數(shù)學(xué)人教八年級(jí)上冊(cè)（2013年新編）12-3-1 角的平分線的性質(zhì)（當(dāng)堂達(dá)標(biāo)）

12.3.1角的平分線的性質(zhì)夯實(shí)基礎(chǔ)篇一、單選題：1．用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的示意圖如右，則說(shuō)明∠CAD=∠DAB的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定（SSS）；作圖-角的平分線【解析】【解答】解：從角平分線的作法得出，△AFD與△AED的三邊全部相等，則△AFD≌△AED．故選A．【分析】利用三角形全等的判定證明．2．如圖，在中，，是的角平分線，于點(diǎn)E，若，.則的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AD是△ABC中∠CAB的角平分線，DE⊥AB于E，∴DE=DC，∴BD=4cm，BC=6cm，∴DC=BC-BD=6-4=2cm，∴DE=2cm.故答案為：D.【分析】由角平分線的性質(zhì)“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”可得DE=DC，由線段的構(gòu)成得DC=BC-BD，把已知條件代入計(jì)算即可求解.3．如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于點(diǎn)D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于點(diǎn)D，∴EC=DE，∴AE+DE=AE+EC=3cm.故答案為：B.【分析】直接利用角平分線的性質(zhì)得出DE=EC，進(jìn)而得出答案.4．如圖，直線a、b、c表示互相交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的站址有（）A．一處 B．二處 C．三處 D．四處【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)【解析】【解答】∵△ABC內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，∴△ABC內(nèi)角平分線的交點(diǎn)滿足條件；如圖：點(diǎn)P是△ABC兩條外角平分線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，∴PE=PF，PF=PD，∴PE=PF=PD，∴點(diǎn)P到△ABC的三邊的距離相等，∴△ABC兩條外角平分線的交點(diǎn)到其三邊的距離也相等，滿足這條件的點(diǎn)有3個(gè)；綜上，到三條公路的距離相等的點(diǎn)有4個(gè)，∴可供選擇的地址有4個(gè)．故答案為：D．

【分析】根據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上可知三個(gè)內(nèi)角的平分線交點(diǎn)、任意兩外角的平分線交點(diǎn)均可，共四處。5．如圖，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD是角平分線，DE⊥AB，垂足為E，則△BDE的周長(zhǎng)為（）A．17 B．18 C．20 D．25【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵AD是∠BAC的平分線，∠C=90°，DE⊥AB，∴ED=CD，在Rt△ADE和△RtADC中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），∴AC=AE，∴△BDE的周長(zhǎng)=BE+BD+ED=AB-AC+BC=（13-5）+12=20.故答案為：C.【分析】利用角平分線的性質(zhì)得到ED=CD，從而B(niǎo)C=BD+CD=DE+BD=12，即可求得△BDE的周長(zhǎng).6．如圖，是的角平分線，，，，分別是垂足，若，，則的長(zhǎng)為（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵，∴∴又∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴即AC=．故選：A．【分析】由AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得DE=DF，又由，△ABD的面積是△ACD的2倍，所以可得，即可求得答案．7．如圖，在中，平分，與交于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，若，的面積為5，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；角平分線的性質(zhì)【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖，∵的面積為，∴，∵，∴DF=2，∵平分，∴DE=DF=2故答案為：C．【分析】過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，根據(jù)三角形面積公式求出DF的長(zhǎng)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出DE的長(zhǎng)．二、填空題：8．如圖，要在河流的南邊，公路的左側(cè)M區(qū)處建一個(gè)工廠，位置選在到河流和公路的距離相等，并且到河流與公路交叉A處的距離為1cm（指圖上距離），則圖中工廠的位置應(yīng)在.【答案】∠BAC的平分線上，與A相距1cm的地方【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)【解析】【解答】工廠的位置應(yīng)在∠BAC的平分線上，與A相距1cm的地方；理由：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等即可得出工廠的位置應(yīng)在∠BAC的平分線上，且到A相距1cm的地方。9．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，，DE=2，AB=4，則AC的長(zhǎng)是．【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)【解析】【解答】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F。

∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC

∴DF=DE=2

又∵+=7

∴

∴AB+AC=7

又∵AB=4

∴AC=3.

故答案為：3.

【分析】過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得DF=DE=2，然后用+列出方程求解即可。10．如圖，BD是∠ABC的角平分線，DE⊥AB于E，△ABC的面積是15cm2，AB＝9cm，BC＝6cm，則DE＝cm．【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；角平分線的性質(zhì)【解析】【解答】解：作DF⊥BC于F，設(shè)DE為x，∵BD是∠ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF=x，∴×AB×DE+×BC×DF=15，即4.5x+3x=15，解得，x=2cm，故答案為2．【分析】作DF⊥BC于F，設(shè)DE為x，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DF=x，根據(jù)三角形的面積公式列出方程，解方程即可．11．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP，交邊BC于點(diǎn)D，若CD=4，AB=15，則△ABD的面積是.【答案】30【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)【解析】【解答】解：由題意得：AP是∠BAC的平分線，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E.又∵∠C＝90°，∴DE＝CD，∴△ABD的面積AB?DE15×4＝30.故答案為：30.【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得出DE＝CD=4，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積計(jì)算方法算出答案.12．如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點(diǎn)，，，則的面積為.【答案】5【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)【解析】【解答】作EF⊥BC于F，∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴S△BCE=BC?EF=×5×2=5.故答案為：5.【分析】作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得EF=DE=2，然后根據(jù)三角形面積公式求得即可.13．如圖，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=20cm，則△DEB的周長(zhǎng)為cm．【答案】20【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠ECD∵DE⊥BC于E，∴∠DEC=∠A=90°，在△ACD與△ECD中，∵，∴△ACD≌△ECD(ASA)，∴AC=EC，AD=ED，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠B=45°，∴BE=DE，∴△DEB的周長(zhǎng)為：DE+BE+BD=AD+BD+BE=AB+BE=AC+BE=EC+BE=BC=20cm，故答案為：20.

【分析】根據(jù)平分線性質(zhì)結(jié)合三角形全等判斷易證△ACD≌△ECD(ASA)，從而得到AC=EC，AD=ED，根據(jù)題意可得∠B=45°，從而得到BE=DE，再對(duì)線段進(jìn)行等量替換可求出答案。14．如圖，在△ABC中∠ABC和∠ACB平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，△ABC的周長(zhǎng)為18，OD=4，則△ABC的面積是．【答案】36【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)【解析】【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，∵OB是∠ABC的平分線，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE=OD=4，同理OF=OD=4，△ABC的面積=×AB×4+×AC×4+×BC×4=36．【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出OE=OD=4和OF=OD=4，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．三、解答題：15．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，BE＝FC，求證：BD＝DF.【答案】解：∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點(diǎn)E，AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∠FCD＝∠DEB＝90o，在△CDF和△EDB中，∴△CDF≌△EDB（SAS），∴BD＝DF【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)【解析】【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得出CD＝DE，然后利用SAS判斷出△CDF≌△EDB，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得出結(jié)論。16．如圖所示，已知點(diǎn)P是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，PD⊥AB，若PD=5，△ABC的周長(zhǎng)為20，求△ABC的面積．【答案】解:過(guò)P做PE⊥BC于E，PF⊥AC于F∵PA是∠BAC的角平分線∴PD=PF=5同理PE=PD=5∴S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△ACP=×(AB×DP+BC×EP+AC×FP)=×5×(AB+BC+AC)=50【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)【解析】【分析】過(guò)P做PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，由角平分線的性質(zhì)，可得PE=PD=PF=5,然后，將使用三角形面積公式求出三角形APB,三角形CPB,三角形APC的面積，然后求和即可發(fā)現(xiàn)做的思路.17．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，點(diǎn)F在邊AC上，連接DF．（1）求證：AC=AE；（2）若AC=8，AB=10，求DE的長(zhǎng)；（3）若CF=BE，直接寫(xiě)出線段AB，AF，EB的數(shù)量關(guān)系.【答案】解：（1）∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠C=∠AED=90°，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC=AE．（2）∵∠C=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6，∴△ABC的面積等于24，由（1）得：△ACD≌△AED，∴DC=DE，∵S△ACB=S△ACD+S△ADB，∴S△ACB=AC?CD+AB?DE，又∵AC=8，AB=10，∴24=×8×CD+AB?DE∴DE=；（3）∵AB=AE+EB，AC=AE，∴AB=AC+EB，∵AC=AF+CF，CF=BE∴AB=AF+2EB．故答案為：AB=AF+2EB．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)【解析】【分析】（1）先過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，由于DE⊥AB，那么∠AED=90°，則有∠ACB=∠AED，聯(lián)合∠CAD=∠BAD，AD=AD，利用AAS可證．（2）由△ACD≌△AED，證得DC=DE，然后根據(jù)S△ACB=S△ACD+S△ADB即可求得DE．（3）由AC=AE，CF=BE，根據(jù)AB=AE+EB，AC=AF+CF即可證得．能力提升篇一、單選題：1．如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別是20、30、40，其三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于（）A．1︰1︰1 B．1︰2︰3 C．2︰3︰4 D．3︰4︰5【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分別是D，E，F(xiàn)，

∵OA平分∠BAC，OD⊥AB，OF⊥AC

∴OD=OF，同理OD=OE

∴OD=OE=OF

∵S△ABO=，S△AOC=，S△BOC=

∴S△ABO︰S△BCO︰S△CAO=∶∶=AB：BC：AC=2：3：4

故答案為：C。

【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得OD=OE=OF，根據(jù)三角形的面積計(jì)算方法分別表示出三個(gè)三角形的面積，則三個(gè)三角形的面積之比就等于底之比，即AB：BC：AC=2：3：4。2．如圖是的角平分線，于E，點(diǎn)F，G分別是，上的點(diǎn)，且，與的面積分別是10和3，則的面積是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質(zhì)【解析】【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，DH⊥AC∴DF=DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△EDF=S△GDH=3，同理Rt△ADF≌Rt△ADH，∴S△ADF=S△ADH=∴S△AED=，故答案為：A.【分析】過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于H，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DF=DH，然后利用“HL”證明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得S△EDF=S△GDH，然后根據(jù)S△ADF=S△ADH列出方程求解即可.3．如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，則下列結(jié)論:①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC=4BE，則S△ABC=8S△BDE.其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)；三角形的面積；角平分線的性質(zhì)；三角形全等的判定（AAS）；角平分線的定義【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC=∠DAE.

∵∠C=90°，DE⊥AB，

∴∠C=∠E=90°.

∵AD=AD，∠DAC=∠DAE，∠C=∠E=90°，

∴△DAC≌△DAE，

∴∠CDA=∠EDA，

∴①AD平分∠CDE，正確.

無(wú)法證明∠BDE=60°，

∴③DE平分∠ADB錯(cuò)誤.

∵BE+AE=AB，AE=AC，AC=4BE，

∴AB=5BE，AE=4BE，

∴S△ADB=5S△BDE，S△ADC=4S△BDE，

∴S△ABC=9S△BDE，④錯(cuò)誤.

∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B，

∴∠BDE=∠BAC，

∴②∠BAC=∠BDE正確.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)角平分線的概念以及性質(zhì)可得∠DAC=∠DAE，∠C=∠E=90°，然后可證△DAC≌△DAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可判斷①的正誤；無(wú)法推出∠BDE=60°，進(jìn)而可判斷③的正誤；由線段的和差關(guān)系可推出AB=5BE，AE=4BE，利用三角形的面積公式不難判斷④的正誤；根據(jù)同角的余角相等可判斷②的正誤.二、填空題：4．如圖所示，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質(zhì)【解析】【解答】延長(zhǎng)BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，

設(shè)∠PCD=x°，

∵CP平分∠ACD，

∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，

∵BP平分∠ABC，

∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，

∴PF=PM，

∵∠BPC=40°，

∴∠ABP=∠PBC=∠PCD?∠BPC=(x?40)°，

∴∠BAC=∠ACD?∠ABC=2x°?(x°?40°)?(x°?40°)=80°，

∴∠CAF=100°，

在Rt△PFA和Rt△PMA中，

PA=PA

PM=PF，

∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)，

∴∠FAP=∠PAC=50°.

【分析】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案.5．如圖，在∠AOB的邊OA、OB上取點(diǎn)M、N，連接MN，P是△MON外角平分線的交點(diǎn)，若MN=2，S△PMN=2，S△OMN=7．則△MON的周長(zhǎng)是；【答案】11【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)【解析】【解答】解：如圖：作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，連結(jié)OP，

∵PM、PN分別平分∠AMN，∠BNM，

∴PF=PG=PE，

∵S△PMN=·MN·PF=2，MN=2，

∴PF=PG=PE=2，

由題易得：

△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，

∴GM=GF，F(xiàn)N=NE，OG=OE，

∴S△OPG=S△OPE=×（2+2+7）=，

即S△OPG=·OG·PG=，

∴OG=，

∴C△MON=OM+ON+MN，

=OM+ON+MF+FN，

=OM+ON+MG+NE，

=OG+OE，

=2OG，

=2×，

=11.

故答案為：11.【分析】作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，連結(jié)OP，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得PF=PG=PE，再由三角形面積公式得PF=PG=PE=2，據(jù)條件易得：△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，由全等三角形性質(zhì)得GM=GF，F(xiàn)N=NE，OG=OE，S△OPG=·OG·PG=得OG=，由三角形周長(zhǎng)和等量代換可得答案.6．如圖，ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，則下列結(jié)論中正確的是.①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP.【答案】①②③④【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質(zhì)；角平分線的判定【解析】【解答】解：①過(guò)點(diǎn)作于，平分，，，，∵平分，，，∴，，又∵，，CP平分∠ACF，故①正確；②∵，，∴，在和中，，，，同理：，，，，，，，，②正確；③∵，，∴，，平分，平分，，，，即，③正確；④由②可知，，，，，故④正確.故答案為：①②③④.【分析】過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于D，由角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得PM=PN，PM=PD，推出PN=PD，進(jìn)而根據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上判斷出CP平分∠ACF，據(jù)此判斷①；證△PAM≌△PAD，△PCD≌△PCN，得到∠APM=∠APD，∠CPD=∠CPN，推出∠MPN=2∠APC，利用四邊形內(nèi)角和為360°求出∠ABC+∠MPN的度數(shù)，據(jù)此判斷②；由三角形的任意一個(gè)外角等于與之不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和得∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠MAP=∠ABP+∠APB，由角平分線的概念可得∠CAE=2∠PAM，∠ABC=2∠ABP，據(jù)此判斷③；由全等三角形的面積相等得S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，據(jù)此判斷④.三、解答題：7．在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且∠EDF+∠EAF=180°，求證DE=DF．【答案】證明：過(guò)D作DM