高中數(shù)學人教A版余弦定理的應用

高一年級數(shù)學余弦定理的應用知識回顧余弦定理：

三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.余弦定理：

余弦定理：余弦定理的推論：

余弦定理：余弦定理的推論：

每個等式中含有同一個三角形中的三條邊和一個角共四個元素，余弦定理：余弦定理的推論：

每個等式中含有同一個三角形中的三條邊和一個角共四個元素，知三求一.

余弦定理及其推論應用：

余弦定理及其推論知三求一應用：

余弦定理及其推論解三角形知三求一應用：

知三求一：

三條邊及一個角知三求一：

三條邊及一個角已知三條邊知三求一：

三條邊及一個角已知三條邊求角知三求一：

三條邊及一個角已知三條邊

CBAabc？求角知三求一：

三條邊及一個角已知三條邊求角

CBAabc？余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個角已知三條邊解三角形求角

CBAabc？余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個角已知三條邊已知兩條邊及一個角解三角形求角余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個角已知三條邊已知兩條邊及一個角解三角形求角求邊余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個角已知三條邊已知兩條邊及一個角已知兩邊及其夾角求邊解三角形求角余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個角已知三條邊已知兩條邊及一個角

CBAabc？已知兩邊及其夾角求邊解三角形求角余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個角已知三條邊已知兩條邊及一個角

CBAabc？已知兩邊及其夾角求邊解三角形求角余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個角已知三條邊已知兩條邊及一個角已知兩邊及其夾角求邊解三角形求角余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個角已知三條邊已知兩條邊及一個角已知兩邊及其夾角求邊解三角形求角已知兩邊及一邊對角余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個角已知三條邊已知兩條邊及一個角已知兩邊及其夾角求邊解三角形求角已知兩邊及一邊對角

CBAabc？余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個角已知三條邊已知兩條邊及一個角已知兩邊及其夾角求邊解三角形求角已知兩邊及一邊對角

CBAabc？余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個角已知三條邊已知兩條邊及一個角已知兩邊及其夾角求邊解三角形求角已知兩邊及一邊對角余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個角已知三條邊已知兩條邊及一個角已知兩邊及其夾角求邊解三角形求角已知兩邊及一邊對角余弦定理余弦定理的推論知三求一：

三條邊及一個角已知三條邊已知兩條邊及一個角已知兩邊及其夾角求邊解三角形求角已知兩邊及一邊對角余弦定理推論余弦定理的推論例題解析

已知三條邊，求解三角形中的問題：

已知三條邊，求解三角形中的問題：

例

在△ABC中，已知，，，

求這個三角形中最小的內角.

已知三條邊，求解三角形中的問題：

例

在△ABC中，已知，，，

求這個三角形中最小的內角.

ABCcba

已知三條邊，求解三角形中的問題：

例

在△ABC中，已知，，，

求這個三角形中最小的內角.

ABCcba已知三條邊，求解三角形中的問題：思路：

已知a，b，c最小內角？已知三條邊，求解三角形中的問題：

思路：

已知a，b，c求角余弦定理的推論最小內角已知三條邊，求解三角形中的問題：

思路：

已知a，b，c求角余弦定理的推論求出三個角比較最小內角已知三條邊，求解三角形中的問題：

思路：

已知a，b，c求角余弦定理的推論求出三個角比較最小內角確定最小內角大邊對大角已知三條邊，求解三角形中的問題：

思路：

已知a，b，c求角余弦定理的推論求出三個角比較確定最小內角大邊對大角最小內角余弦定理的推論

已知三條邊，求解三角形中的問題：

解：因為在△ABC中，，，，

已知三條邊，求解三角形中的問題：

解：因為在△ABC中，，，，

所以

已知三條邊，求解三角形中的問題：

解：因為在△ABC中，，，，

所以

由三角形中“大邊對大角”可知：

已知三條邊，求解三角形中的問題：

解：因為在△ABC中，，，，

所以

由三角形中“大邊對大角”可知：

已知三條邊，求解三角形中的問題：

解：因為在△ABC中，，，，

所以

由三角形中“大邊對大角”可知：

因此△ABC中的最小內角為B.

已知三條邊，求解三角形中的問題：

由余弦定理的推論，得

已知三條邊，求解三角形中的問題：

由余弦定理的推論，得

已知三條邊，求解三角形中的問題：

由余弦定理的推論，得

已知三條邊，求解三角形中的問題：

由余弦定理的推論，得

已知三條邊，求解三角形中的問題：

由余弦定理的推論，得

已知三條邊，求解三角形中的問題：

由余弦定理的推論，得

已知三條邊，求解三角形中的問題：

因為在△ABC中，

已知三條邊，求解三角形中的問題：

因為在△ABC中，

所以

已知三條邊，求解三角形中的問題：

因為在△ABC中，

所以

即△ABC的最小內角是

小結：

已知三條邊求角

小結：

已知三條邊求角余弦定理的推論

小結：

已知三條邊求角余弦定理的推論大邊對大角

小結：

已知三條邊求角大邊對大角角的范圍余弦定理的推論

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

例

在△ABC中，，，銳角C滿足求B(精確到).

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

例

在△ABC中，，，銳角C滿足求B(精確到).

ACBbca

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

例

在△ABC中，，，銳角C滿足求B(精確到).

ACBbca？已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

思路：

已知a，b，sinC求B？已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

思路：

已知a，b，sinC求B求c已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

思路：

已知a，b，sinC求B求c余弦定理的推論已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

思路：

已知a，b，sinC求B求c余弦定理的推論余弦定理已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

思路：

已知a，b，sinC求Ba，b，cosC求c余弦定理的推論余弦定理已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

思路：

已知a，b，sinC求Ba，b，cosC求c余弦定理余弦定理的推論

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

解：因為且C為銳角，

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

解：因為且C為銳角，

所以

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

解：因為且C為銳角，

所以

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

由余弦定理，得

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

由余弦定理，得

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

由余弦定理，得

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

由余弦定理，得

所以

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

由余弦定理的推論，得

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

由余弦定理的推論，得

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

由余弦定理的推論，得

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

由余弦定理的推論，得

因為在△ABC中，

已知兩邊及其夾角，求解三角形中的問題：

由余弦定理的推論，得

因為在△ABC中，

利用計算器，可得

小結：

已知兩邊及其夾角的正弦值求角

小結：

已知兩邊及其夾角的正弦值求角

小結：

已知兩邊及其夾角的正弦值兩邊及其夾角的余弦值求角已知兩邊及其夾角的正弦值兩邊及其夾角的余弦值求角求邊余弦定理

小結：

小結：

已知兩邊及其夾角的正弦值兩邊及其夾角的余弦值求角求邊余弦定理余弦定理的推論

小結：

已知兩邊及其夾角的正弦值兩邊及其夾角的余弦值求角求邊角的范圍決定正負余弦定理余弦定理的推論

小結：

已知兩邊及其夾角的正弦值兩邊及其夾角的余弦值求角求邊余弦定理余弦定理的推論角的范圍決定正負角的范圍

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

例

在△ABC中，已知，，，解這個三角形(邊長精確到1cm，角度精確到).

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

例

在△ABC中，已知，，，解這個三角形(邊長精確到1cm，角度精確到).

ACBbca

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

例

在△ABC中，已知，，，解這個三角形(邊長精確到1cm，角度精確到).

ACBbca？？？已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

思路：

已知a，b，A解三角形？已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

思路：

解三角形余弦定理已知a，b，A已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

思路：

關于c的方程余弦定理解三角形已知a，b，A已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

思路：

求c關于c的方程解三角形余弦定理求解方程已知a，b，A已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

思路：

關于c的方程解三角形余弦定理余弦定理的推論求解方程求c已知a，b，A已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

思路：

求B，C關于c的方程解三角形余弦定理余弦定理的推論求解方程求c已知a，b，A

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

解：由余弦定理，得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

解：由余弦定理，得

所以

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

解：由余弦定理，得

所以

即

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

解：由余弦定理，得

所以

即

可得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

解：由余弦定理，得

所以

即

可得即

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

解：由余弦定理，得

所以

即

可得即

經(jīng)檢驗，滿足題意.

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(1)當時，

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(1)當時，由余弦定理的推論，得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(1)當時，由余弦定理的推論，得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(1)當時，由余弦定理的推論，得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(1)當時，由余弦定理的推論，得

因為在△ABC中，

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(1)當時，由余弦定理的推論，得

因為在△ABC中，

利用計算器，可得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(1)由，得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(1)由，得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(1)由，得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(2)當時，同理可得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(2)當時，同理可得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(2)當時，同理可得

已知兩邊及一邊對角，求解三角形中的問題：

(2)當時，同理可得

綜上，

或

小結：

已知兩邊及一邊對角解三角形

小結：

已知兩邊及一邊對角解三角形關于第三邊的方程余弦定理

小結：

已知兩邊及一邊對角解三角形關于第三邊的方程余弦定理公式的選擇

小結：

已知兩邊及一邊對角解三角形關于第三邊的方程余弦定理求解方程公式的選擇求邊

小結：

已知兩邊及一邊對角解三角形關于第三邊的方程余弦定理求解方程公式的選擇求邊解的檢驗

小結：

已知兩邊及一邊對角解三角形關于第三邊的方程余弦定理求解方程公式的選擇求邊解的檢驗分類討論

小結：

已知兩邊及一邊對角解三角形關于第三邊的方程余弦定理求解方程公式的選擇求角求邊余弦定理的推論分類討論解的檢驗

小結：

已知兩邊及一邊對角解三角形關于第三邊的方程余弦定理求解方程公式的選擇求角求邊余弦定理的推論分類討論解的檢驗已知元素利用余弦定理及其推論，解三角形：

已知元素判斷利用余弦定理及其推論，解三角形：

已知元素已知三邊判斷求角余弦定理的推論利用余弦定理及其推論，解三角形：

已知元素已知三邊判斷求角已知兩邊及一角余弦定理的推論利用余弦定理及其推論，解三角形：

已知元素已知三邊判斷求角已知兩邊及一角已知兩邊及其夾角已知兩邊及一邊對角余弦定理的推論利用余弦定理及其推論，解三角形：

已知元素已知三邊判斷求角已知兩邊及一角已知兩邊及其夾角已知兩邊及一邊對角求邊余弦定理余弦定理的推論利用余弦定理及其推論，解三角形：

已知元素已知三邊判斷求角已知兩邊及一角已知兩邊及其夾角已知兩邊及一邊對角求邊余弦定理余弦定理的推論推論利用余弦定理及其推論，解三角形：

已知元素已知三邊判斷求角已知兩邊及一角已知兩邊及其夾角已知兩邊及一邊對角求邊余弦定理解三角形余弦定理的推論推論利用余弦定理及其推論，解三角形：

余弦定理及其推論解三角形知三求一應用：

余弦定理及其推論解三角形知三求一方程思想應用：

余弦定理及其推論邊角互化解三角形知三求一方程思想應用：

余弦定理及其推論邊角互化證明恒等式求解幾何計算……解三角形知三求一方程思想判斷三角形形狀應用：

余弦定理及其推論邊角互化解三角形知三求一方程思想判斷三角形形狀應用：

判斷三角形的形狀：

判斷三角形的形狀：例

在△ABC中，已知試判斷△ABC的形狀.

判斷三角形的形狀：例

在△ABC中，已知試判斷△ABC的形狀.

CBAabc

判斷三角形的形狀：例

在△ABC中，已知試判斷△ABC的形狀.

CBAabc

判斷三角形的形狀：例

在△ABC中，已知試判斷△ABC的形狀.

CBAabc

判斷三角形的形狀：思路：判斷三角形形狀已知邊角，邊邊關系？

判斷三角形的形狀：思路：已知邊角，邊邊關系判斷三角形形狀三條邊的關系

判斷三角形的形狀：思路：已知邊角，邊邊關系三個角的關系三條邊的關系判斷三角形形狀

判斷三角形的形狀：思路：已知邊角，邊邊關系消角三個角的關系三條邊的關系判斷三角形形狀

判斷三角形的形狀：思路：三個角的關系已知邊角，邊邊關系消邊消角三條邊的關系判斷三角形形狀

判斷三角形的形狀：思路：已知邊角，邊邊關系余弦定理及其推論消邊消角三個角的關系三條邊的關系判斷三角形形狀

判斷三角形的形狀：思路：已知邊角，邊邊關系余弦定理及其推論消邊消角三個角的關系三條邊的關系判斷三角形形狀

判斷三角形的形狀：解法1：在△ABC中，①

判斷三角形的形狀：解法1：在△ABC中，由余弦定理的推論，得①

判斷三角形的形狀：解法1：在△ABC中，代入①式，得①由余弦定理的推論，得

判斷三角形的形狀：解法1：在△ABC中，代入①式，得①由余弦定理的推論，得

判斷三角形的形狀：解法1：在△ABC中，代入①式，得①由余弦定理的推論，得

判斷三角形的形狀：解法1：在△ABC中，代入①式，得①由余弦定理的推論，得

判斷三角形的形狀：整理得

判斷三角形的形狀：整理得

判斷三角形的形狀：整理得(1)當時，

判斷三角形的形狀：整理得(1)當時，

判斷三角形的形狀：整理得(1)當時，可得

判斷三角形的形狀：整理得(1)當時，可得

判斷三角形的形狀：整理得(1)當時，可得即

判斷三角形的形狀：整理得(1)當時，可得即又由于所以

判斷三角形的形狀：整理得(1)當時，可得即又由于所以又因為

判斷三角形的形狀：整理得(1)當時，可得即又由于所以又因為故△ABC為等腰三角形.

判斷三角形的形狀：整理得(2)當時，

判斷三角形的形狀：整理得(2)當時，即

判斷三角形的形狀：整理得(2)當時，即所以△ABC為直角三角形.

判斷三角形的形狀：整理得(2)當時，即所以△ABC為直角三角形.

綜上，△ABC為等腰三角形或直角三角形.

判斷三角形的形狀：思路：已知邊角，邊邊關系余弦定理及其推論消邊消角三個角的關系三條邊的關系判斷三角形形狀

判斷三角形的形狀：解法2：在△ABC中，①

判斷三角形的形狀：解法2：在△ABC中，由余弦定理，得：①

判斷三角形的形狀：解法2：在△ABC中，由余弦定理，得：代入①式，得①

判斷三角形的形狀：解法2：在△ABC中，由余弦定理，得：代入①式，得化簡得①

判斷三角形的形狀：(1)當時，

判斷三角形的形狀：(1)當時，

判斷三角形的形狀：(1)當時，可得

判斷三角形的形狀：(1)當時，可得又由于所以由已知所以故△ABC為等腰三角形.

判斷三角形的形狀：(2)當時，

判斷三角形的形狀：(2)當時，

判斷三角形的形狀：(2)當時，所以△ABC為直角三角形.

判斷三角形的形狀：(2)當時，所以△ABC為直角三角形.綜上，△ABC為等腰三角形或直角三角形.

判斷三角形的形狀：(2)當時，所以△ABC為直角三角形.綜上，△ABC為等腰三角形或直角三角形.注：由于和不可能同時成立，

判斷三角形的形狀：(2)當時，所以△ABC為直角三角形.綜上，△ABC為等腰三角形或直角三角形.注：由于和不可能同時成立，所以△ABC不可能是等腰直角三角形.

小結：已知邊角關系判斷三角形形狀

小結：已知邊角關系消角消邊判斷三角形形狀三條邊的關系三個角的關系

小結：已知邊角關系余弦定理及其推論消角消邊判斷三角