歐氏幾何公理

歐氏幾何公理數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)01歷史影響建立過(guò)程建立動(dòng)機(jī)公理內(nèi)容歐氏生平目錄03050204基本信息歐氏幾何公理是歐幾里得建立的幾個(gè)幾何公理，也稱歐式幾何，它的建立，采用了分析與綜合的方法，不止是單獨(dú)一個(gè)命題的前提與結(jié)論之間的連結(jié)，而是所有幾何命題的連結(jié)成邏輯路。歷史影響歷史影響?古希臘大數(shù)學(xué)家歐幾里德是與他的巨著——《??幾何原本??》一起名垂千古的。這本書(shū)是世界上最著名、最完整而且流傳最廣的數(shù)學(xué)著作，也是歐幾里德最有價(jià)值的一部著作。在《原本》里，歐幾里德系統(tǒng)地總結(jié)了古代勞動(dòng)人民和學(xué)者們?cè)趯?shí)踐和思考中獲得的幾何知識(shí)，歐幾里德把人們公認(rèn)的一些事實(shí)列成定義和公理，以形式邏輯的方法，用這些定義和公理來(lái)研究各種??幾何??圖形的性質(zhì)，從而建立了一套從公理、定義出發(fā)，論證命題得到定理得??幾何學(xué)??論證方法，形成了一個(gè)嚴(yán)密的邏輯體系——幾何學(xué)。而這本書(shū)，也就成了歐式幾何的奠基之作。??兩千多年來(lái)，《幾何原本》一直是學(xué)習(xí)幾何的主要教材。??哥白尼??、??伽利略??、??笛卡爾??、??牛頓??等許多偉大的學(xué)者都曾學(xué)習(xí)過(guò)《??幾何原本??》，從中吸取了豐富的營(yíng)養(yǎng)，從而作出了許多偉大的成就。?公理內(nèi)容五條幾何公理六個(gè)定義五條一般公理公理內(nèi)容五條幾何公理1.過(guò)相異兩點(diǎn)，能作且只能作一直線（直線公理）。2.線段(有限直線)可以任意地延長(zhǎng)。3.以任一點(diǎn)為圓心、任意長(zhǎng)為半徑，可作一圓(圓公理)。4.凡是直角都相等(角公理)。5.兩直線被第三條直線所截，如果同側(cè)兩內(nèi)角和小于兩個(gè)直角，則兩直線則會(huì)在該側(cè)相交。?上述前三條公理是??尺規(guī)作圖??公理，用來(lái)定直線與圓。在紙面上用尺規(guī)劃出的任何直線與圓，按定義而言，都不是「真正」數(shù)學(xué)上的直線與圓。然而，歐氏似乎是說(shuō)：我們可以用尺規(guī)作出近似的圖形，以幫助我們想像真正的圖形，再配合正確的推理就夠了。??第四條公理比較不一樣，它好像是一個(gè)未證明的定理。事實(shí)上，它宣稱著：直角的不變性或空間的齊性(thehomogeneityofspace)。它規(guī)范了直角，為第五公理鋪路。?第五公理又叫做平行公理(theparallelaxiom)，因?yàn)樗葍r(jià)于：過(guò)直線外一點(diǎn)，可作且只可作一直線跟此直線平行。五條一般公理（a,b,c,d皆為正數(shù)）1.跟同一個(gè)量相等的兩個(gè)量相等；即若a=c且b=c，則a=b（等量代換公理）。2.等量加等量，其和相等；即若a=b且c=d，則a+c=b+d（等量加法公理）。3.等量減等量，其差相等；即若a=b且c=d，則a-c=b-d（等量減法公理）。4.完全疊合的兩個(gè)圖形是全等的（移形疊合公理）。5.全量大于分量，即a+b>a（全量大于分量公理）。六個(gè)定義事實(shí)上，歐氏《幾何原本》開(kāi)宗明義是由23個(gè)定義出發(fā)，接?著??才是十條幾何公理與一般公理。在23個(gè)定義中，首六個(gè)特別值得提出來(lái)討論：?1.點(diǎn)是沒(méi)有部分的(Apointisthatwhichhasnopart.)。?換言之，點(diǎn)只占有位置而沒(méi)有大小，即點(diǎn)的長(zhǎng)度d=0。這是修正畢氏學(xué)派“d>c”的失敗而得到的。然而，在談?wù)摼€段的長(zhǎng)度時(shí)，歐氏直接訴諸常識(shí)，根本不用這個(gè)定義，避開(kāi)了“由沒(méi)有長(zhǎng)度的點(diǎn)累積成有長(zhǎng)度的線段”之困局。許多人抱怨“點(diǎn)是沒(méi)有部分的”這句話難?于?理解，這是因?yàn)閷?duì)畢氏學(xué)派的研究綱領(lǐng)缺乏了解的緣故。?2.線段只有長(zhǎng)度而沒(méi)有寬度(Alineisbreadlesslength.)。3.線的極端是點(diǎn)(Theextremitiesofalinearepoints.)這表示線段是由點(diǎn)組成的并且線段只有長(zhǎng)度而沒(méi)有面積。4.直線是其組成點(diǎn)，均勻地直放?著?的線(Astraightlineisalinewhichliesevenlywiththepointsonitself.)5.面只有長(zhǎng)度與寬度(Asufaceisthatwhichhaslengthandbreathonly.建立過(guò)程建立過(guò)程?總之，歐氏吸取畢氏學(xué)派失敗的經(jīng)驗(yàn)，重新「分析」與「整理」既有的幾何知識(shí)，另辟路徑，改幾何本身來(lái)建立幾何（不用畢式經(jīng)驗(yàn)式的原子論，即使優(yōu)多諸斯已補(bǔ)全了畢氏學(xué)派的漏洞）并且采用公理化的手法，逐本探源，最后終於找到五條幾何公理與五條一般公理是歐氏的創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)過(guò)程。接著是「綜合」，利用10條公理配合優(yōu)多諸斯檢定法則、反證法（歸謬法）與??尺規(guī)作圖??，推導(dǎo)出所有的??幾何定理??，這是邏輯的證明過(guò)程。??因此，歐氏幾何的建立，采用了??分析與綜合??的方法。這不止是單獨(dú)一個(gè)命題的前提與結(jié)論之間的連結(jié)，而是所有幾何命題的連結(jié)成邏輯路，即整個(gè)幾何領(lǐng)域的全面之分析與綜合。??歐氏視10條公理為「顯明」的真理，從而所有幾何定理也都是真理。換言之，由源頭輸入真值(truthvalues)，那么沿著邏輯路，真值就流布于整個(gè)歐氏演繹系統(tǒng)。歐氏以「??朝生暮死??」之軀，竟然能作出永恒之事！美國(guó)女詩(shī)人米雷（E.ay,1892～1950）說(shuō)：?只有歐氏見(jiàn)過(guò)赤裸之美(Euclidalonehaslookedatbeautybare.)。歐氏生平歐氏生平?歐氏的生平不詳，只知他是??亞歷山大?(Alexandria)大學(xué)（世界上第一所大學(xué)）的數(shù)學(xué)教授，約紀(jì)元前300年編輯完成《??幾何原本??》。另外，歐氏流傳有兩個(gè)故事，其一是，有一位學(xué)生跟歐氏學(xué)習(xí)幾何，問(wèn)道：「學(xué)習(xí)幾何可以得到什么利益？」歐氏立刻令仆人拿三個(gè)錢(qián)幣打發(fā)這位學(xué)生離開(kāi)，因?yàn)樗霃淖非笳胬碇械玫嚼?，其二是??托勒密??(Ptolemy)國(guó)王覺(jué)得幾何很難，于是問(wèn)歐氏：「學(xué)習(xí)幾何有沒(méi)有皇家大道（即捷徑）？」歐氏回答說(shuō)：「通往幾何并沒(méi)有皇家大道。」(Thereisnoroyalroadtogeometry.)?建立動(dòng)機(jī)建立動(dòng)機(jī)?古希臘人對(duì)于經(jīng)驗(yàn)幾何知識(shí)的錘練，首由??泰利斯??發(fā)端，接著是畢氏學(xué)派提出「直觀性常識(shí)的幾何??原子論??」，假設(shè)點(diǎn)的長(zhǎng)度大于0，從而任何兩線段皆可共度。由此嘗試給幾何建立基礎(chǔ)：后來(lái)，終因不可共度線段的發(fā)現(xiàn)而破產(chǎn)。這讓??古希臘哲學(xué)家??堅(jiān)決地走向「知識(shí)必須再經(jīng)過(guò)邏輯論證」的道路。數(shù)學(xué)史家Szabo（詳見(jiàn)參考資料3）因而主張：不可共度線段的發(fā)現(xiàn)，是促使希臘幾何走上演繹形式的關(guān)鍵，其中歸謬法扮演著催生的作用，終于導(dǎo)致歐氏幾何的誕生。?此外，千百年來(lái)對(duì)歐氏建立幾何的動(dòng)機(jī)，作了許多猜測(cè)：(I)對(duì)畢氏學(xué)派失敗的回應(yīng)。?(II)為了堵住懷疑派(Sceptics)與詭辯派(Sophists)哲學(xué)家之口，因?yàn)樗麄兝谩笩o(wú)窮回溯法」(theinfiniteregressmethod)而論證說(shuō)：「為何知道甲？因?yàn)橐?；為何知道乙？因?yàn)楸弧瓫](méi)完沒(méi)了，所以我們無(wú)法知道甲?！菇Y(jié)論是：「我們一無(wú)所知，或至少我們無(wú)法確定