高中數(shù)學(xué)矩陣與變換新人教選修

高中數(shù)學(xué)矩陣與變換課件新人教選修1第1頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

通過(guò)幾何變換討論二階矩陣的乘法及性質(zhì)、逆矩陣和矩陣的特征向量，并以變換和映射的觀點(diǎn)理解解線性方程組的意義，初步展示矩陣應(yīng)用的廣泛性。主要內(nèi)容2第2頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.1二階矩陣與平面向量2.2幾種常見(jiàn)的平面變換2.3變換的復(fù)合與矩陣的乘法2.4逆矩陣與逆變換2.5特征值與特征向量2.6矩陣的簡(jiǎn)單應(yīng)用

具體內(nèi)容3第3頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定位

低起點(diǎn)——以初中數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)；低維度——以二階矩陣為研究對(duì)象；形→數(shù)——以(幾何圖形)變換研究二階矩陣。意圖

在基本思想上對(duì)矩陣、變換等有一個(gè)初步了解，對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)和工作打下基礎(chǔ)。

本專(zhuān)題的定位和意圖4第4頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月主要數(shù)學(xué)思想（1）數(shù)學(xué)化思想；（2）數(shù)學(xué)建模；（3）數(shù)形結(jié)合的思想；（4）算法思想。重點(diǎn)

通過(guò)幾何圖形變換，學(xué)習(xí)二階矩陣的基本概念、性質(zhì)和思想。難點(diǎn)

切變變換，逆變換(矩陣)，特征值與特征向量。本專(zhuān)題重點(diǎn)、難點(diǎn)及主要數(shù)學(xué)思想5第5頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.1二階矩陣與平面向量2.2幾種常見(jiàn)的平面變換2.3變換的復(fù)合與矩陣的乘法2.4逆矩陣與逆變換2.5特征值與特征向量2.6矩陣的簡(jiǎn)單應(yīng)用具體內(nèi)容解析6第6頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.1二階矩陣與平面向量2.在本章中點(diǎn)和向量不加區(qū)分.如:1.本專(zhuān)題研究的矩陣是二階矩陣,對(duì)高階矩陣只是要求學(xué)生初步了解.二階矩陣如:兩行兩列7第7頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.1二階矩陣與平面向量3.矩陣的概念——從表、網(wǎng)絡(luò)圖、坐標(biāo)平面上的點(diǎn)（向量）、生活實(shí)例等引出.即在大量舉例的基礎(chǔ)上引出矩陣的概念和表示方法.如:某公司負(fù)責(zé)從兩個(gè)礦區(qū)向三個(gè)城市送煤：從甲礦區(qū)向城市A,B,C送煤的量分別是200萬(wàn)噸、240萬(wàn)噸、160萬(wàn)噸；從乙礦區(qū)向城市A,B,C送煤的量分別是400萬(wàn)噸、360萬(wàn)噸、820萬(wàn)噸。

城市A城市B城市C甲礦區(qū)

乙礦區(qū)8第8頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.1二階矩陣與平面向量4.矩陣通常用大寫(xiě)黑體字母表示.如;矩陣A,行矩陣和列矩陣通常用希臘字母α、β等表示.5.兩個(gè)矩陣的行數(shù)與列數(shù)分別相等,并且對(duì)應(yīng)位置的元素也分別相等時(shí)兩矩陣相等.6.二階矩陣與列向量的乘法法則為:9第9頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.1二階矩陣與平面向量7.強(qiáng)化學(xué)生對(duì)二階矩陣與平面列向量乘法的幾何意義理解.使他們認(rèn)識(shí)并理解矩陣是向量集合到向量集合的映射,為后面學(xué)習(xí)幾種常見(jiàn)的幾何變換打下基礎(chǔ).表示的幾何變換為:縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍.8.二元一次方程組可以表示為系數(shù)矩陣10第10頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.2幾種常見(jiàn)的平面變換1.恒等變換矩陣(單位矩陣)為E:2.恒等變換是指對(duì)平面上任何一點(diǎn)(向量)或圖形施以矩陣對(duì)應(yīng)的變換,都把自己變?yōu)樽约?11第11頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.2幾種常見(jiàn)的平面變換3.伸壓變換矩陣是指將圖形作沿x軸方向伸長(zhǎng)或壓縮,或沿y軸方向伸長(zhǎng)或壓縮的變換矩陣.伸壓變換不是簡(jiǎn)單地把平面上的點(diǎn)(向量)“向下”壓,而是向x軸或y軸方向壓縮.12第12頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.2幾種常見(jiàn)的平面變換4.反射變換矩陣是指將平面圖形變?yōu)殛P(guān)于定直線或定點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的平面圖形的變換矩陣.13第13頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.2幾種常見(jiàn)的平面變換5.一般地,二階非零矩陣對(duì)應(yīng)的變換把直線變成直線.這種把直線變?yōu)橹本€的變換叫做線性變換.或點(diǎn)14第14頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.2幾種常見(jiàn)的平面變換6.旋轉(zhuǎn)變換矩陣是指將平面圖形圍繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ的變換矩陣.其中θ稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)角,點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心.15第15頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.2幾種常見(jiàn)的平面變換16第16頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.2幾種常見(jiàn)的平面變換7.投影變換矩陣是指將平面圖形投影到某條直線(或某個(gè)點(diǎn))上的矩陣,相應(yīng)的變換為投影變換.7.投影變換矩陣是映射,但不是一一映射.17第17頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.2幾種常見(jiàn)的平面變換8.切變變換矩陣是指類(lèi)似于對(duì)紙牌實(shí)施的變換矩陣.18第18頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.2幾種常見(jiàn)的平面變換9.切變變換矩陣把平面上的點(diǎn)P(x,y)沿x軸方向平移個(gè)單位.10.研究平面上的多邊形或直線在矩陣的變換作用后形成的圖形時(shí),只需考察頂(端)點(diǎn)的變化結(jié)果即可.19第19頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月旋轉(zhuǎn)矩陣20第20頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月21第21頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3變換的復(fù)合與矩陣的乘法1.矩陣乘法的法則是:2.矩陣乘法MN的幾何意義為對(duì)向量連續(xù)實(shí)施的兩次幾何變換(先TN,后TM)的復(fù)合變換.3.矩陣乘法不滿(mǎn)足交換率,這可能是學(xué)生第一次遇到乘法不滿(mǎn)足交換率的情況.此時(shí),我們可以從幾何變換角度進(jìn)一步明確乘法一般不滿(mǎn)足交換率,在適當(dāng)時(shí)候,有些特殊幾何變換(如兩次連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換)滿(mǎn)足交換率.22第22頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月23第23頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月24第24頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月25第25頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3變換的復(fù)合與矩陣的乘法4.要求學(xué)生從幾何變換角度理解AB.5.要求學(xué)生從幾何變換角度理解矩陣乘法不滿(mǎn)足銷(xiāo)去率.26第26頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月27第27頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月28第28頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3變換的復(fù)合與矩陣的乘法6.有關(guān)轉(zhuǎn)移矩陣.假設(shè)某市的天氣分為晴和陰兩種狀態(tài),若今天晴,則明天晴的概率為,陰的概率為,若今天陰則明天晴的概率為,陰的概率為,這些概率可以通過(guò)觀察某市以往幾年每天天氣的變化趨勢(shì)來(lái)確定,通常將用矩陣來(lái)表示的這種概率叫做轉(zhuǎn)移矩陣概率,對(duì)應(yīng)的矩陣為轉(zhuǎn)移矩陣,而將這種以當(dāng)前狀態(tài)來(lái)預(yù)測(cè)下一時(shí)段不同狀態(tài)的概率模型叫做馬爾可夫鏈,如果清晨天氣預(yù)報(bào)報(bào)告今天陰的概率為,那么明天的天氣預(yù)報(bào)會(huì)是什么?后天呢?29第29頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3變換的復(fù)合與矩陣的乘法30第30頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3變換的復(fù)合與矩陣的乘法31第31頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3變換的復(fù)合與矩陣的乘法7.轉(zhuǎn)移矩陣每列的元素的和應(yīng)該為1,否則做乘法時(shí),容易出問(wèn)題.32第32頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.4逆變換與逆矩陣2．課文從“走過(guò)去”、“走回來(lái)”的生動(dòng)形象的話(huà)語(yǔ)中引入了逆矩陣和逆變換．這樣安排讓學(xué)生在輕松氛圍中掌握“找到回家的路”的本質(zhì)是已知矩陣A，能否找到一個(gè)矩陣B，使得連續(xù)進(jìn)行的兩次變換的結(jié)果與恒等變換的結(jié)果相同．也便于學(xué)生更好的理解逆矩陣，從而為例1的順利解決打下基礎(chǔ)．3．例1的設(shè)計(jì)起著承上啟下的作用，所舉的幾個(gè)例子也是學(xué)生熟知的，學(xué)生可以從幾何變換的角度借助直觀找到答案．所以，例1的目的在于幫助學(xué)生從幾何的角度理解逆矩陣的意義，并為后續(xù)學(xué)習(xí)積累豐富的感性認(rèn)識(shí)．1.對(duì)于二階矩陣A,B,若有AB=BA=E,則稱(chēng)A是可逆的,B稱(chēng)為A的逆矩陣.33第33頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.4逆變換與逆矩陣4．既然有些矩陣存在逆矩陣，那么，什么樣的矩陣存在逆矩陣呢？課本從映射角度給出解釋?zhuān)尦橄蟮膯?wèn)題更貼近學(xué)生實(shí)際．5．矩陣的行列式為,則如果則矩陣存在逆矩陣.6.矩陣是否可逆的判斷

34第34頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.4逆變換與逆矩陣7.逆矩陣的求解．

8.矩陣的逆矩陣為

35第35頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.4逆變換與逆矩陣9.“先穿襪子后穿鞋”“先脫鞋子后脫襪子”解決了學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)的認(rèn)知障礙．學(xué)生可以借助于此更好地理解公式（AB）-1=B-1A-1．

10．新教材的螺旋上升體系隨處可見(jiàn)，課本在本節(jié)中就通過(guò)證明命題“已知A，B，C為二階矩陣，且AB=AC，若矩陣A存在逆矩陣，則B=C．”而既做到前后章節(jié)間的呼應(yīng)，又要求學(xué)生會(huì)用逆矩陣的知識(shí)解釋二階矩陣的乘法何時(shí)滿(mǎn)足消去率．11.逆矩陣與二元一次方程組密切相關(guān)，用逆矩陣的知識(shí)理解二元一次方程組的求解過(guò)程是為了讓學(xué)生更好的認(rèn)識(shí)兩者，理解它們間的相互為用、相輔相成.36第36頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.4逆變換與逆矩陣12.37第37頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.4逆變換與逆矩陣12.AX=B

X=A-1B13.AXC=B

X=A-1BC-1

14.38第38頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.4逆變換與逆矩陣15.用二階矩陣和行列式研究二元一次方程組的解的情況并不比消元法優(yōu)越多少.但是,當(dāng)方程組中的未知元很多時(shí),矩陣就變成了研究它的一個(gè)強(qiáng)有力的工具.39第39頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.5特征值與特征向量1.在本節(jié)開(kāi)始部分，課本安排了兩個(gè)學(xué)生熟知的伸壓變換，并給出了變換前后的圖形，其目的在于讓學(xué)生借助于感性理解在矩陣的作用下某些向量的“不變性”，從而為學(xué)生學(xué)習(xí)特征值和特征向量打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)．2.3.將矩陣的特征值與特征向量概念轉(zhuǎn)換成矩陣與列向量的乘法表示來(lái)理解，其目的在于引出矩陣的特征多項(xiàng)式．課本沒(méi)有對(duì)特征多項(xiàng)式作展開(kāi)討論，其意圖是僅僅讓學(xué)生將之作為一個(gè)工具．40第40頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.5特征值與特征向量4.5.41第41頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.5特征值與特征向量42第42頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.5特征值與特征向量6.一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)著多個(gè)特征向量.7.有了特征值和特征向量的知識(shí),我們就可以方便地計(jì)算多次變換的結(jié)果.43第43頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.5特征值與特征向量44第44頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.5特征值與特征向量投影變換45第45頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.6矩陣的簡(jiǎn)單應(yīng)用1.只要求學(xué)生對(duì)高階矩陣有一個(gè)感性認(rèn)識(shí).2.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),讓學(xué)生了解到矩陣來(lái)源于實(shí)際生活需要.3.課本介紹了矩陣在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用,也介紹了它在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域、密碼學(xué)領(lǐng)域、生物學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用.46第46頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.6矩陣的簡(jiǎn)單應(yīng)用47第47頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.6矩陣的簡(jiǎn)單應(yīng)用48第48頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.6矩陣的簡(jiǎn)單應(yīng)用49第49頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.1二階矩陣與平面向量2.2幾種常見(jiàn)的平面變換2.3變換的復(fù)合與矩陣的乘法2.4逆矩陣與逆變換2.5特征值與特征向量2.6矩陣的簡(jiǎn)單應(yīng)用

學(xué)習(xí)總結(jié)報(bào)告主要內(nèi)容50第50頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月教學(xué)建議51第51頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.本專(zhuān)題只對(duì)具體的二階方陣加以討論,而不討論一般m×n階矩陣以及(aij)形式的矩陣.教學(xué)建議2.矩陣的引入要從具體的實(shí)例開(kāi)始,通過(guò)具體的實(shí)例讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到,某些幾何變換可以用矩陣表示,豐富學(xué)生對(duì)矩陣幾何意義的理解,并引導(dǎo)學(xué)生用映射的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)矩陣,解線性方程組.不提倡先講矩陣,后講變換.3.要求從圖形的變換直觀地理解矩陣的乘法,并通過(guò)具體的實(shí)例讓學(xué)生理解矩陣乘法的運(yùn)算率.52第52頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.在新課講解過(guò)程中適當(dāng)?shù)貜?fù)習(xí)映射和一