7.2.1復數的加、減運算及其幾何意義+教學設計-2022-2023學年高一下學期數學人教A版（2019）必修第二冊

復數的加、減運算及其幾何意義教學設計教學目標(1)復數加減法運算及其幾何意義的探索(2)應用運算法則解決數學問題（3）通過課后作業(yè)的明辨探究，引導學生嚴謹的思維能力.教學內容教學重點：1.在探究復數的加減運算及其幾何意義中感受數學文化

2.了解復數在實際問題中的應用

教學難點：1.復數的加減運算的幾何意義教學過程（一）教學引入：復數初體驗師：給大家提前閱讀的數學史料中，大家已經感受到復數與實際生活有著密不可分的聯系，虛數不“虛”，實數集擴充到了復數集。隨著科學和技術的進步，復數理論已越來越顯出它的重要性，它不但對于數學本身的發(fā)展有著極其重要的意義，也為實際生活提供了重要的理論依據。因此，我們需要研究復數的表示、運算及其幾何意義，讓我們一起在“數”與“形”的融合中，感受人類理性思維在數系擴充中的作用.『設計意圖』從學生們閱讀的數學史料中的內容進行引入，符合學生的最近發(fā)展區(qū)，顯得自然且有代入感。接著通過提出復數學習的必要性馬上把學生從“欣賞數學家的已有成果”切換到“期待發(fā)現未知”。本環(huán)節(jié)的實施將激發(fā)學生的好奇心與學習動力.（二）回顧舊知（1）復數的概念師：在進入今天的學習之前，我們一起來回顧學過的復數相關內容吧。首先是復數的概念（闡述），也即是復數一個二維數。在歷史上著名的卡丹問題后，法國數學家笛卡爾在《幾何學》首次給出“虛數”這一名稱。從此，虛數流傳開來。（2）復數的幾何意義師：由于復數是一個二維數，因此，復數與復平面內的點以及復平面內以原點為起點，為終點的向量一一對應。

（3）復數的模師：由其一一對應性，我們學習了復數模長的定義。師：以上的學習，體現了我們數學中的集合對應思想?！涸O計意圖』用著名數學家的數學發(fā)現帶領學生回顧所學知識，這不僅體現出數學家運用他們的特殊知識與專業(yè)的方法解決在科學領域的顯著問題，讓學生感受科學沒有平坦大路，需要堅持不懈與積累，還為之后學生的探究搭建了腳手架，復數加減法的探究也就變得自然。另外，充分用數學文化引領學生復習并挖掘教材，不辜負教材編委的良苦用心.

（三）課堂探究

一）知識生成

（1）復數的加法師：引入新數集后，就要研究其中數之間的運算與運算律.你認為怎樣定義復數的加法，可以與實數的加法運算法則保持一致？

師：我們規(guī)定，復數的加法法則如下：設是任意兩個復數，那么它們的和：.兩個復數的和仍是一個確定的復數.實部與實部相加，虛部與虛部相加.類似于多項式相加.

師：深入認識：1）當都是實數時，復數的和即為實數的和.2）兩個復數相加可以推廣到多個復數相加，加法法則一致.師：接下來用一道小練習幫助大家更好的理解復數的加法法則練習1計算師：在這樣的定義下，請同學們思考，復數的加法滿足交換律與結合律嗎？（教師引導學生進行交換律的推導）師：我們用實數加法交換律推導出復數加法也滿足交換律，體現了數學中的化歸思想。師：大家接著思考，是否滿足結合律呢？可以證明到復數加法也滿足結合律。具體的證明過程留作大家的課后作業(yè)。師：由此，在復數加法的定義下，證明到復數加法仍滿足交換律與結合律。體現出數學文化中的公理化思想。通過嚴密的定義，使得數的運算這一公理體系系統獨立、相容、完備。（2）復數加法的幾何意義師：學習完復數加法法則后，我們接著思考，復數有幾何意義.那復數加法的幾何意義是什么呢？能否根據進行思考？（停留，學生思考）師：對應，對應，對應，可以發(fā)現，即復數加法可按照向量加法來進行。這就是復數加法的幾何意義。師：由此，我們學習到今天的第三個知識點（復數加法的幾何意義敘述），復數加法的幾何意義再一次凸顯了數學文化中的數形結合思想。（3）復數的減法師：學習完復數的加法，我們接著學習復數的減法。應用類比推理法，規(guī)定復數的減法是加法的逆運算。那么，復數的減法運算法則是什么呢？該如何計算的值呢？師：由復數加法法則和復數相等的定義得：師：即實部與實部相減，虛部與虛部相減。在這里我們用到了數學文化中的待定系數法以及方程思想。師：因此，復數的減法法則如下：師：接下來請同學們完成今天的第二道小練習來理解復數的加、減法法則練習2計算

（4）復數減法的幾何意義師：應用類比推理法，你能得出復數減法的幾何意義嗎？（PPT展示）師：復數減法的幾何意義等同于向量減法的幾何意義。師：請同學們根據本節(jié)課所學知識復數及其運算的幾何意義，求復平面內的兩點之間的距離.

『設計意圖』本環(huán)節(jié)主要以老師的講授和引導為主，發(fā)揮教師的主體作用，幫助學生從數學文化層次更深的理解復數的加減法運算及其幾何意義。應用待定系數法、類比推理法等多方法和公理化思想、數形結合思想等多種數學思想角度來認識，通過實數運算與復數運算的對比，通過復數的幾何意義與復數運算的幾何意義類比，使學生在差異與聯系中理解知識點的內涵.二）課堂練習

師：接著，請同學們完成下面的幾道練習題，一起檢驗一下今天學得如何吧！(1)已知為虛數單位，計算下列各式．1)；2)；3)；4)．【答案】1)；2)；3)；4).(2)已知四邊形是復平面內的平行四邊形，是原點，點分別表示復數，是，的交點，如圖所示，求點表示的復數.【答案】，(3)在復平面內，分別對應復數，以AB,AC為鄰邊作一個平行四邊形，求點對應的復數及的長.【答案】z4＝7＋3i，（四）課堂小結，顆粒歸倉

（1）數學知識

1）復數的加法與減法法則2）復數加法與減法的幾何意義

（2）數學方法

1）待定系數法2）類比推理法

（3）數學思想

1）公理化思想2）化歸思想

3）方程思想4）數形結合思想

師：大家在今后的數學學習中一定能夠更深刻地感受數學文化，感受數學的魅力。

（五）作業(yè)布置

師：到這里，今天的微課就結束了，老師給大家布置了兩個小任務以及一個選做任務。

（1）感受數學文化：閱讀課外資料，了解復數在生活中的應用.收集一些從實數系擴充到復數系的數學史料，并對“整數——有理數——復數”的數系擴充過程進行整理.

（2）課堂知識鞏固：人教A版必修第二冊77頁練習題

（3）課后挑戰(zhàn)作業(yè)（學生依據自身情況自行選擇）1.若,為虛數單位，且，求的最小值.2.已知復數滿足，則復平面內由點形成的區(qū)域的面積為多少？

3.已知，，，，則的值是多少？教學反思本節(jié)課知識點難度不大，若只是傳授知識點，單一的重復，尤其是微課則很容易讓學生成為觀眾，難以激發(fā)學生的數學學習興趣，也少了很多學生思維矛盾沖突點的教育契機.所以在本節(jié)課中，我盡量使用“請同學們思考”，“你認為如何定義”等，是想把對話像實時課堂一樣讓學生參與其中.我要做的就是為學生創(chuàng)設有趣、有探究的數學情境，顯然，數學文化是一個值得我們每位數學老師挖掘的情境寶庫.而對于普通的一線教師來講，在時間和精力有限的情況下，我們