27.2.2相似三角形的應(yīng)用

27.2相似三角形應(yīng)用舉例

數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)。這是對(duì)數(shù)學(xué)與生活的精彩描述。

胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，被喻為“世界古代七大奇觀之一”。塔的４個(gè)斜面正對(duì)東南西北四個(gè)方向，塔基呈正方形，每邊長約２３０多米。據(jù)考證，為建成大金字塔，共動(dòng)用了１０萬人花了２０年時(shí)間.原高１４６．５９米，但由于經(jīng)過幾千年的風(fēng)吹雨打,頂端被風(fēng)化吹蝕.所以高度有所降低。小小旅行家:走近金字塔在古希臘，有一位偉大的科學(xué)家叫泰勒斯．一天，希臘國王阿馬西斯對(duì)他說：“聽說你什么都知道，那就請(qǐng)你測量一下埃及金字塔的高度吧！”，這在當(dāng)時(shí)條件下是個(gè)大難題，因?yàn)槭呛茈y爬到塔頂?shù)模阒捞├账故窃鯓訙y量大金字塔的高度的嗎？

他利用相似三角形的原理,在金字塔影子的頂部立一根木桿,借助太陽光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形,來測量金字塔的高度.(如下圖)DEA(F)BO解：太陽光是平行線，因此∠BAO=∠EDF又∠AOB=∠DFE=90°∴△ABO～△DEFBOOA201×2EFFD=OA×EFFDBO==3=134(m)答金字塔的高為134米.2m3m201m?例題1小明從路燈下向前走了5米，發(fā)現(xiàn)自己在地面上的影子長DE是2米，如果小明的身高為1.6米，那么路燈離地面的高度是多少？練習(xí)ABCDE如圖，小明為測量一鐵塔的高度，他在自己與鐵塔間的地面上平放一面鏡子，并在鏡子上做了一個(gè)標(biāo)記O，然后他看著鏡子來回移動(dòng)，直至看到鐵塔頂端在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合，這時(shí)，他測得AO=3米，OB=27米，又知他身高CA=1.75米，請(qǐng)你幫他算出鐵塔DB的高度。練習(xí)ACBDO如何測量旗桿的高度？測量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時(shí)刻物高與影長成正比例”的原理解決：物高：物高=影長：影長測高的方法

為了測量路燈（OS）的高度,把一根長1.5米的竹竿（AB）豎直立在水平地面上,測得竹竿的影子（BC）長為1米,然后拿竹竿向遠(yuǎn)離路燈方向走了4米（BB‘）,再把竹竿豎立在地面上,測得竹竿的影長（B‘C‘）為1.8米,求路燈離地面的高度.

如圖，小華在晚上由路燈A走向路燈B，當(dāng)他走到點(diǎn)P時(shí)，發(fā)現(xiàn)他身后影子的頂部剛好接觸到路燈A的底部，當(dāng)他向前再步行12m到達(dá)點(diǎn)Q時(shí)，發(fā)現(xiàn)他身前影子的頂部剛好接觸到路燈B的底部，已知小華的身高是1.60m，兩個(gè)路燈的高度都是9.6m，設(shè)AP=x(m)。

(1)求兩路燈之間的距離；

(2)當(dāng)小華走到路燈B時(shí)，他在路燈下的影子是多少？例2.為了估算河的寬度,我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P,在近岸取點(diǎn)Q和S,使點(diǎn)P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著在過點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T,確定PT與過點(diǎn)Q且垂直PS的直線

b的交點(diǎn)R.如果測

得QS=45m,ST=

90m,QR=60m,

求河的寬度PQ.STPQRba

分析：設(shè)河寬PQ長為xm，由于此種測量方法構(gòu)造了三角形中的平行截線，故可得到相似三角形，因此有，即．再解x的方程可求出河寬．STPQRba1.小明在打網(wǎng)球時(shí)，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)5米的位置上，求球拍擊球的高度h.(設(shè)網(wǎng)球是直線運(yùn)動(dòng))ADBCE┏┏0.8m5m10m？2.4m練一練2:如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河的這一邊選點(diǎn)B和C，使AB⊥BC，然后，再選點(diǎn)E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點(diǎn)D．

此時(shí)如果測得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求兩岸間的大致距離AB．ADCEB解：

因?yàn)椤螦DB＝∠EDC，

∠ABC＝∠ECD＝90°，

所以△ABD∽△ECD，

答：兩岸間的大致距離為100米．

(方法二)

我們在河對(duì)岸選定一目標(biāo)點(diǎn)A，在河的一邊選點(diǎn)D和E，使DE⊥AD，然后選點(diǎn)B，作BC∥DE，與視線EA相交于點(diǎn)C。此時(shí)，測得DE,BC,BD,就可以求兩岸間的大致距離AB了。ADEBC此時(shí)如果測得DE＝120米，BC＝60米，BD＝50米，求兩岸間的大致距離AB．例3：已知左，右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹的根部的距離BD=5m。一個(gè)身高1.6m的人沿著正對(duì)著兩棵樹的一條水平直路從左向右前進(jìn)，當(dāng)他與左邊較低的樹的距離小于多少時(shí)，就不能看見右邊較高的樹的頂端點(diǎn)C？KⅡ盲區(qū)觀察者看不到的區(qū)域。仰角：視線在水平線以上的夾角。水平線視線視點(diǎn)觀察者眼睛的位置。(1)FBCDHGlAK(1)FBCDHGlAⅠKFABCDHGKⅠⅡl(2)分析：假設(shè)觀察者從左向右走到點(diǎn)E時(shí)，他的眼睛的位置點(diǎn)F與兩顆樹的頂端點(diǎn)A、C恰在一條直線上,如果觀察者繼續(xù)前進(jìn)，由于這棵樹的遮擋，右邊樹的頂端點(diǎn)C在觀察者的盲區(qū)之內(nèi)，觀察者看不到它。E由題意可知，AB⊥L，CD⊥L，∴AB∥CD，△AFH∽△CFK∴FHFK=AHCK即FHFH+5=8-1.612-1.6解得FH=8∴當(dāng)他與左邊的樹的距離小于8m時(shí)，由于這棵樹的遮擋，右邊樹的頂端點(diǎn)C在觀察者的盲區(qū)之內(nèi)，就不能看見右邊較高的樹的頂端點(diǎn)CFABCDHGKⅠⅡl(2)練習(xí).如圖所示，一段街道的兩邊緣所在直線分別為AB，PC,并且AB∥PC．建筑物DE的一端所在MN交AB的直線于點(diǎn)M，交PC于點(diǎn)N．小亮從勝利街的A處，沿AB著方向前進(jìn)，小明一直站在P點(diǎn)的位置等候小亮．步行街

勝利街光明巷ABMNCEDP建筑物（1）請(qǐng)你在圖中畫出小亮恰好能看見小明時(shí)的視線，以及此時(shí)小亮所在位置（用點(diǎn)C標(biāo)出）；（2）已知：，求（1）中的C點(diǎn)到勝利街口的距離CM．1.在實(shí)際生活中,我們面對(duì)不能直接測量物體的高度和寬度時(shí).可以把它們轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,建立相似三角形模型,再利用對(duì)應(yīng)邊的比相等來達(dá)到求解的目的!2.能掌握并應(yīng)用一些簡單的相似三角形模型.

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了利用相似三角形來測量

高度和寬度的方法.

小結(jié)

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了利用相似三角形來測量

高度和寬度的方法.

小結(jié)解決過程中要實(shí)行數(shù)學(xué)建模:審題畫示意圖明確數(shù)量關(guān)系解決問題挑戰(zhàn)自我如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長是多少？NMQPEDCBA解：設(shè)正方形PQMN是