人教b版數學必修實數指數冪及其運算

實數指數冪及其運算1.n次方根（1）定義：給定大于1的正整數n和實數a，如果存在實數x，使得xn=a，則x叫做a的n次方根.（2）表示：n為奇數n為偶數a∈Ra>0a=0a<0___________0不存在【思考】對于式子中a一定是非負數嗎？如不是，其范圍是什么？提示：不一定是非負數，其范圍由n的奇偶決定；當n為奇數時，a∈R；當n為偶數時，a≥0.2.根式（1）當有意義時，

稱為根式，n稱為根指數，a稱為被開方數.（2）性質：①②【思考】與中的字母a的取值范圍是否一樣？提示：取值范圍不同.式子中隱含a是有意義的，若n為偶數，則a≥0，若n為奇數，a∈R；式子中，a∈R.3.分數指數冪的意義正分數指數冪n為正整數，

有意義，且a≠0時，規(guī)定

正分數___，

負分數指數冪s是正分數，as有意義且a≠0時，規(guī)定a-s=【思考】分數指數冪中的有什么規(guī)定？提示：

為既約分數，如果沒有特殊說明，一般總認為分數指數中的分數都是既約分數.4.無理數指數冪當a>0且t是無理數時，at是一個確定的實數.【思考】當a>0時，式子ax中的x的范圍是什么？提示：x∈R.

提示：（1）×.當n是奇數時，x=（2）×.（3）√.由無理數指數冪的意義可知正確.2.=________.

【解析】=32=9.答案：93.若x<0，則|x|+=________.

【解析】因為x<0，所以原式=-x-x+1=1-2x.答案：1-2x類型一n次方根概念及相關的問題【典例】1.化簡等于 （）A.-2π

B.6

C.2π

D.-62.等于（）A.2

B.

C.

D.23.若+（a-3）0有意義，則a的取值范圍是________.

【思維·引】1.根據根指數的奇偶、π和3的大小化簡.2.將被開方數配成完全平方后化簡.3.根據偶次方根的被開方數非負，0次冪的底數不等于0，求a的范圍.【解析】1.選D.=π-3-π-3=-6.2.選A.3.由得a≥2，且a≠3.答案：[2，3）∪（3，+∞）

【內化·悟】1.對于根式化簡需要注意哪些？提示：注意n的奇偶和a的符號.2.怎樣求根式中變量的范圍？提示：根指數是正的偶數時，被開方數非負，根指數為奇數時，被開方數為任意實數.【類題·通】根式化簡與求值的思路及注意點（1）思路：首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運用根式的性質進行化簡.（2）注意點：①正確區(qū)分（

）n與兩式；②運算時注意變式、整體代換，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的運用，必要時要進行討論.【習練·破】1.已知a∈R，n∈N*，給出下列4個式子：

其中無意義的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.0個【解析】選A.①中-22n<0，所以無意義，②中根指數為3，有意義，③中（-2）2n>0，有意義，④中根指數為3，有意義.2.計算【解析】

==0.【加練·固】的值為（）A.-6

B.2-2

C.2

D.6【解析】選A.=-6，

所以原式=-6+4--4=-6.類型二分數指數冪的求值問題【典例】求下列各式的值. （1）

（2）

（3）

【思維·引】（1）將底數化為真分數后求值.（2）將根式化為分數指數后求值.（3）先化為同底，再利用指數運算法則求值.【解析】（1）原式=（2）原式==21=2.（3）原式=【內化·悟】如果式子中含有多層根號，應怎樣化簡求值？提示：先由內向外分別化為分數指數冪，再利用分數指數冪的運算法則計算.【類題·通】1.根式與分數指數冪互化的方法及思路（1）方法：根指數分數指數的分母，被開方數（式）的指數分數指數的分子.（2）思路：在具體計算中，通常會把根式轉化成分數指數冪的形式，然后利用有理數指數冪的運算性質解題.提醒：如果根式中含有多重根號，要由里向外用分數指數冪寫出.2.關于分數指數冪的求值若式子中含有根式，先化為分數指數，若式子中分數指數冪底數不同，則先化同一底數，最后利用分數指數冪的運算法則先化簡后求值.【習練·破】求下列各式的值（1）

（2）

（3）

【解析】（1）原式=（2）原式==31=3.（3）原式=【加練·固】計算=________.

【解析】原式==36×22=2916.類型三分數指數冪的化簡問題角度1式子化簡【典例】（2019·衡陽高一檢測）

=________.

【思維·引】先將分母的根式化為分數指數，再利用分數指數冪的運算法則化簡.【解析】答案：

【素養(yǎng)·探】在利用分數指數冪運算法則化簡時，常常用到核心素養(yǎng)中的數學運算，化簡式子或求值.本例中將式子變?yōu)?，試化簡該?【解析】原式=角度2條件求值【典例】已知，求的值.【思維·引】將已知的式子反復利用完全平方公式，將x的指數升高，再代入求值.【解析】由已知可得：x+x-1=（

）2-2=（

）2-2=3.+x-2=（x+x-1）2-2=32-2=7.原式=【類題·通】1.關于分數指數冪運算法則的應用首先要分析式子的特點，確定化簡的層次和順序，一般從里到外依次化為分數指數冪，其次先進行乘方運算，再進行同底數冪的運算.2.解決條件求值問題的步驟【習練·破】1.化簡=________.

【解析】答案：

2.已知x+x-1=4，（0<x<1），求【解析】因為x+x-1=4，所以（x+x-1）2=（x+x-1）2-4=12，因為0<x<1，所以x-x-1=-2，所以-x-2=（x+x-1）（x-x-1）=-8.又因為=x+x-1