福建寧德2022-2023學年高一下學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題含答案

寧德市2022－2023學年度第二學期期末高一質(zhì)量檢測數(shù)學試題本試卷有第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，考試時間120分鐘，滿分150分．注意事項：1．答題前，考生務必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫準考證號、姓名，考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號，姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應的題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；第Ⅱ卷用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.若復數(shù)（為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A. B. C.2 D.2.在△ABC中，D為線段AB上一點，且，則（）A B. C. D.3.設為兩個互斥事件，且，，則下列各式一定正確的是（）A. B.C. D.4.兩條異面直線與同一平面所成的角，不可能是（）A.兩個角都是直角 B.兩個角都是銳角C.兩個角都為0° D.一個角為0°，一個角為90°5.某學校高年級有300名男生，200名女生，現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法調(diào)查數(shù)學考試成績，抽取一個容量為60的樣本，男生平均成績?yōu)?10分，女生平均成績?yōu)?00分，那么可以推測高一年級學生的數(shù)學平均成績約為（）A.100分 B.105分 C.106分 D.110分6.設a，b是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則a⊥b D.若，則a⊥b7.位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20nmile的B處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救，甲船立即前往救援，同時把消息告知位于甲船南偏西，且與甲船相距10nmile的C處的乙船．乙船也立即朝著漁船前往營救，則＝（）A. B. C. D.8.甲、乙兩人組隊參加禁毒知識競賽，每輪比賽由甲、乙各答題一次，已知甲每輪答對的概率為，乙每輪答對的概率為．在每輪活動中，甲和乙答對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則（）A.在第一輪比賽中，恰有一人答對的概率為B.在第一輪比賽中，甲、乙都沒有答對的概率為C.在兩輪比賽中，甲、乙共答對三題的概率為D.在兩輪比賽中，甲、乙至多答對一題的概率為二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9.若復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的是（）A.z＝1＋i B. C.z的共軛復數(shù) D.z是方程x2＋2x＋2＝0的一個根10.若是任意的非零向量，則下列正確的是（）A.B.C.若，則D.若與共線且方向相同，則在上的投影向量為11.兩個班級，每班各自隨機選出10名學生測驗鉛球成績，以評估達標程度，測驗成績?nèi)缦拢▎挝唬簃）：則以下說法正確的是（）甲9.17.98.46.95.27.18.08.16.74.9乙8.88.57.37.16.78.49.08.7787.9A.乙班級的平均成績比甲班級的平均成績高B.乙班級的成績比甲班級的更加集中C.甲班級成績的第40百分位數(shù)是6.9D.若達標成績是7m，估計甲班級的達標率約為0.612.棱長為2的正方體中，為正方形的中心，，分別是棱，的中點，則下列選項正確的有（）AB.直線與平面所成角正弦值為C.三棱錐的外接球的半徑為D.過、、的平面截該正方體所得的截面形狀是六邊形第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應位置）13.復數(shù)，則z在復平面內(nèi)對應的點位于第______象限．14.一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2，圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為___________．15.已知O，H在△ABC所在的平面內(nèi)，若，，則______．16.已知平面內(nèi)兩個不同的單位向量與所成的角都為，則______；______．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知為平面向量，且．（1）若，且與垂直，求實數(shù)k的值；（2）若，且，求向量的坐標．18.如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別是A1B，CC1的中點．（1）求證：//平面ABC；（2）求證：MN⊥平面A1ABB1．19.我國是世界上嚴重缺水的國家，城市缺水問題較為突出．某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個合理的居民用水量標準x（單位：t），月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費．為了了解全市居民用水量分布情況，通過抽樣，獲得了100位居民某年的月均用水量（單位：t），將數(shù)據(jù)按照［3，4），［4，5），…，［8，9］分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）已知該市有60萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于7（單位：t）的人數(shù)；（3）若該市政府希望80%的居民每月的用水量不超過標準x（單位：t），估計x的值．20.一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，標號分別為1，2，3，4，從袋中不放回地隨機抽取兩次，每次取一球．記事件A：第一次取出的是2號球；事件B：兩次取出的球號碼之和為5．（1）寫出這個試驗樣本空間；（2）判斷事件A與事件B是否相互獨立，請說明理由；（3）兩次取出的號碼之和最可能是多少？請說明理由．21.已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．請從條件①、條件②中選擇一個條件作為已知，求：（1）A的度數(shù)：（2）若c＝1，求△ABC面積的取值范圍．條件①：；條件②：△ABC的面積．22.如圖1，平面四邊形ACBD滿足AB⊥CD，AB∩CD＝O，AO＝3，BO＝1，，．將三角形ABC沿著AB翻折到三角形ABE的位置，連接ED得到三棱錐E－ABD（如圖2）．（1）證明：AB⊥DE；（2）若平面ABE⊥平面ABD，M是線段DE上的一個動點，記∠ABM，∠BAM分別為，當取得最大值時，求二面角M－AB－D的余弦值．寧德市2022－2023學年度第二學期期末高一質(zhì)量檢測數(shù)學試題本試卷有第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，考試時間120分鐘，滿分150分．注意事項：1．答題前，考生務必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫準考證號、姓名，考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號，姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應的題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；第Ⅱ卷用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.若復數(shù)（為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的運算求出，即可得出答案．【詳解】，則z的虛部為2．故選：C．2.在△ABC中，D為線段AB上一點，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意，根據(jù)向量的線性運算求解即可.【詳解】∵D為線段AB上一點，且，∴，∴，∴，故選：C.3.設為兩個互斥事件，且，，則下列各式一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的含義判斷各選項即可.【詳解】因為為兩個互斥事件，，，所以，即，且.故選：B．4.兩條異面直線與同一平面所成的角，不可能是（）A.兩個角都是直角 B.兩個角都是銳角C.兩個角都為0° D.一個角為0°，一個角為90°【答案】A【解析】【分析】A選項，可推出兩直線平行，A不可能；BCD可舉出反例.【詳解】A選項，當兩個角均是直角時，兩直線平行，故不滿足異面，A不可能，B選項，如圖1，與平面所成角都時銳角，B可能，C選項，如圖2，與平面所成角都為，C可能，D選項，如圖3，直線與平面所成角為0°，直線與平面所成角為，D可能.故選：A5.某學校高年級有300名男生，200名女生，現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法調(diào)查數(shù)學考試成績，抽取一個容量為60的樣本，男生平均成績?yōu)?10分，女生平均成績?yōu)?00分，那么可以推測高一年級學生的數(shù)學平均成績約為（）A.100分 B.105分 C.106分 D.110分【答案】C【解析】【分析】求出應抽取男生和女生的人數(shù)，根據(jù)按比例分配分層抽樣總樣本平均數(shù)的公式計算即可.【詳解】由題意，應抽取男生（人），女生（人），所以推測高一年級學生的數(shù)學平均成績約為（分）．故選：C.6.設a，b是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則a⊥b D.若，則a⊥b【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間線線、線面、面面關系逐一判斷可得選項.【詳解】對于A，若，則可能異面，故A錯誤；對于B，若，則可能有，故B錯誤；對于C，若，則可能有a∥b，故C錯誤；對于D，若，則，又，則a⊥b，故D正確.故選：D.7.位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20nmile的B處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救，甲船立即前往救援，同時把消息告知位于甲船南偏西，且與甲船相距10nmile的C處的乙船．乙船也立即朝著漁船前往營救，則＝（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由余弦定理求得，進而由正弦定理求得答案．【詳解】由題意，由余弦定理得，，∴，由正弦定理得，，即，解得．故選：A．8.甲、乙兩人組隊參加禁毒知識競賽，每輪比賽由甲、乙各答題一次，已知甲每輪答對的概率為，乙每輪答對的概率為．在每輪活動中，甲和乙答對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則（）A.在第一輪比賽中，恰有一人答對的概率為B.在第一輪比賽中，甲、乙都沒有答對的概率為C.在兩輪比賽中，甲、乙共答對三題的概率為D.在兩輪比賽中，甲、乙至多答對一題的概率為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)獨立事件的概率乘法公式，即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】在第一輪比賽中，甲對乙不對的概率為，乙對甲不對的概率為，甲乙都不對的概率為，所以恰有一人答對的概率為，故AB均錯誤，在第一輪比賽中，答對一道題的概率為，答對兩道題的概率為，答對0道題的概率為，故在兩輪比賽中，甲、乙共答對三題的情況為：第一輪答對1道第二輪答對2道和第一輪答對2道第二輪答對1道，故概率為，在兩輪比賽中，甲、乙答對0道題的概率為，答對1道題的概率為，所以甲、乙至多答對一題的概率為，故C錯，D正確,故選：D二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9.若復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的是（）A.z＝1＋i B. C.z的共軛復數(shù) D.z是方程x2＋2x＋2＝0的一個根【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意，利用復數(shù)代數(shù)形式的運算化簡，然后對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】設，則，因為，即，所以，解得，所以，，，故AB正確，C錯誤；將代入方程可得，故D錯誤；故選：AB10.若是任意的非零向量，則下列正確的是（）AB.C.若，則D.若與共線且方向相同，則在上的投影向量為【答案】AD【解析】【分析】由向量數(shù)乘運算的概念可判斷A；均表示一個實數(shù)，均表示向量，可判斷B；若，可得，可判斷C；由投影向量的概念可判斷D.【詳解】由向量數(shù)乘運算的概念可知，，故A正確；均表示一個實數(shù)，均表示向量，而的方向不一定相同，故B錯誤；若，則，即，則，不一定有，故C錯誤；若與共線且方向相同，則，則在上的投影向量為，故D正確.故選：AD.11.兩個班級，每班各自隨機選出10名學生測驗鉛球成績，以評估達標程度，測驗成績?nèi)缦拢▎挝唬簃）：則以下說法正確的是（）甲9.17.98.46.95.27.1808.16.74.9乙8.88.57.37.16.78.49.08.77.87.9A.乙班級的平均成績比甲班級的平均成績高B.乙班級的成績比甲班級的更加集中C.甲班級成績的第40百分位數(shù)是6.9D.若達標成績是7m，估計甲班級的達標率約為0.6【答案】ABD【解析】【分析】計算出甲班級，乙班級的平均成績，可判斷A；計算出甲班級，乙班級成績的方差，可判斷B；利用百分位數(shù)概念求解可判斷C；甲班級選出的10名學生有6人達標，可估計甲班級的達標率約為0.6，可判斷D.【詳解】甲班級的平均成績，乙班級的平均成績，，故A正確；甲班級成績的方差，乙班級成績的方差，，故B正確；甲班級的成績由小到大排列：4.9，5.2，6.7，6.9，7.1，7.9，8.0，8.1，8.4，9.1，∵10×40%＝4，∴甲班級成績的第40百分位數(shù)是，故C錯誤；若達標成績是7m，甲班級選出的10名學生有6人達標，所以，估計甲班級的達標率約為0.6，故D正確.故選：ABD.12.棱長為2的正方體中，為正方形的中心，，分別是棱，的中點，則下列選項正確的有（）A.B.直線與平面所成角的正弦值為C.三棱錐的外接球的半徑為D.過、、的平面截該正方體所得的截面形狀是六邊形【答案】AC【解析】【分析】利用勾股定理逆定理判斷A，取的中點，連接、，則為直線與平面所成角，即可判斷B，三棱錐的外接球即為以、、為長、寬、高的長方體的外接球，即可判斷C，作出截面圖，即可判斷D.【詳解】對于A：因為，，，所以，即，故A正確；對于B：取的中點，連接、，由是棱的中點，所以，又平面，所以平面，所以為直線與平面所成角，所以，即直線與平面所成角的正弦值為，故B錯誤；對于C：因為，，，所以三棱錐的外接球即為以、、為長、寬、高的長方體的外接球，長方體的體對角線即為外接球的直徑，設外接球的半徑為，則，所以，故三棱錐的外接球的半徑為，即C正確；對于D：延長交的延長線于點，交的延長線于點，連接交于點，延長交于點，連接交于點，連接、，則五邊形即為過、、的平面截該正方體所得的截面，其中，，所以，，取的中點，連接，則，所以，所以，即為靠近的四等分點，又，所以，所以，即為靠近的四等分點，又，所以，所以，即為靠近的四等分點，故D錯誤；故選：AC第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應位置）13.復數(shù)，則z在復平面內(nèi)對應的點位于第______象限．【答案】一【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算即可化簡復數(shù)，進而得對應點，即可求解.【詳解】由，z在復平面內(nèi)對應點為，故點在第一象限，故答案為：一14.一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2，圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求得圓錐的底面圓的半徑，結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式即可求解．【詳解】設圓錐的底面半徑為r，由題意可得：，解得，所以圓錐的表面積為．故答案為：.15.已知O，H在△ABC所在平面內(nèi)，若，，則______．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)外心的性質(zhì)可得，結(jié)合向量的線性運算可得與共線，即可由數(shù)量積的定義求解.【詳解】根據(jù)可知為△ABC的外心，取中點為，連接,則,由,所以與共線，,故答案為：016.已知平面內(nèi)兩個不同的單位向量與所成的角都為，則______；______．【答案】①.##②.1【解析】【分析】根據(jù)題意，由平面向量的模長公式以及夾角公式列出方程，然后代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為單位向量與所成的角都為，所以，，即，所以，，則可得是方程的兩根，同理可得，，，即，所以，，則可得是方程的兩根，又因為是兩個不同的單位向量，所以，，所以，，則，.故答案為：；.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知為平面向量，且．（1）若，且與垂直，求實數(shù)k的值；（2）若，且，求向量的坐標．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用向量運算的坐標表示，向量垂直的坐標表示列出方程，求解作答.（2）利用向量共線設出的坐標，利用坐標求模列式計算作答.【小問1詳解】因為，則，因為與垂直，于是，即，解得.所以．【小問2詳解】由，設，而，則，解得，所以或．18.如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別是A1B，CC1的中點．（1）求證：//平面ABC；（2）求證：MN⊥平面A1ABB1．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設AB的中點為D，連接MD，CD，由線面垂直的判定定理可證；（2）由線面垂直的判定定理先得CD⊥平面A1ABB1，再由（1）可證.【小問1詳解】設AB的中點為D，連接MD，CD．因為M，D分別為A1B，AB的中點，所以．又因為三棱柱ABC－A1B1C1為正三棱柱且N為CC1的中點，所以又所以，所以四邊形CDMN是平行四邊形，所以．又因為平面ABC，平面ABC，所以//平面ABC．【小問2詳解】因為三棱柱ABC－A1B1C1為正三棱柱，所以A1A⊥平面ABC，又因為平面ABC，所以A1A⊥CD．因為D為AB的中點且△ABC為等邊三角形，所以CD⊥AB．平面A1ABB1，平面A1ABB1，A1A∩AB＝A，所以CD⊥平面A1ABB1，又因為，所以MN⊥平面A1ABB1．19.我國是世界上嚴重缺水的國家，城市缺水問題較為突出．某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個合理的居民用水量標準x（單位：t），月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費．為了了解全市居民用水量分布情況，通過抽樣，獲得了100位居民某年的月均用水量（單位：t），將數(shù)據(jù)按照［3，4），［4，5），…，［8，9］分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）已知該市有60萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于7（單位：t）的人數(shù)；（3）若該市政府希望80%的居民每月的用水量不超過標準x（單位：t），估計x的值．【答案】（1）0.35（2）15（萬）（3）x＝7.25【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1即可求解，（2）根據(jù)頻率乘以總數(shù)即可求解，（3）根據(jù)頻率之和為0.8即可求解.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可得，解得【小問2詳解】由頻率分布直方圖知，月均用水量不低于7噸的頻率為由此估計全市60萬居民中月均用水量不低于7噸的人數(shù)為（萬）．【小問3詳解】因為前四組的頻率之和為又前五組的頻率之和為所以．由，解得因此，估計月用水量標準為時，的居民每月的用水量不超過標準．20.一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，標號分別為1，2，3，4，從袋中不放回地隨機抽取兩次，每次取一球．記事件A：第一次取出的是2號球；事件B：兩次取出的球號碼之和為5．（1）寫出這個試驗的樣本空間；（2）判斷事件A與事件B是否相互獨立，請說明理由；（3）兩次取出的號碼之和最可能是多少？請說明理由．【答案】（1）答案見解析（2）事件A與事件B是相互獨立，理由見解析（3）兩次取出號碼之和最有可能是5，理由見解析【解析】【分析】（1）用數(shù)組表示可能的結(jié)果,即可得出試驗樣本空間；（2）利用獨立事件的定義判斷；（3）兩次取出的號碼之和的有：3，4，5，6，7，求出對應的概率比較即可得出答案．【小問1詳解】用數(shù)組表示可能的結(jié)果，表示第一次抽到球的標號，表示第二次抽到球的標號，則試驗樣本空間為．【小問2詳解】，，．所以．因為，所以事件A與事件B是相互獨立．【小問3詳解】兩次取出的號碼之和的有：3，4，5，6，7．分別記作事件：C，D，E，F(xiàn)，G．則．．因．所以兩次取出號碼之和最有可能5．21.已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．請從條件①、條件②中選擇一個條件作為已知，求：（1）A的度數(shù)：（