第四章指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)知識點清單-高一上學期數(shù)學人教B版

新教材人教B版2019版數(shù)學必修第二冊第四章知識點清單目錄第四章指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.1指數(shù)與指數(shù)函數(shù)4.1.1實數(shù)指數(shù)冪及其運算4.1.2指數(shù)函數(shù)的性質與圖像4.2對數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.2.1對數(shù)運算4.2.2對數(shù)運算法則4.2.3對數(shù)函數(shù)的性質與圖像4.3指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系4.4冪函數(shù)4.5增長速度的比較4.6函數(shù)的應用(二)4.7數(shù)學建?；顒樱荷L規(guī)律的描述第四章指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.1指數(shù)與指數(shù)函數(shù)4.1.1實數(shù)指數(shù)冪及其運算一、根式1.n次方根的定義：一般地，給定大于1的正整數(shù)n和實數(shù)a，如果存在實數(shù)x，使得xn=a，則x稱為a的n次方根.2.n次方根的表示(n>1，且n∈N*)n為奇數(shù)n為偶數(shù)a∈Ra>0a=0a<0x=nx=±nx=0不存在3.根式的定義：當na有意義的時候，na稱為根式，n稱為根指數(shù)，a4.根式的性質(n>1，且n∈N*)(1)(na)n=a(2)當n為奇數(shù)時，nan=a；當n為偶數(shù)時，n二、分數(shù)指數(shù)冪(1)正分數(shù)指數(shù)冪：一般地，如果n是正整數(shù)，那么：當na有意義時，規(guī)定a1n=na；當na沒有意義時對于一般的正分數(shù)mn,也可作類似規(guī)定，即amn=(na)m=nam{m,n∈N(2)負分數(shù)指數(shù)冪：負分數(shù)指數(shù)冪的定義與負整數(shù)指數(shù)冪類似，即若s是正分數(shù)，as有意義且a≠0時，規(guī)定a-s=1a規(guī)定：0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.三、有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則1.asat=as+t(a>0，s，t∈Q).2.(as)t=ast(a>0，s，t∈Q).3.(ab)s=asbs(a>0，b>0，s∈Q).四、實數(shù)指數(shù)冪1.一般地，當a>0且t是無理數(shù)時，at都是一個確定的實數(shù).因此，當a>0，t為任意實數(shù)時，可以認為實數(shù)指數(shù)冪at都有意義.有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則同樣適用于實數(shù)指數(shù)冪.五、根式與分數(shù)指數(shù)冪的化簡、求值1.利用根式的性質進行化簡、求值的思路及注意點(1)思路：首先要分清根式為奇數(shù)次根式還是偶數(shù)次根式，然后運用根式的性質進行化簡或求值.(2)注意點：正確區(qū)分nan與(na)

nan(n>1，n∈N*)是實數(shù)an的n次方根，是一個恒有意義的式子，a∈R，不受n的奇偶限制，但這個式子的值受n的奇偶限制，不一定等于a.(na)n(n>1，n∈N*)是實數(shù)a的n次方根的n次冪，其中實數(shù)a的取值由n的奇偶決定，2.根式與分數(shù)指數(shù)冪運算的原則與技巧(1)將根式化為分數(shù)指數(shù)冪.(2)將負分數(shù)指數(shù)冪化為正分數(shù)指數(shù)冪的倒數(shù).(3)底數(shù)是小數(shù)時，先將其化成分數(shù)；底數(shù)是帶分數(shù)時，先將其化成假分數(shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于利用指數(shù)冪的運算法則進行運算.注意：運算的結果不能同時含有根式和分數(shù)指數(shù)冪，也不能既含有分母又含有負指數(shù)冪.六、指數(shù)冪的條件求值問題1.將已知條件或所求代數(shù)式進行恰當變形，從而通過“整體代換法”求出代數(shù)式的值.

2.“整體代換法”是數(shù)學中變形與計算常用的方法，分析觀察條件與結論中代數(shù)式的結構特點，靈活運用恒等式是關鍵.常用的變形公式有：①a±2a12b12+b=(a②(a12+b12)·(a③a32+b32=(a12④a32-b32=(a12-4.1.2指數(shù)函數(shù)的性質與圖象一、指數(shù)函數(shù)1.一般地，函數(shù)y=ax稱為指數(shù)函數(shù)，其中a是常數(shù)，a>0且a≠1.2.指數(shù)函數(shù)解析式的結構特征(1)底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù)；(2)指數(shù)位置是自變量x，且x的系數(shù)是1；(3)ax的系數(shù)是1.二、指數(shù)函數(shù)的性質與圖象函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)a>10<a<1圖象?性質定義域R值域(0，+∞)奇偶性非奇非偶函數(shù)定點圖象過定點(0，1)函數(shù)值的變化當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1當x>0時，0<y<1；當x<0時，y>1單調性增函數(shù)減函數(shù)注：指數(shù)函數(shù)y=ax與y=1ax(a>0且a≠1)的圖象關于y2.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的底數(shù)a對圖象相對位置的影響：(1)在y軸右側，圖象從上到下相應的底數(shù)由大變小，即“底大圖高”；(2)在y軸左側，圖象從上到下相應的底數(shù)由小變大，即“底大圖低”.三、比較指數(shù)冪的大小1.指數(shù)冪比較大小的類型及方法(1)底數(shù)相同，指數(shù)不同：利用指數(shù)函數(shù)的單調性進行判斷；(2)底數(shù)不同，指數(shù)相同：利用底數(shù)不同的指數(shù)函數(shù)的圖象的變化規(guī)律進行判斷；(3)底數(shù)不同，指數(shù)不同：通過中間量來比較，中間量常選用0或1.注：對于3個(或3個以上)指數(shù)冪的大小比較，可先根據(jù)其與特殊值(常選用0或1)的大小比較進行分組，再比較各組數(shù)的大小.四、解指數(shù)不等式1.簡單指數(shù)不等式的解法(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y=ax(a>0且a≠1)的單調性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可將b化成以a為底數(shù)的冪的形式，再借助y=ax(a>0且a≠1)的單調性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助函數(shù)y=ax與y=bx(a>0且a≠1，b>0且b≠1)的圖象求解；(4)形如a2x+b·ax+c>0(或<0)的不等式，可利用換元法，將其轉化為不含指數(shù)的不等式.五、與指數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的定義域、值域1.求與指數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的定義域時，要觀察函數(shù)是y=af(x)型還是y=f(ax)型.(1)當函數(shù)是y=af(x)(a>0且a≠1)型時，由于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的定義域是R，所以函數(shù)y=af(x)的定義域與f(x)的定義域相同.(2)當函數(shù)是y=f(ax)(a>0且a≠1)型時，先令u=ax，然后確定y=f(u)的定義域，即u=ax的值域，由此構造關于x的不等式(組)，確定x的取值范圍，從而得到y(tǒng)=f(ax)的定義域.2.求與指數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的值域時，重點是要注意指數(shù)函數(shù)的值域為(0，+∞).(1)求函數(shù)y=af(x)(a>0且a≠1)的值域，需先確定f(x)的值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=ax的單調性確定函數(shù)y=af(x)的值域.(2)求函數(shù)y=f(ax)(a>0且a≠1)的值域，先令u=ax，然后利用函數(shù)u=ax的單調性確定u=ax的值域，進而確定函數(shù)y=f(u)的值域，即為y=f(ax)的值域.五、與指數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的單調性1.形如y=af(x)(a>0且a≠1)的函數(shù)的單調性的判斷方法當a>1時，函數(shù)u=f(x)的單調遞增(減)區(qū)間即為函數(shù)y=af(x)的單調遞增(減)區(qū)間；當0<a<1時，函數(shù)u=f(x)的單調遞減(增)區(qū)間即為函數(shù)y=af(x)的單調遞增(減)區(qū)間.2.形如y=f(ax)(a>0且a≠1)的函數(shù)的單調性的判斷方法通過內層函數(shù)u=ax的值域確定外層函數(shù)y=f(u)的定義域，在此定義域內討論外層函數(shù)的單調區(qū)間，再根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”的規(guī)律確定復合函數(shù)的單調區(qū)間.4.2對數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.2.1對數(shù)運算4.2.2對數(shù)運算法則一、對數(shù)的概念1.對數(shù)的概念在表達式ab=N(a>0且a≠1，N∈(0，+∞))中，當a與N確定之后，只有唯一的b能滿足這個式子，此時，冪指數(shù)b稱為以a為底N的對數(shù)，記作b=logaN，其中a稱為對數(shù)的底數(shù)，N稱為對數(shù)的真數(shù).2.對數(shù)的性質(1)負數(shù)和零沒有對數(shù).(2)1的對數(shù)是0，即loga1=0(a>0且a≠1)；底的對數(shù)是1，即logaa=1(a>0且a≠1).3.對數(shù)式與指數(shù)式的關系(1)當a>0且a≠1時，ab=N?b=logaN.(2)對數(shù)恒等式：alogaN=N；logaab4.常用對數(shù)與自然對數(shù)以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)，并把log10N簡寫為lgN；以無理數(shù)e=2.71828…為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并把logeN簡寫為lnN.二、對數(shù)的運算法則1.如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)=logaM+logaN；(2)logaMα=αlogaM(α∈R)；(3)logaMN=logaM-logaN三、換底公式1.換底公式：logab=logcblogca(a>0且a≠12.相關結論：logatbs=stlogab(a>0且a≠1，b>0，s∈R，t∈R且t≠0)，logab=1logba四、利用對數(shù)的運算法則化簡、求值1.利用對數(shù)的運算法則求值的關鍵是化異為同，先使各項底數(shù)相同，再找真數(shù)間的聯(lián)系.2.同底數(shù)的對數(shù)式化簡的常用方法(1)“收”，將同底對數(shù)的和(差)“收”成積(商)的對數(shù)，即“收”為一個對數(shù)式；(2)“拆”，將積(商)的對數(shù)“拆”成兩個對數(shù)之和(差).3.在利用換底公式進行化簡求值時，一般情況下是根據(jù)題中所給對數(shù)式的具體特點選擇恰當?shù)牡讛?shù)進行換底，如果所給的對數(shù)式中的底數(shù)和真數(shù)互不相同，那么可以選擇以10為底數(shù)進行換底.五、對數(shù)與指數(shù)的綜合運用1.(1)在對數(shù)式與指數(shù)式的互化運算中，要注意靈活應用定義、運算性質，尤其要注意條件和結論之間的關系.(2)對于連等指數(shù)式，可令其等于k(k>0)，然后將指數(shù)式轉換為對數(shù)式，再由換底公式將各指數(shù)的倒數(shù)化為同底的對數(shù)，從而解決問題.2.解決對數(shù)應用問題時，首先要理解題意，弄清關鍵詞及字母的含義，然后設未知數(shù)，建立數(shù)學模型，最后轉化為常用對數(shù)問題來求解.4.2.3對數(shù)函數(shù)的性質與圖像一、對數(shù)函數(shù)1.一般地，函數(shù)y=logax稱為對數(shù)函數(shù)，其中a是常數(shù)，a>0且a≠1.2.對數(shù)函數(shù)解析式的結構特征(1)底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù)；(2)真數(shù)是自變量x，且x的系數(shù)是1；(3)logax的系數(shù)是1.二、對數(shù)函數(shù)的性質與圖象函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)a>10<a<1圖象?性質定義域(0，+∞)值域R奇偶性非奇非偶函數(shù)定點圖象過定點(1，0)函數(shù)值的變化x∈(0，1)時，y∈(-∞，0)；x∈[1，+∞)時，y∈[0，+∞)x∈(0，1)時，y∈(0，+∞)；x∈[1，+∞)時，y∈(-∞，0]單調性增函數(shù)減函數(shù)1.對數(shù)函數(shù)y=logax與y=log1ax(a>0且a≠2.單調性相同的對數(shù)函數(shù)，它們位于直線x=1右側部分的圖象滿足“底大圖低”的規(guī)律.利用此性質可比較不同對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大小，具體方法如下：作直線y=1與各個對數(shù)函數(shù)的圖象，在第一象限內，從左到右，對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸增大.三、比較對數(shù)值的大小1.同底數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的單調性進行判斷.2.同真數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的圖象進行判斷，或先用換底公式進行轉化，然后判斷.3.底數(shù)和真數(shù)都不同的，找中間量.4.若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調性的影響，對底數(shù)進行分類討論.四、解對數(shù)不等式1.形如logaf(x)>logab(a>0且a≠1)的不等式，借助函數(shù)y=logax的單調性求解，如果a的取值不確定，則需分a>1與0<a<1兩種情況進行討論.2.形如logaf(x)>b(a>0且a≠1)的不等式，先將b化成以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式(即b=logaab)，再借助函數(shù)y=logax的單調性求解.3.形如logf(x)a>logg(x)a的不等式，利用換底公式化為同底的對數(shù)進行求解，或利用圖象求解.五、與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的定義域、值域1.對數(shù)型函數(shù)的定義域(1)求對數(shù)型函數(shù)的定義域，要注意真數(shù)必須大于0，如在y=logaf(x)(a>0且a≠1)中應首先保證f(x)>0；(2)若底數(shù)中也含有變量，則底數(shù)應大于0且不等于1.2.求對數(shù)型函數(shù)值域的常用方法(1)直接法：根據(jù)函數(shù)解析式的特征，由函數(shù)自變量的范圍直接得出函數(shù)的值域.(2)配方法：當所給的函數(shù)可化為二次函數(shù)形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(a>0且a≠1，m≠0))時，可以用配方法求函數(shù)的值域.(3)單調性法：根據(jù)所給函數(shù)在其定義域(或定義域的某個子集)上的單調性，求出函數(shù)的值域.(4)換元法：求形如y=logaf(x)(a>0且a≠1)的函數(shù)的值域時，先換元，令u=f(x)，利用此函數(shù)的圖象和性質求出u的范圍，再利用y=logau的單調性、圖象求出y的取值范圍.五、與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的單調性1.“定義域優(yōu)先”原則：單調區(qū)間是定義域的子集.求函數(shù)的單調區(qū)間時一定要先求其定義域.2.與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的單調性的判斷方法（1）形如y=logaf(x)(a>0且a≠1)的復合函數(shù)，當a>1時，y=logaf(x)的單調性與y=f(x)的單調性相同；當0<a<1時，y=logaf(x)的單調性與y=f(x)的單調性相反.（2）形如y=f(logax)(a>0且a≠1)的復合函數(shù)，一般用復合函數(shù)單調性的規(guī)律判斷，先令t=logax，然后只需研究t=logax與y=f(t)的單調性即可.4.3指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系一、反函數(shù)1.反函數(shù)的概念一般地，如果在函數(shù)y=f(x)中，給定值域中任意一個y的值，只有唯一的x與之對應，那么x是y的函數(shù)，這個函數(shù)稱為y=f(x)的反函數(shù).此時，稱y=f(x)存在反函數(shù).函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)記作y=f-1(x).2.函數(shù)y=f(x)與y=f-1(x)的定義域和值域正好互換，且它們的圖象關于直線y=x對稱.3.對反函數(shù)概念的理解(1)并不是任意一個函數(shù)y=f(x)都存在反函數(shù)，只有當函數(shù)的定義域與值域中的值是一一對應的關系時，這個函數(shù)才存在反函數(shù).(2)反函數(shù)也是函數(shù).(3)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)在相應區(qū)間上的單調性一致.(4)奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)，若存在，它的反函數(shù)也是奇函數(shù)；偶函數(shù)一定不存在反函數(shù).(5)因為互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關于直線y=x對稱，所以若y=f(x)的圖象過點(a，b)，則點(b，a)必在其反函數(shù)的圖象上.4.求反函數(shù)的基本步驟(1)求函數(shù)y=f(x)的值域，它是反函數(shù)的定義域；(2)由y=f(x)解出x=f-1(y)；(3)交換x，y，得y=f-1(x)；(4)寫出反函數(shù)的定義域.4.4冪函數(shù)一、冪函數(shù)的概念1.一般地，函數(shù)y=xα稱為冪函數(shù)，其中α為常數(shù).二、常見冪函數(shù)的性質與圖象1.常見冪函數(shù)的性質冪函數(shù)y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定義域RRR[0，+∞)(-∞，0)∪(0，+∞)值域R[0，+∞)R[0，+∞)(-∞，0)∪(0，+∞)單調性增函數(shù)在[0，+∞)上單調遞增，在(-∞，0)上單調遞減增函數(shù)增函數(shù)在(0，+∞)上單調遞減，在(-∞，0)上單調遞減奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)公共點圖象都經過點(1，1)2.在同一平面直角坐標系內作出函數(shù)y=x，y=x2，y=x3，y=x12，y=x-1的圖象，?三、冪函數(shù)的共同特征1.所有的冪函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上都有定義，因此在第一象限內都有圖象，并且圖象都通過點(1，1).2.如果α>0，則冪函數(shù)y=xα的圖象通過原點，并且在區(qū)間[0，+∞)上是增函數(shù).3.如果α<0，則冪函數(shù)y=xα在區(qū)間(0，+∞)上是減函數(shù)，且在第一象限內：當x從右邊趨向于原點時，圖象在y軸右方且無限地逼近y軸；當x無限增大時，圖象在x軸上方且無限地逼近x軸.四、冪函數(shù)圖象的應用1.根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內的圖象可以確定冪指數(shù)α與0，1的大小關系.2.依據(jù)圖象高低可以判斷冪指數(shù)的大小，相關結論如下：(1)在x∈(0，1)上，冪指數(shù)越大，冪函數(shù)的圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)；(2)在x∈(1，+∞)上，冪指數(shù)越大，冪函數(shù)的圖象越遠離x軸(簡記為“指大圖高”).五、冪函數(shù)的性質的應用1.冪函數(shù)y=xα中只有一個參數(shù)α，冪函數(shù)的所有性質都與α的取值有關，故可由α確定冪函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性.反過來，也可由冪函數(shù)的性質去限制α的取值：(1)利用冪函數(shù)的單調性求出α的取值范圍；(2)由奇偶性結合所給條件確定α的值.4.5增長速度的比較一、平均變化率1.定義：函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2](x1<x2)上的平均變化率為ΔfΔx=f(2.實質：平均變化