大學課件-直線回歸和相關(guān)-

第八章直線回歸與相關(guān)下一張

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1大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 變量之間常常是相互影響、彼此相關(guān)的， 例如:產(chǎn)量與施肥量有關(guān); 病蟲害發(fā)生時期與溫度有關(guān); 小麥單位面積產(chǎn)量與單位面積穗數(shù)、每穗粒數(shù)、千粒重有關(guān)，等等。 常常需要研究兩個或多個變量之間的關(guān)系。下一張

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2大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏

變量間的關(guān)系有兩類，一類是變量間存在著完全確定性的關(guān)系，可以用精確的數(shù)學表達式來表示。 如長方體的體積（V）與長（a）、寬（b）、高（h）的關(guān)系可以表達為：

V=abh它們之間的關(guān)系是確定性的，只要知道了其中3個變量的值就可以精確地計算出另一個變量的值。這類變量間的關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系。下一張

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3大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 另一類是變量間不存在完全的確定性關(guān)系，不能用精確的數(shù)學公式來表示。 如:產(chǎn)量與施肥量的關(guān)系; 病蟲害發(fā)生時期與溫度的關(guān)系; 小麥單位面積產(chǎn)量與單位面積穗數(shù)、每穗粒數(shù)、千粒重的關(guān)系等。下一張

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4大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 這些變量間都存在著十分密切的關(guān)系，但由于隨機誤差的影響，不能由一個或幾個變量的值精確地求出另一個變量的值。這樣的變量在生物界中是大量存在的，統(tǒng)計學中把這類變量關(guān)系稱為統(tǒng)計關(guān)系。下一張

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5大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏

統(tǒng)計關(guān)系分為兩種： 一種是因果關(guān)系，即一個變量的變化受另一個或幾個變量的影響。 如:病蟲害發(fā)生時期受溫度的影響; 小麥單位面積產(chǎn)量受單位面積穗數(shù)、每穗粒數(shù)、千粒重的影響；下一張

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6大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 另一種是相關(guān)關(guān)系，即二個變量相互影響，互為因果。 如小麥每穗粒數(shù)與千粒重之間的關(guān)系，株高與穗長之間的關(guān)系等都屬于平行關(guān)系。 統(tǒng)計學上采用回歸分析研究呈因果關(guān)系的相關(guān)變量間的關(guān)系。 表示原因的變量稱為自變量X(independentvariable)，表示結(jié)果的變量稱為依變量Y(dependentvariable)。7大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 研究“一因一果”，即一個自變量與一個依變量的回歸分析稱為一元回歸分析； 研究“多因一果”，即多個自變量與一個依變量的回歸分析稱為多元回歸分析。 一元回歸分析又分為直線回歸分析與曲線回歸分析兩種； 多元回歸分析又分為多元線性回歸分析與多元非線性回歸分析兩種。下一張

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8大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏

回歸分析的任務(wù)是揭示出呈因果關(guān)系的相關(guān)變量間的聯(lián)系形式，建立它們之間的回歸方程，利用所建立的回歸方程，由自變量（原因）來預測、控制依變量（結(jié)果）。下一張

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9大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 統(tǒng)計學上采用相關(guān)分析研究呈平行關(guān)系的相關(guān)變量之間的關(guān)系。 對兩個變量間的直線關(guān)系進行相關(guān)分析稱為直線相關(guān)分析（也叫簡單相關(guān)分析）； (對多個變量進行相關(guān)分析時，研究一個變量與多個變量間的線性相關(guān)稱為復相關(guān)分析；)下一張

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10大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 在相關(guān)分析中，不區(qū)分自變量和依變量。 相關(guān)分析只研究兩個變量之間線性相關(guān)的程度和性質(zhì)或一個變量與多個變量之間線性相關(guān)的程度，不能用一個或多個變量去預測、控制另一個變量的變化。 本章介紹直線回歸與相關(guān)分析。下一張

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11大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏第一節(jié)直線回歸分析 對于兩個相關(guān)變量x和y，通過試驗或調(diào)查獲得n對觀測值，（x1，y1），（x2，y2），--……，（xn，yn），作出散點圖。下一張

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12大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏xy0.......X,最高葉面積指數(shù)y0.........X,每平方米穎花數(shù)(萬)y0.......水稻單株生物產(chǎn)量與稻谷產(chǎn)量的散點圖水稻每平方米穎花數(shù)與結(jié)實率的散點圖水稻最高葉面積指數(shù)和畝產(chǎn)量的散點圖ABC結(jié)實率生物產(chǎn)量13大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏從散點圖可以看出：

①兩個變量間關(guān)系的類型，是直線還是曲線。圖9.1A、9.1B表明x與y是直線相關(guān)關(guān)系；圖9.1C表明x與y是曲線關(guān)系，這幾種情況在生物界較常見。下一張

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14大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏

②兩個變量間關(guān)系的性質(zhì)（是同向增減還是異向增減。圖9.1A表明x與y的直線關(guān)系是同向增減，圖9.1B表明x與y的是直線關(guān)系是異向增減。還可以表示密切的程度。

③是否有異常觀測值。下一張

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15大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏一、直線回歸方程的建立如果呈因果關(guān)系的兩個相關(guān)變量x與y間的關(guān)系是直線關(guān)系，由于依變量x與y間的關(guān)系是直線關(guān)系下一張

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16大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 在x,y的直角坐標平面上可以作出無數(shù)條直線，回歸直線是指所有直線中最接近散點圖全部散點的直線。設(shè)直線回歸方程為：(8-1)下一張

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a是回歸直線在y軸上的截距，叫回歸截距(regressionintercept)；b是回歸系數(shù)(regressioncoefficient)。17大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 a、b應(yīng)使回歸估計值與實際觀測值的偏差平方和最小，即：最小令Q對a、b的一階偏導數(shù)等于0，即：

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18大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 整理得關(guān)于a、b的正規(guī)方程組

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19大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏解正規(guī)方程組，得：（8-2）（8-3）下一張

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20大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 （8-3）式中的分子是自變量x的離均差與依變量y的離均差的乘積和，簡稱乘積和(sumofproducts)，記作SP，分母是自變量x的離均差平方和，記作。 a叫做樣本回歸截距，是總體回歸截距的最小二乘估計值也是無偏估計值，是回歸直線與y軸交點的縱坐標，當x=0時，=a；下一張

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21大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 b叫做樣本回歸系數(shù)，是總體回歸系數(shù)的最小二乘估計值也是無偏估計值，表示x改變一個單位，y平均改變的數(shù)量，b的符號反映了x影響y的性質(zhì)，b的絕對值大小反映了x影響y的大小,a和b值有專業(yè)上的意義； 叫做回歸估計值，是當x在其研究范圍內(nèi)取某一個值時，y總體平均數(shù)（）的估計值。下一張

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22大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 如果將（8-2）式代入（8-1）式，得到回歸方程的另一種形式：（8-5）下一張

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說明直線回歸方程一定通過點。23大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 【例8·1】江蘇武進縣測定1956-1964年間3月下旬至4月中旬平均溫度累積值(x，單位：旬?度)和一代三化螟蛾盛發(fā)期（y，以5月10日為0）的資料如下表，建立y與x的直線回歸方程。下一張

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24大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏表8-1平均溫度累積值(x)與一代三化螟盛發(fā)期（y）資料下一張

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25大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏計算6個一級數(shù)據(jù)n=9∑x=35.5+34.1+…+44.2=333.7∑x2=35.52+34.12+…+44.22=12517.49∑y=12+16+…+(-1)=70∑y2=122+162+…+(-1)2=794∑xy=(35.5×12)+(34.1×16)+…+[44.2×(-1)2]=2436.426大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏計算5個二級數(shù)據(jù)27大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏

2、計算回歸系數(shù)b，回歸截距a，建立直線回歸方程

1、作散點圖

（天/旬·度）（天）28大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏直線回歸方程為：下一張

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或29大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏注意，由于實測區(qū)間為[31.7，44.2]，當＜31.7或 ＞44.2時，的變化是否還符合 的規(guī)律，還必須提供新的依據(jù)。

回歸系數(shù)=-1.1的意義為：當3月下旬的積溫（）每提高1旬?度時，一代三化螟盛發(fā)期將平均提早1.1天； 回歸截距=48.5485的意義為：若3月下旬的積溫為0，則一代三化螟盛發(fā)期為48.5，即在6月27-28日。30大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏3、直線回歸方程的圖示P1614、直線回歸方程的離回歸標準誤Q=的大小表示了實測點與回歸直線偏離的程度，又稱為離回歸平方和(sumofsquaresduetodeviationfromregression)。統(tǒng)計學已經(jīng)證明：在直線回歸分析中離回歸平方和的自由度為n-2(由于在建立回歸方程時用了a、b兩個統(tǒng)計數(shù)）。于是可求得離回歸均方為：S2y/x=Q/(n-2)=31大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 離回歸均方是模型（8-1）中方差σ2的估計值。 離回歸均方的平方根叫離回歸標準誤，記為Sy/x，即（8-6）下一張

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32大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 離回歸標準誤Sy/x

的大小表示了回歸直線與實測點，即回歸估計值與實際觀測值y偏離度的大小。計算Sy/x值主要是求Q，直接計算工作量大，而且容易引入誤差，可以用下列恒等式計算（8-7a）Q==SSy-b(SP)=SSy-b2(SSx)=∑y2-a∑y-b∑xy（8-7b）（8-7c）（8-7d）33大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏對于【例8·1】有下一張

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34大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏所以=3.2660（天）下一張

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35大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏三、直線回歸的顯著性檢驗 如何判斷直線回歸方程所反應(yīng)的兩個變量間的直線關(guān)系的真實性呢？這取決于變量y與x間是否存在直線關(guān)系，也就是須對直線回歸進行顯著性檢驗。 直線回歸顯著性檢驗的方法有F檢驗和t檢驗兩種。下一張

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36大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 從圖8.3（P161）看到，可表示為與之和，即則有

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（一）F檢驗

1、依變量y的總平方和與自由度的分解37大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏由于所以下一張

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38大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏于是

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39大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏所以（8-8）

反映了y的總變異程度，稱為y的總平方和，記為；下一張

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40大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 反映了由于y與x間存在直線關(guān)系所引起的y的變異程度，稱為回歸平方和，記為SSR； 反映了除y與x存在直線關(guān)系以外的原因（包括隨機誤差）所引起的y的變異程度,稱為離回歸平方和或剩余平方和,記為SSr。下一張

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41大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏于是，（7-8）式又可表示為：SSy=SSR+SSr

與此相對應(yīng)，dfy=dfR+dfr

（8-9）（8-10）在直線回歸分析中dfy=n-1dfR=1dfr=n-2下一張

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42大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏２、回歸關(guān)系顯著性檢驗—F檢驗 對y與x間是否存在直線關(guān)系的假設(shè)檢驗其無效假設(shè)：=0，備擇假設(shè)：≠0。 在無效假設(shè)成立的條件下，回歸均方與離回歸均方的比值服從和的F分布，所以可以用下一張

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43大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏，df1=1,df2=n-2（8-11）來檢驗回歸關(guān)系即回歸方程的顯著性。下一張

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44大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏

（8-12）(8-13)下一張

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45大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏對于【例8·1】，，，下一張

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46大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏而，于是下一張

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47大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏,,p＜0.01，表明一代三化螟蛾盛發(fā)期（y）與積溫（）的直線回歸關(guān)系極顯著。下一張

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48大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏3、回歸系數(shù)的顯著性檢驗—t檢驗 回歸系數(shù)顯著性檢驗的無效假設(shè)和備擇假設(shè)分別為：β＝0，：β≠0。t檢驗的計算公式為：（7-14）其中，為回歸系數(shù)標準誤：（7-15）下一張

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49大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏對于【例8·1】，已計算得，

，

，

故有下一張

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50大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏,因，，否定：β＝0，接受：β≠0，即一代三化螟蛾盛發(fā)期（y）與積溫（x）的直線回歸系數(shù)b=-1.0996極顯著，表明一代三化螟蛾盛發(fā)期與積溫間存在極顯著的直線關(guān)系。 F檢驗的結(jié)果與t檢驗的結(jié)果一致。事實上，統(tǒng)計學已證明，在直線回歸分析中，這二種檢驗方法是等價的，可任選一種進行檢驗。

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51大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏四、直線回歸的區(qū)間估計經(jīng)檢驗直線回歸關(guān)系顯著之后：可用樣本統(tǒng)計數(shù)來估計總體參數(shù)，可利用來估計某一值對應(yīng)的總體的平均數(shù)（）；下一張

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52大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 還可對總體參數(shù)，某一值對應(yīng)的總體的平均數(shù)（）和單個觀測值作出區(qū)間估計，即求出它們在一定置信度下的置信區(qū)間。

表8-2回歸截距，回歸系數(shù)，總體平均數(shù)（）和單個觀測值y置信度為（）的置信區(qū)間

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53大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏下一張

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54大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏【例8·2】根據(jù)【例8·1】的資料估計： （1）當3月下旬至4月中旬的積溫為40旬?度時，歷年的一代三化螟蛾平均盛發(fā)期在何時（置信度為95％）？ （2）某年3月下旬至4月中旬的積溫為40旬?度時，該年的一代三化螟蛾盛發(fā)期在何時（置信度為95％）？下一張

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55大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 利用直線回歸方程計算當時的，因為下一張

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56大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏將=4.56、、2.36代入，得 所以（1）在置信度為95％時，的總體平均數(shù)（）的置信區(qū)間為：下一張

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57大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 即當3月下旬至4月中旬的積溫為40旬?度時，歷年的一代三化螟蛾平均盛發(fā)期在[1.4,7.7]或5月12—18日，置信度為95％。 （2）在置信度為95％時，的單個觀測值的置信區(qū)間為：下一張

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58大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 將=4.56、、2.36代入，得

即當某年3月下旬至4月中旬的積溫為40旬?度時，該年的一代三化螟蛾盛發(fā)期在[-3.8,19.9]或5月6—30日，置信度為95％。 類似地可求出取其它值時總體平均數(shù)（）和單個觀測值的95%置信區(qū)間，列于表8-3。下一張

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59大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏表8-3一代三化螟蛾盛發(fā)期95%置信區(qū)間下一張

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60大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 從和的計算公式看出，越接近，和越小，置信區(qū)間的置信距也越小，預測越精確。

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61大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏第二節(jié)直線相關(guān)分析 進行直線相關(guān)分析的基本任務(wù)在于根據(jù)x、y的實際觀測值計算表示兩個相關(guān)變量x與y線性相關(guān)程度和性質(zhì)的統(tǒng)計數(shù)——相關(guān)系數(shù)r，并進行顯著性檢驗。下一張

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62大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏、決定系數(shù)和相關(guān)系數(shù)已經(jīng)證明了等式：。

從這個等式不難看到：y與x直線回歸效果的好壞取決于回歸平方和與離回歸平方和的大小，或者說取決于回歸平方和在y的總平方和中所占比例的大小。這個比例越大，y與x的直線回歸效果就越好，反之則差。下一張

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63大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 比值叫做x對y的決定系數(shù)，記為r2，即（7-16） 決定系數(shù)的大小表示了回歸方程估測可靠程度的高低，或者說表示了回歸直線擬合度的高低，顯然0≤r2≤1。下一張

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64大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏因為 而SPxy/SSx是以x為自變量、y為依變量時的回歸系數(shù)byx。 若把y作為自變量、x作為依變量，則回歸系數(shù)bxy=SPxy/SSy。下一張

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65大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 所以決定系數(shù)r2等于y對x的回歸系數(shù)與x對y的回歸系數(shù)的乘積。 這就是說，決定系數(shù)反應(yīng)了x為自變量、y為依變量和y為自變量、x為依變量時兩個相關(guān)變量x與y直線相關(guān)的信息，即決定系數(shù)表示了兩個互為因果關(guān)系的相關(guān)變量間直線相關(guān)的程度。但決定系數(shù)介于0和1之間，不能反應(yīng)直線關(guān)系的性質(zhì)——是同向增減或是異向增減。下一張

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66大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 若求r2的平方根，且取平方根的符號與乘積和SPxy的符號一致，即與bxy、byx的符號一致，這樣求出的平方根既可表示y與x的直線相關(guān)的程度，也可表示y與x直線相關(guān)的性質(zhì)。 統(tǒng)計學上把這樣計算所得的統(tǒng)計數(shù)稱為x與y的相關(guān)系數(shù),記為r，即下一張

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67大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏（7-17）（7-18） 顯然-1≤r≤1。當r＜0時，相關(guān)變量x與y異向增減，稱為x與y負相關(guān)；當r＞0時，相關(guān)變量x與y同向增減，稱為x與y正相關(guān)。下一張

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68大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 【例8·3】計算【例8·1】資料3月下旬至4月中旬積溫和一代三化螟蛾盛發(fā)期的決定系數(shù)和相關(guān)系數(shù)。下一張

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69大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏已經(jīng)算得、

、下一張

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70大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 表明，用一代三化螟盛發(fā)期（y）與3月下旬至4月中旬積溫（x）的直線回歸方程來進行預測其可靠程度為70.07％。下一張

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71大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏二、相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗 上述根據(jù)實際觀測值計算得來的r是樣本相關(guān)系數(shù)，它是雙變量正態(tài)總體的總體相關(guān)系數(shù)ρ的估計值。樣本相關(guān)系數(shù)r是否來自≠0的總體，還須對樣本相關(guān)系數(shù)r進行顯著性檢驗。此時無效假設(shè)、備擇假設(shè)分別為:=0，

≠0。下一張

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72大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏由于r的取值區(qū)間在[-1，1]，r本身并不服從某個已知的理論分布。r的抽樣誤差為:當H0正確時此t值遵循ν=n-2的t分布，由之可檢驗H0。

73大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏由于ν一定時，t0.05(0.01)是一定的，采用查表法對相關(guān)系數(shù)r進行顯著性檢驗.具體作法是：先根據(jù)自由度n-2查臨界r值(附表8)，得，。 若|r|＜，p＞0.05，則相關(guān)系數(shù)r不顯著，在r的右上方標記“ns”或不標記符號；下一張

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74大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 若≤|r|＜，0.01＜p≤0.05，則相關(guān)系數(shù)r顯著，在r的右上方標記“*”； 若|r|≥，p≤0.01，則相關(guān)系數(shù)r極顯著，在r的右上方標記“**”。下一張

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75大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏 對于【例8·3】，=0.666，=0.798，而|r|=0.8371＞，p＜0.01，表明一代三化螟盛發(fā)期與3月下旬至4月中旬積溫的相關(guān)系數(shù)極顯著，即一代三化螟盛發(fā)期與3月下旬至4月中旬積溫呈極顯著負相關(guān)，積溫越高，螟蛾的盛發(fā)期越早。下一張

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76大學各學科PPT課件持續(xù)更新歡迎收藏三、直線相關(guān)分析與回歸分析的關(guān)系 相關(guān)變量x與y的相關(guān)系數(shù)r是y對