73冪級數(shù)-資料課件

第三節(jié)冪級數(shù)第八章（PowerSeries）一、冪級數(shù)的概念二、冪級數(shù)的運算性質(zhì)

三、函數(shù)的冪級數(shù)展開式

四、小結(jié)與思考練習(xí)7/20/20231一、冪級數(shù)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項級數(shù)

.對若常數(shù)項級數(shù)斂點,所有收斂點的全體稱為其收斂域;若常數(shù)項級數(shù)為定義在區(qū)間I上的函數(shù),稱收斂,發(fā)散,所有為其收為其發(fā)散點,發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域.7/20/20232為級數(shù)的和函數(shù),并寫成若用令余項則在收斂域上有表示函數(shù)項級數(shù)前n項的和,即在收斂域上,函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)稱它7/20/20233它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔秩?級數(shù)級數(shù)發(fā)散;所以級數(shù)的收斂域僅為有和函數(shù)例如,等比級數(shù)7/20/202342、冪級數(shù)及其收斂性形如的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù),其中數(shù)列下面著重討論例如,冪級數(shù)為冪級數(shù)的系數(shù).即是此種情形.的情形,即稱7/20/20235發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散若冪級數(shù)則對滿足不等式的一切x冪級數(shù)都絕對收斂.反之,若當(dāng)?shù)囊磺衳,該冪級數(shù)也發(fā)散.時該冪級數(shù)發(fā)散,則對滿足不等式證:設(shè)收斂,則必有于是存在常數(shù)M>0,使定理(Abel定理)7/20/20236當(dāng)時,收斂,故原冪級數(shù)絕對收斂.也收斂,反之,若當(dāng)時該冪級數(shù)發(fā)散,下面用反證法證之.假設(shè)有一點滿足不等式所以若當(dāng)滿足且使級數(shù)收斂,面的證明可知,級數(shù)在點故假設(shè)不真.的x,原冪級數(shù)也發(fā)散.

時冪級數(shù)發(fā)散,則對一切則由前也應(yīng)收斂,與所設(shè)矛盾,證畢7/20/20237冪級數(shù)在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理可以看出,中心的區(qū)間.用±R

表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點,的收斂域是以原點為則R=0時,冪級數(shù)僅在x=0收斂;R=時,冪級數(shù)在(－R,R)收斂;(－R,R)加上收斂的端點稱為收斂域.R稱為收斂半徑，在[－R,R]可能收斂也可能發(fā)散.外發(fā)散;在(－R,R)稱為收斂區(qū)間.發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散7/20/20238的系數(shù)滿足證:1)若≠0,則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng)原級數(shù)收斂;當(dāng)原級數(shù)發(fā)散.即時,1)當(dāng)≠0時,2)當(dāng)＝0時,3)當(dāng)＝∞時,即時,則定理1若7/20/202392)若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對收斂,3)若則對除x=0以外的一切x原級發(fā)散,對任意x原級數(shù)因此因此的收斂半徑為說明:據(jù)此定理因此級數(shù)的收斂半徑7/20/202310對端點x=－1,

的收斂半徑及收斂域.解:對端點x=1,級數(shù)為交錯級數(shù)收斂;級數(shù)為發(fā)散.故收斂域為例1求冪級數(shù)7/20/202311解

因為解

因為7/20/2023127/20/2023137/20/202314的收斂半徑.解:級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑.時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散故收斂半徑為故直接由例57/20/202315的收斂域.（補充題）解:令級數(shù)變?yōu)楫?dāng)t=2時,級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;當(dāng)t=–2

時,級數(shù)為此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域為故原級數(shù)的收斂域為即例6自學(xué)課本例57/20/202316二、冪級數(shù)的運算性質(zhì)定理3

設(shè)冪級數(shù)及的收斂半徑分別為令則有:其中以上結(jié)論可用部分和的極限證明.7/20/202317兩個冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比原來兩個冪級數(shù)的收斂半徑小得多.例如,設(shè)它們的收斂半徑均為但是其收斂半徑只是說明:7/20/202318的收斂半徑(證明略)則其和函在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)與逐項求積分,運算前后收斂半徑相同:注:逐項積分時,運算前后端點處的斂散性不變.定理4若冪級數(shù)7/20/202319解

7/20/2023207/20/202321解

7/20/2023227/20/202323的和函數(shù)解:易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,及收斂,例8求級數(shù)7/20/202324因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而及7/20/202325*常用的簡單冪級數(shù)的和函數(shù)18/237/20/202326內(nèi)容小結(jié)1.求冪級數(shù)收斂域的方法1)對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)先求收斂半徑,再討論端點的收斂性.2)對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)(缺項或通項為復(fù)合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,也可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求.7/20/2023272.冪級數(shù)的性質(zhì)兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進行加、減與乘法運算.2)在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)和求積分.課外練習(xí)習(xí)題7－37/20/202328思考練習(xí)1.已知處條件收斂,問該級數(shù)收斂半徑是多少?答:根據(jù)Abel定理可知,級數(shù)在收斂,時發(fā)散.故收斂半徑為7/20/2023292.在冪級數(shù)中,n為奇數(shù)n為偶數(shù)能否確定它的收斂半徑不存在?答:不能.因為當(dāng)時級數(shù)收斂,時級數(shù)發(fā)散,說明:可以證明比值判別法成立根值判別法成立7/20/2023303.求極限其中解:令作冪級數(shù)設(shè)其和為易知其收斂半徑為1,則7/20/202331阿貝爾(1802–1829)挪威數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者.他在22歲時就解決了用根式解5次方程的不可能性問題,他還研究了更廣的一并稱之為阿貝爾群.在級數(shù)研究中,他得到了一些判斂準(zhǔn)則及冪級數(shù)求和定理.論的奠基人之一,他的一系列工作為橢圓函數(shù)研究開拓了道路.數(shù)學(xué)家們工作150年.類代數(shù)方程,他是橢圓函數(shù)C.埃爾米特曾說:阿貝爾留下的思想可供后人發(fā)現(xiàn)這是一類交換群,7/20/202332三.函數(shù)的冪級數(shù)展開式第七章兩類問題:在收斂域內(nèi)和函數(shù)求和展開本節(jié)內(nèi)容:1、泰勒(Taylor)公式3、函數(shù)展開成冪級數(shù)2、泰勒(Taylor)級數(shù)7/20/202333一、泰勒公式特點:以直代曲在微分應(yīng)用中已知近似公式:需要解決的問題如何提高精度?如何估計誤差?x的一次多項式7/20/202334并要求它的系數(shù)滿足:故令則1.求n次近似多項式7/20/202335令(稱為余項),則有2.余項估計7/20/2023367/20/202337公式①稱為的n階泰勒公式.公式②稱為n

階泰勒公式的拉格朗日余項.階的導(dǎo)數(shù),時,有①其中②則當(dāng)泰勒中值定理:7/20/202338公式③稱為n

階泰勒公式的佩亞諾(Peano)余項.注意到③④*可以證明:④式成立在不需要余項的精確表達(dá)式時,泰勒公式可寫為7/20/202339特例:(1)當(dāng)n=0

時,泰勒公式變?yōu)?2)當(dāng)n=1

時,泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理可見誤差7/20/202340稱為麥克勞林（Maclaurin）公式.則有則有誤差估計式若在公式成立的區(qū)間上由此得近似公式在泰勒公式中若取7/20/2023412、泰勒級數(shù)其中(在x與x0之間)稱為拉格朗日余項.則在若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù),此式稱為f(x)的n

階泰勒公式

,該鄰域內(nèi)有:（Taylorseries）7/20/202342為f(x)

的泰勒級數(shù).則稱當(dāng)x0=0時,泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù).若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),待解決的問題:1)對此級數(shù),它的收斂域是什么？2)在收斂域上,和函數(shù)是否為f(x)?7/20/202343各階導(dǎo)數(shù),則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要條件是f(x)的泰勒公式中的余項滿足:證明:令設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)具有定理17/20/202344若f(x)能展成x的冪級數(shù),則這種展開式是唯一的,且與它的麥克勞林級數(shù)相同.證:

設(shè)f(x)所展成的冪級數(shù)為則顯然結(jié)論成立.定理27/20/2023453、函數(shù)展開成冪級數(shù)1.直接展開法由泰勒級數(shù)理論可知,函數(shù)展開成冪級數(shù)的步第一步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0處的值;第二步寫出麥克勞林級數(shù),并求出其收斂半徑R;第三步判別在收斂區(qū)間(－R,R)內(nèi)是否為0.驟如下:展開方法直接展開法—利用泰勒公式間接展開法—利用已知其級數(shù)展開式的函數(shù)展開(Expandingtopowerseries)7/20/202346展開成x的冪級數(shù).解:其收斂半徑為對任何有限數(shù)x,其余項滿足故(在0與x之間)故得級數(shù)例1將函數(shù)7/20/202347展開成x的冪級數(shù).解:得級數(shù):其收斂半徑為對任何有限數(shù)x,其余項滿足例2將7/20/202348類似可推出:7/20/202349展開成x的冪級數(shù),其中m為任意常數(shù).解:易求出于是得級數(shù)由于級數(shù)在開區(qū)間(－1,1)內(nèi)收斂.因此對任意常數(shù)

m,例3將函數(shù)7/20/202350可以證明，上式稱為二項展開式.說明：(1)在x＝±1

處的收斂性與m有關(guān).(2)當(dāng)m

為正整數(shù)時,級數(shù)為x的m次多項式,上式就是代數(shù)學(xué)中的二項式定理.由此得7/20/202351對應(yīng)的二項展開式分別為7/20/202352利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算性質(zhì),例4將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).（補充題）解:因為把x

換成,得將所給函數(shù)展開成冪級數(shù).2.間接展開法7/20/202353展開成x的冪級數(shù).解:從0到x積分,得定義且連續(xù),區(qū)間為利用此題可得上式右端的冪級數(shù)在x＝1收斂,所以展開式對x＝1

也是成立的,于是收斂例5將函數(shù)7/20/202354展成解:的冪級數(shù).例6將7/20/202355展成x－1的冪級數(shù).解:例7將7/20/202356內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的冪級數(shù)展開法(1)直接展開法—利用泰勒公式;(2)間接展開法—利用冪級數(shù)的性質(zhì)及已知展開2.常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式式的函數(shù)