例讓學生直觀感知“二面角”概念的形成過程；（2）類比已學知識，歸納“二面角”的度量方法及兩個平面垂直的判定定理。3、情感態(tài)度與價值感通過掌握兩個平面互相垂直的判定，提高學生空間想象能力，提高等價轉化思想滲透的意識，進一步提高學生分析問題、解決問題的能力；使學生學會多角度分析、思考問題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神。三、教學重難點：重點:（1）二面角及平面角概念的形成過程；（2）面面垂直的判定定理的運用。難點：（1）二面角的平面角的形成過程及尋找方法；（2）面面垂直的判定定理的運用?！驹u測練習】——《2.3.2平面與平面垂直的判定》一、選擇題1．下列命題中：①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補；③二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內作射線所成的角的最小角；④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系．其中正確的是()A．①③ B．②④C．③④ D．①②2．一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角()A．相等 B．互補C．不確定 D．相等或互補3.在四棱錐P—ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為矩形，則下列結論中錯誤的是()A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD4.如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B－PA－C的大小為()A．90° B．60°C．45° D．30°5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D.eq\r(3)二、填空題6．經(jīng)過平面α外一點和平面α內一點與平面α垂直的平面有________個．7．正四面體的側面與底面所成的二面角的余弦值是________．8．在一個傾斜角為60°的斜坡上，沿著與坡腳面的水平線成30°角的道路上坡，行走100m，實際升高了________m.三、解答題9．如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，直線SC⊥平面ABCD，E是SA的中點，求證：平面EDB⊥平面ABCD.10．如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB＝eq\f(1,2)AD，E是AD的中點，沿BE將△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求證：平面A′BE⊥平面BCDE.參考答案1．B2．C3.C4.A.5．C6．1個或無數(shù)個7．eq\f(1,3)8．25eq\r(3)9．證明：連接AC，交BD于點F，連接EF，∴EF是△SAC的中位線，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又EF?平面EDB.∴平面EDB⊥平面ABCD.10．證明：如圖所示，取CD的中點M，BE的中點N，連接A′M，A′N，MN，則MN∥BC.∵AB＝eq\f(1,2)AD，E是AD的中點，∴AB＝AE，即A′B＝A′E.∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.在四邊形BCDE中，CD⊥MN，又MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN.∴CD⊥A′N.∵DE∥BC且DE＝eq\f(1,2)BC，∴BE必與CD相交．又A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.又A′N?平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.課后反思——《2.3.2平面與平面垂直的判定》一、復習引入部分復習的內容能夠使學生很快進入課堂，也活躍了課堂氣氛，這也給本節(jié)課奠定了一個很好的學習氛圍基礎，同時學生的大腦也進入了加速運轉的狀態(tài)，在這樣一種狀態(tài)下在講解新課，那么他們接受新知識就有了保障，同時也讓學生明白了課前課后復習的重要性，也有利于培養(yǎng)學生良好的學習習慣，做到溫故而知新，為了能節(jié)省時間，提高課堂效率，在復習中我大都是口頭表達復習，這也給學生提供了一個善于表達數(shù)學語言的機會。二、概念講解部分引導學生自學概念，并在概念的理解上有問題的進行分組討論，通過對比找出自己的問題所在，并加以改正，激發(fā)學生學習的主動性。讓同學們盡可能的完善自己知識上的漏洞，切實體會什么叫當局者迷旁觀者清。培養(yǎng)他們對知識的整合能力以及團隊合作精神。三、判定定理講解過程在平面與平面垂直的判定定理講解設計中，我讓學生先觀察實例，再從實際情境中抽象出數(shù)學模型，通過兩個數(shù)學小實驗，讓學生動一動手，學生自主探究得出判定定理。在這里，我仍然要求學生會用三種語言來表達這個判定定理，并和學生一起去分析定理中的三個條件。講解后，充分利用多媒體技術，直接將條件投影出來，然后依次擦去某個條件，讓學生自己去判斷結論是否仍然成立在嘗試采用這樣的處理方式的過程中，讓學生通過實踐體驗知識形成的過程，自主完成知識的建構，讓學生體會知識獲得的喜悅，自己做出來的才是印象最深刻的。四、例題講解與當堂檢測講練結合，學生通過模仿練習領悟新知、鞏固新知，這在教學環(huán)節(jié)中是不可缺少的，但不能以此為限，有效的鞏固必須經(jīng)多次循環(huán)，將所學知識應用到新情境中方能達到。不足：師生交流不夠，高中新課程的宗旨是著眼于學生的發(fā)展，學生是學習的主體，教師要圍繞著學生展開教學。在教學過程中，教師盡量少講，讓學生多動手動腦，加強師生、生生交流，但是內容與時間的矛盾又不得不犧牲討論、交流的時間，其實這節(jié)課我是講得比較多的，學生沒有太多的機會來交流自己的想法或是觀點，這樣，長久以往，也許會形成學生過于依賴老師，也就是說沒有從“學會”轉變?yōu)椤皶W”，更不用說讓他們從“要我學”到“我要學”的蛻變了。此外，由于學生沒有太多的討論交流機會，所以學生沒有得到太多的思考空間，局限了他們的創(chuàng)新能力的發(fā)展。改進的地方：1、缺少生活中的例子，應該通過建筑工程中和現(xiàn)實生活中的實際例子去發(fā)現(xiàn)平面與平面垂直的判定定理，而不是接受定理，使學生初步感知判定定理。2、在證明定理過程中發(fā)現(xiàn)學生利用定義找二面角的平面角時找角不準確；而有的找出來角但不能用準確的數(shù)學語言證明或書寫。所以以后在講它的前一節(jié)時應加強二面角找角的訓練。當然，本節(jié)課的教學還是達到了預期目標。學生基本上能知道平面與平面垂直的判定定理的內容，會注意到定理中的條件一個都不能少。通過例題的講解，學生知道了證明平面與平面垂直的方法，一種是利用定義，一種是運用判定定理，而利用判定定理關鍵是要去平面內找一條直線與已知平面垂直線。在我的教學設計中以及課堂教學中還是存在著這樣或那樣的不足，有待以后的教學中改進。比如要先熟悉學生搞好課堂氛圍，讓課堂活躍起來；在教學過程中，引入新課部分稍顯拖拉，有點不太緊湊。以上是我對這一節(jié)課的反思，作為老師，我有必要在一些細節(jié)上更加完善地做好本職工作，比如最基本的知識點的教授工作，扎實的數(shù)學基本功等。同時還必須注意對學生綜合能力的培養(yǎng)，包括獨立發(fā)現(xiàn)問題--解決問題--回過頭來再尋求更好解決途徑的過程。總之，在新課程背景下的數(shù)學課堂教學中，首先要對新課標和新教材有整體的把握和認識，這樣才能將知識系統(tǒng)化，其次要了解學生的現(xiàn)狀和認知結構，了解學生這一階段的知識水平，以便因材施教；再次要處理好課堂教學中教師的教和學生的學的關系。課堂教學中不但