第六章總體均數(shù)的估計(講)課件

第六章

總體均數(shù)的估計

景學安2023/7/201

[學習要求]

了解：置信區(qū)間的正確使用。

熟悉：定量資料抽樣研究的特點。

掌握：均數(shù)抽樣誤差和標準誤的概念、計算公式和應用；t分布和z分布的概念、特征和兩者的聯(lián)系與區(qū)別；總體均數(shù)置信區(qū)間的概念和計算公式；標準差的標準誤的區(qū)別和聯(lián)系。

2023/7/202第一節(jié)

均數(shù)的抽樣誤差與標準誤

一、樣本均數(shù)的抽樣分布

在醫(yī)學科學研究中，往往采取抽樣研究(samplingstudy)的方法，即從研究的總體中隨機抽取部分觀察單位作為樣本，然后根據(jù)樣本信息來推論總體特征，即為統(tǒng)計推斷(statisticalinference)。然而，由于總體的變量值存在變異，樣本均數(shù)往往不等于總體均數(shù)。如表6.1。2023/7/203┊樣本1樣本2樣本3樣本k2023/7/204定量資料抽樣研究的特點：

1.從同一正態(tài)總體中抽取樣本含量n相等的許多樣本，這些樣本均數(shù)的分布仍是以總體均數(shù)為中心呈正態(tài)分布；或者雖然總體呈偏態(tài)分布,但樣本含量足夠大時，樣本均數(shù)的分布仍近似正態(tài)分布。見圖6.1和圖6.3

2.理論上，如表6.1，μ=4.5，。3.樣本均數(shù)間的變異小于原始變量的變異，即，并隨樣本含量的增加，樣本均數(shù)間的變異逐步縮小。見圖6.1。如表6.1資料，σ=0.2，=0.041。2023/7/205

4.來自正態(tài)總體的樣本均數(shù)的分布為正態(tài)分布N()。范圍內包含95%的樣本均數(shù)范圍內包含99%的樣本均數(shù)如表6.1資料，實際范圍內包含了96個樣本均數(shù)，占96%。2023/7/206

二、均數(shù)的標準誤

由于隨機抽樣引起的樣本均數(shù)與總體均數(shù)之間以及樣本均數(shù)之間的差異稱為均數(shù)的抽樣誤差（samplingerrorofmean)。樣本均數(shù)的標準差稱為均數(shù)的標準誤（standarderrorofmean,SEM），用符號表示，它反映了各樣本均數(shù)圍繞總體均數(shù)μ的離散程度，也用來表示樣本均數(shù)的抽樣誤差的大小。

1.均數(shù)標準誤的計算2023/7/207

數(shù)理統(tǒng)計已經證明：均數(shù)標準誤的大小與總體標準差成正比，而與樣本含量的平方根成反比,即如表6.1資料，σ=0.2，n=20,即實際工作中總體標準差σ往往是不知道的，而只知道樣本標準差S，所以只能用S代替σ,求得標準誤的估計值,即：2023/7/208

例6.1隨機抽取某地正常成年男性200名，測得其血清膽固醇的均數(shù)為3.64mmmol/L，標準差為1.2mmol/L，試估計其均數(shù)的標準誤。2.均數(shù)標準誤的應用

⑴表示抽樣誤差的大小，從而說明樣本均數(shù)的可靠性。⑵進行總體均數(shù)的區(qū)間估計。⑶進行均數(shù)的t檢驗。2023/7/209第二節(jié)

t分布一、t分布的概念上一章已說明，正態(tài)變量X采用z＝(X－μ)/σ變換，則一般的正態(tài)分布N(μ,σ)即變換為標準正態(tài)分布N(0,1)。又因從正態(tài)總體抽取的樣本均數(shù)服從正態(tài)分布N(μ,)，同樣可作正態(tài)變量的z變換，即2023/7/2010而實際工作中由于σ未知，也未知，故往往是用作為的估計值，此時對采用的不是z變換而是t變換了，即t值有大有小，有正有負，其頻數(shù)分布是一種連續(xù)性分布，這就是統(tǒng)計上著名的t分布(t-distribution)。t分布于1908年由英國統(tǒng)計學家W.S.Gosset以“Student”筆名發(fā)表，故又稱Studentt

分布(Students’t-distribution)。，ν=n-12023/7/2011二、t分布曲線的特征

圖6.4自由度為1、5、∞時的t分布曲線2023/7/2012由圖6.4可見:①t分布曲線是單峰分布，以0為中心，左右兩側對稱；②曲線的中間比標準正態(tài)曲線（z分布曲線）低，兩側翹得比標準正態(tài)曲線略高；③當樣本含量越?。▏栏竦卣f是自由度ν=n-1越?。?，t分布與z分布差別越大；當ν逐漸增大時，t分布逐漸逼近于z分布，當ν=∞時，t分布就完全成為z分布。所以t分布曲線是隨自由度的變動而變化的一簇曲線。

2023/7/2013三、t界值我們常把自由度為ν的t分布曲線下雙側尾部合計面積或單側尾部面積為指定概率α時，則橫軸上相應的t界值分別記為或。如當ν=20，雙側α=0.05時，記為t0.05/2,20；當ν=22，單側α=0.01時，記為t0.01,22。對于或值，可根據(jù)ν和α值，查附表3，t界值表。0t0t2023/7/2014由于t分布是以0為中心的對稱分布，t界值表中只列出正值，故查附表3時，不管t值正負只用絕對值。由t界值表可知：①在相同ν，單側概率α和雙側概率2α的t界值相同，即單側=雙側，如單側t0.05,20=雙側t0.1/2,20；②對于相同的自由度ν，α值越小，值越大，反之越小；③對于相同的α值，自由度ν越小，值越大，反之越小。當ν=∞時，則,故查z界值即可查ν=∞的t界值。

2023/7/2015t分布是t檢驗的理論基礎。│t│值與樣本均數(shù)和總體均數(shù)之差成正比，與標準誤成反比。在t分布中│t│值越大，其兩側或單側以外的面積所占曲線下總面積的比重就越小，說明在抽樣中獲得此│t│值以及更大│t│值的機會就越小，這種機會的大小是用概率P來表示的。

│t│值越大，則P值越??；反之，│t│值越小，P值越大。根據(jù)上述的意義，│t│≥，則P≤α；反之，│t│＜，則P＞α。2023/7/2016第三節(jié)

總體均數(shù)的估計用樣本指標（統(tǒng)計量）估計總體指標（參數(shù)）稱為參數(shù)估計，是統(tǒng)計推斷的一個重要方面。觀察樣本均數(shù)的目的之一，是為了估計總體均數(shù)。估計總體均數(shù)的方法有兩種，即點值估計（pointestimation）和區(qū)間估計（intervalestimation）。一、點值估計點值估計是直接用樣本均數(shù)作為總體均數(shù)的估計值。例如上述某市120名12歲健康男孩身高均數(shù)為143.07cm，可作為該市全部12歲健康男孩的平均身高的估計值。2023/7/2017二、區(qū)間估計

區(qū)間估計是按一定的概率（1-α）估計包含總體均數(shù)可能的范圍，該范圍亦稱總體均數(shù)的置信區(qū)間（confidenceinterval,CI）。1-α稱為置信度(亦稱可信度)，常取1-α為0.95和0.99，即總體均數(shù)的95%置信區(qū)間和99%置信區(qū)間。1-α（如95％）可信區(qū)間的含義是：總體均數(shù)被包含在該區(qū)間內的可能性是1-α（95％），沒有被包含的可能性為α（5％）?？傮w均數(shù)μ可信區(qū)間的計算，可根據(jù)資料的條件選用不同的方法。

（一）總體均數(shù)置信區(qū)間的估計

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1.σ未知且n較?。╪＜100）

按t分布的原理計算置信區(qū)間。1-α置信區(qū)間為，即

公式推導：在t分布中，1-α的t值位于

區(qū)間內，即于是得可信區(qū)間為1-α時，計算總體均數(shù)可信區(qū)間的通式為2023/7/2019

表6.1資料模擬抽樣100個樣本均數(shù)，在計算的100個95%置信區(qū)間中，有95個區(qū)間包含總體均數(shù)（4.5），有5個個區(qū)間包含總體均數(shù)。例6.3

在某地成年男子中隨機抽取了25人，測其脈率，得到脈率均數(shù)為72次/min，標準差為8次/min。試估計該地成年男子脈率總體均數(shù)的95％置信區(qū)間。即寫成2023/7/2020ν=n－1=25－1=24,α取雙側0.05,查附表3，t值表得雙側t0.05/2,24

=2.064。按式6.6得：95%的置信區(qū)間為72±2.064×1.6，即（68.7,75.3）。故該地成年男子脈率總體均數(shù)的95％置信區(qū)間為68.7～75.3（次/min）。

2.σ已知或n較大(n≥100)

（1）σ已知時，服從于Z分布，按Z分布的原理計算置信區(qū)間。1-α可信區(qū)間為：，即本例n=25，S=8次/min,算得樣本均數(shù)的標準誤為2023/7/2021

如Z

0.05/2=1.96，Z0.01/2=2.58

(2)n較大時，t分布接近于Z分布，即tα/2,ν接近于Zα/2，為了計算方便，1-α可信區(qū)間近似為：

2023/7/2022

例6.4

隨機抽取某地200名40歲以上正常人，測定取空腹血糖值，其均數(shù)為4.91mmol/L，標準差為0.72mmol/L，試估計該地40歲以上正常人群空腹血糖的總體均數(shù)的95%置信區(qū)間。由于樣本例數(shù)較大，可按正態(tài)近似法估計，α=0.05，雙側Z0.05/2=1.96,,故95%置信區(qū)間為：4.91±1.96×0.0509，即（4.81，5.01）mmol/L。

2023/7/2023（二）兩總體均數(shù)差值置信區(qū)間的估計

在實際工作中

，我們經常想了解兩個不同總體均數(shù)差值的大小，如正常成年男、女的血紅蛋白平均相差多少？冠心病患者和正常人的血清膽固醇酯平均相差多少？等等。

一般用作為（μ1-μ2）的點估計值，但是由于存在抽樣誤差，往往需要對兩總體均數(shù)的差值進行置信區(qū)間的估計。

數(shù)理統(tǒng)計證明，分別來自兩個正態(tài)總體和的和，只要，其之差仍服從于

的正態(tài)分布。2023/7/2024

式中，稱為兩均數(shù)之差的標準誤，其計算公式為，如果轉換為標準正態(tài)分布，則～N(0,1)總體均數(shù)差值的（1-α）置信區(qū)間為：

但在實踐工作中，總體標準差σ是未知的，只能用樣本標準差S來代替,兩均數(shù)之差的標準誤估計值為：2023/7/2025式中，S2稱為兩均數(shù)合并的方差，計算公式為：上式如果n1=n2，則2023/7/2026總體均數(shù)差值的（1-α）置信區(qū)間為：服從于ν=n-1的t分布。

例6.5測定28例結核病患者和34例對照者的腦脊液中鎂(mmol/L)的含量，結果見表6.5，試估計結核病人和對照者的腦脊液中鎂含量的總體均數(shù)之差的95%置信區(qū)間。ν=n1+n2-22023/7/2027

表6.5兩對比組腦脊液中鎂含量(mmol/L)組別例數(shù)均數(shù)標準差結核組對照組28341.041.280.170.14本例假定兩組方差齊性，即本例ν=28+34-2=60，查t界值表，t0.05/2,60=2.000,2023/7/2028

(1.28-1.04)±2.00×0.0395=0.161～0.319(mmol/L)，即兩總體均數(shù)之差的95%置信區(qū)間為（0.161，0.319）mmol/L。

（三）置信區(qū)間的正確應用

1.從以上計算置信區(qū)間的計算公式可以看出，標準誤愈小，估計總體均數(shù)可信區(qū)間的范圍也愈窄，說明樣本均數(shù)與總體均數(shù)愈接近，對總體均數(shù)的估計也愈精確；反之，標準誤愈大，估計總體均數(shù)可信區(qū)間的范圍也愈寬，說明樣本均數(shù)距總體均數(shù)愈遠，對總體均數(shù)的估計也愈差。