第六章-卡平方測驗課件

第六章卡平方(χ2)測驗1湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作6.1卡平方(χ2)的定義與分布2湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作

χ2的定義一：是指相互獨立的多個正態(tài)離差平方值的總和。若所研究的對象來自同一總體，則μi=μ，σi=σ,從而χ2分布圖形為一組具有不同自由度ν值的曲線。χ2值最小為0，最大為+∞，因而在坐標軸的右邊。附表6為χ2≥時的右尾概率表。

3湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作圖6.1

不同自由度的分布曲線4湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作若所研究的總體μ不知，而以樣本代替，則

χ2的定義二：用于次數資料(計數資料)分析的χ2公式：

χ2

值是多項ui2或(O－T)2/T

之和，具有可加性。5湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作6.2χ2在方差的同質性測驗中的應用6.2.1一個樣本方差與給定總體方差比較的假設測驗6.2.2幾個樣本方差的同質性測驗6湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作6.2.1一個樣本方差與給定總體方差

比較的假設測驗可用來測驗單個樣本方差s2所代表的總體方差和給定的方差值C是否有顯著差異，簡稱為一個樣本與給定總體方差的比較。在作兩尾測驗時有H0：σ2=C，對HA：σ2≠C。其顯著時H0將被否定。P73大于和小于7湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作［例6.1]硫酸銨施于水田表層試驗，得4個小區(qū)的稻谷產量為517、492、514、522(kg)，計得樣本方差為175.6(kg)2。現(xiàn)要測驗H0：σ2=50(kg)2對HA：σ2≠50(kg)2，α取0.05。8湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作查附表6，在ν=n-1=3時，χ2的臨界值為：現(xiàn)χ2=10.54>,在0.22～9.35的范圍之外，H0被否定。9湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作總體方差σ2的置信區(qū)間［例6.3］求列6.1資料總體σ2的95%的置信限。10湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作于是95%的置信限為：

56.3≤σ2≤2394.511湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作6.2.2幾個樣本方差的同質性測驗

假定有3個或3個以上樣本，每一樣本均可估計同一方差，則由χ2可測驗各樣本方差是否來自相同方差總體的假設，這稱為方差的同質性測驗(testforhomogeneityamongvariances)。12湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作這一測驗由Bartlett(1937)提出，故又稱為Bartlett測驗(Bartletttest)

假如有k個獨立的方差估計值：寫為H0：(k為樣本數)對HA：不全相等13湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作Bartlett

χ2值為：合并的方差為：14湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作如果算得的，便否定H0，表明這些樣本所屬總體方差是不同質的。15湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作

[例6.4]假定有3個樣本方差s12=4.2,s22=6.0,s32=3.1，各具有自由度，，，試測驗其是否同質。

假設H0：對HA：3個方差不全相等(這里的HA不能用不等號表示，因為如H0被否定，只能推論3者不相等而并不能確定屬于、、等情況的哪一種)。然后，在表6.1進行同質性測驗的計算：16湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作表6.1

3個方差同質性測驗的計算isi2lnsi214.2416.81.435085.7403226.0530.01.791768.9588033.11134.11.1314012.44540Σ2080.94.3582427.1445217湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作

由表6.1可得：18湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作

查附表5，當時，>0.744,P>0.05,接受H0，因此說明本例的3個方差估計值是同質性的。

實際應用上本例可不需再作C矯正，因為

=27.94960－27.14452=0.80508明顯很小，直觀已可判斷不會顯著。

19湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作6.3適合性測驗

6.3.1適合性χ2測驗的方法6.3.2次數分布的適合性測驗20湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作6.3.1適合性χ2測驗的方法適合性測驗(testforgoodness-of-fit):比較實驗數據與理論假設是否符合的假設測驗。現(xiàn)以玉米花粉粒碘染反應為例，予以說明：碘反應觀察次數(O)理論次數(T)O-T(O-T)2/T藍色3437(O1)3459.5(T1)-22.50.1463非藍色3482(O2)3459.5(T2)+22.50.1463總數6919691900.2926玉米花粉粒碘反應觀察次數與理論次數21湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作1、設立無效假設，即假設觀察次數與理論次數的差異由抽樣誤差所引起。本例H0：花粉粒碘反應比例為1:1與HA：花粉粒碘反應比例不成1:1。2、確定顯著水平α=0.05。3、在無效假設為正確的假設下，計算超過觀察χ2值的概率。試驗觀察的χ2值愈大，觀察次數與理論次數之間相差程度也愈大，兩者相符的概率就愈小。22湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作4、依所得概率值的大小，接受或否定無效假設。若實得，否定H0；若實得時，則H0被接受。χ2分布是連續(xù)的，而次數資料則是間斷的。由間斷性資料算得的χ2值有偏大的趨勢(尤其是在ν=1時)，需作連續(xù)性矯正。23湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作本例與理論次數相符，接受玉米F1代花粉粒碘反應比率為1:1的假設。查附表6，當ν=k-1=2-1=1時，，實得χ2=0.2798小于，所以接受H0。即認為觀察次數24湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作6.3.2次數分布的適合性測驗適合性測驗還經常用來測驗試驗數據的次數分布是否和某種理論分布相符，以推斷實際的次數分布究竟屬于哪一種分布類型。25湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作［例6.5］在大豆品種Richland田間考察單株粒重的變異是否符合正態(tài)分布?？疾閿祿w成次數分布表(如下)，組距為5g，該分布的次數n、平均數、標準差均列于表基部。假設H0：觀察分布符合理論分布，對HA：觀察分布不符合理論分布。26湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作計算各組的理論次數：理論次數=理論頻率(p)×總觀察次數(n)第1組理論次數=0.0195×229=4.527湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作理論次數=0.0276×229=6.3余類推，將計算結果列入表中：第2組28湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作單株產量次數(O)p理論次數(E)χ2組限(y)組中點0.5~5.537-26.43-2.0650.01954.51.395.5~10.585-21.43-1.6740.02776.30.2710.5~15.5137-16.43-1.2840.052512.02.0815.5~20.51818-11.43-0.8930.086319.80.1620.5~25.52332-6.43-0.5020.121927.90.6025.5~30.52841-1.43-0.1120.147733.81.5330.5~35.533373.570.2790.154535.40.0735.5~40.538258.570.6700.138631.71.4240.5~45.5432213.571.0600.106824.50.2645.5~50.5481918.571.4510.071216.30.4550.5~55.553623.571.8410.04059.31.1755.5~60.558628.572.2320.02014.60.4360.5~65.563333.572.6230.00841.90.6465.5~70.568138.573.0130.00141.00.00n=229=31.93s=12.80ν=14-3=11Χ2=10.47大豆單株粒重觀察分布與理論正態(tài)分布的適合性測驗29湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作查附表6，自由度為11時，χ2=19.675>10.47的概率P>0.05，觀察分布與理論分布無顯著差異，接受H0，說明大豆單株粒重的分布符合正態(tài)分布。自由度=14－1－2=11，因扣去組數的自由度1個，估計2個參數和的自由度2個。30湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作注意：1、總觀察次數n應較大，一般不小于50。2、分組數最好在5組以上。3、每組理論次數不宜太少，至少為5，尤其首尾各組。若組理論次數少于5，最好將相鄰組的次數合并為一組。31湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作6.3.3各種遺傳分離比例的適合性測驗

[例6.6]兩對等位基因遺傳試驗，如基因為獨立分配，則F2代的四種表現(xiàn)型在理論上應有9∶3∶3∶1的比率。有一水稻遺傳試驗，以稃尖有色非糯品種與稃尖無色糯性品種雜交，其F2代得下表結果。試檢查實際結果是否符合9∶3∶3∶1的理論比率。32湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作表F2代表型的觀察次數和根據9∶3∶3∶1算出的理論次數

表現(xiàn)型稃尖有色非糯稃尖有色糯稻稃尖無色非糯稃尖無色糯稻總數觀察次數(O)491769086743理論次數(T)417.94139.31139.3146.44743O－T73.06-63.31-49.3139.56033湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作

首先，按9∶3∶3∶1的理論比率算得各種表現(xiàn)型的理論次數T，如稃尖有色非糯稻T=743×(9/16)=417.94，稃尖有色糯稻T=743×(3/16)=139.31，…。

H0：稃尖和糯性性狀在F2的分離符合9∶3∶3∶1；HA：不符合9∶3∶3∶1。顯著水平：=0.05。然后計算值34湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作

因本例共有k=4組，故=k-1=3。查附表6，

,現(xiàn)實得

,所以否定H0，接受HA，即該水稻稃尖和糯性性狀在F2的實際結果不符合9∶3∶3∶1的理論比率。

這一情況表明，該兩對等位基因并非獨立遺傳，而可能為連鎖遺傳。35湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作6.4獨立性測驗

6.4.12×2表的獨立性測驗6.4.22×c表的獨立性測驗6.4.3r×c表的獨立性測驗36湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作χ2應用于獨立性測驗(testforindependence)，主要為探求兩個變數間是否獨立。這是次數資料的一種相關性研究。假設H0：兩個變數相互獨立，對HA：兩個變數彼此相關。當觀察的χ2<時，接受H0，即兩個變數相互獨立；當觀察的χ2≥時，否定H0，接受HA，即兩個變數相關。37湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作

應用進行獨立性測驗的無效假設是：H0：兩個變數相互獨立，對HA：兩個變數彼此相關。

計算過程:(1)將所得次數資料按兩個變數作兩向分組，排列成相依表；

(2)根據兩個變數相互獨立的假設，算出每一組格的理論次數；

(3)由

算得值。38湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作6.4.12×2表的獨立性測驗2×2相依表是指橫行和縱行皆分為兩組的資料。其ν=(2-1)(2-1)=1，計算的χ2值需作連續(xù)性矯正。［例6.7］調查經過種子滅菌處理與未經種子滅菌處理的小麥發(fā)生散黑穗病的穗數，得相依表如下，試分析種子滅菌與否和散黑穗病穗多少是否有關。39湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作處理項目發(fā)病穗數未發(fā)病穗數總數種子滅菌26(34.7)50(41.3)76種子未滅菌184(175.3)200(208.7)384總數210250460H0：種子滅菌與否和散黑穗病病穗多少無關；HA：種子滅菌與否和散黑穗病病穗多少有關。顯著水平α=0.05。測驗計算40湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作在H0為正確的假設下，對于11細格，由于它是屬于種子滅菌的，故種子作滅菌處理的概率為76/460；它又是屬于發(fā)病穗數的，發(fā)病穗數的概率為210/460。因此，任一經種子作滅菌處理而又發(fā)病的麥穗的概率為p11=(76/460)×(210/460)，因此格子11的理論次數為：T11=p11×n=(76/460)×(210/460)×460=34.741湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作用同樣的方法算出其余格子的理論次數，并將其寫入上表的括號中。42湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作查附表6，現(xiàn)實得故P<0.05，否定H0。即種子滅菌與否和散黑穗病發(fā)病高低有關，種子滅菌對防治小麥散黑穗病有一定效果。43湖北科技學院核技術與化學生物學院張規(guī)富制作6.4.22×c表的獨立性測驗

2×c表是指橫行分為兩組，縱行分為c≥3組的相依表資料。其ν=(2-1)(c-1)>1，故無需作連