人教A版高一數(shù)學(xué)必修1011有限樣本空間與隨機事件

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10.1隨機事件的概率10.1.1有限樣本空間現(xiàn)隨機事件1494年帕奇歐里提出賭金分配問題1654年帕斯卡與費馬通信探討,概率論奠基人1657年惠更斯出版《論骰子游戲中的推理》20世紀初科爾莫戈羅夫建立嚴謹?shù)母怕收摾碚擉w系01020306概率論起源與發(fā)展041713年伯努利《猜度術(shù)》大數(shù)理論051812年拉普拉斯《分析概率論》前言：概率的前世今生1.拋擲一枚硬幣，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況；2.買一注福利彩票，觀察中獎、不中獎的情況；研究某種隨機現(xiàn)象的規(guī)律，首先要觀察它所有可能的基本結(jié)果.隨機現(xiàn)象普遍存在，有的簡單有的復(fù)雜，有的只有有限個可能結(jié)果，有的有無窮個可能結(jié)果；這里的無窮又分為兩種，即可列無窮和不可列無窮，例如，對擲硬幣試驗，等待首次出現(xiàn)正面朝上所需的試驗次數(shù)，具有可列無窮個可能結(jié)果；而預(yù)測某地7月份的的降水量，可能結(jié)果則充滿某個區(qū)間，其可能結(jié)果不能一一列舉，即有不可列無窮個可能結(jié)果.所以，常見的概率模型有兩類，即離散型概率模型和連續(xù)型概率模型.高中階段主要研究離散型概率模型.學(xué)習(xí)新知隨機試驗我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為_________(random

experiment)，簡稱試驗，常用字母E表示．我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：隨機試驗(1)試驗可以在相同條件下重復(fù)進行；(2)試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果．可重復(fù)性可預(yù)知性隨機性學(xué)習(xí)新知思考1：體育彩票搖獎時,將10個質(zhì)地和大小完全相同、分別標(biāo)號0,1,2，…，9的球放入搖獎器中，經(jīng)過充分攪拌后搖出一個球，觀察這個球的號碼，這個隨機試驗共有多少個可能結(jié)果？如何表示這些結(jié)果？我們只討論Ω為有限集的情況.如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1,ω2,...,ωn,則稱樣本空間Ω={ω1,ω2,...,ωn,}為有限樣本空間.共有10種可能結(jié)果.所有可能結(jié)果可用集合表示為{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}學(xué)習(xí)新知我們把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間（samplespace).一般地，我們用Ω(歐米伽)表示樣本空間，用ω表示樣本點.樣本點是隨機試驗的每個可能的基本結(jié)果，樣本空間是全體樣本點的集合.關(guān)于什么是基本結(jié)果,只能直觀描述,無法嚴格定義.例如，拋擲一對骰子，建立包含36個樣本點的樣本空間Ω1={(x,y)|x,y∈{1,2,3,4,5,6}},其中每個結(jié)果就是基本結(jié)果，如果建立只包含4個可能結(jié)果的樣本空間Ω2={(偶，偶）,(偶，奇）,(奇，偶）,(奇，奇）},其中每個元素就不能認為是基本結(jié)果.因為在樣本空間Ω2中無法求“點數(shù)之和為5”的概率.(1)如何確定試驗的樣本空間？提示：確定試驗的樣本空間就是寫出試驗的所有可能的結(jié)果，并寫成Ω={ω1，ω2，…，ωn}的形式.(2)寫試驗的樣本空間要注意些什么？提示：要考慮周全，應(yīng)想到試驗的所有可能的結(jié)果，避免發(fā)生遺漏和出現(xiàn)多余或者重復(fù)的結(jié)果.規(guī)律方法典型例題解：因為落地時只有正面朝上和反面朝上兩個可能結(jié)果，所以試驗的樣本空間可以表示為Ω

=(正面朝上，反面朝上）,如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，則樣本空間Ω

={h,t}.例1拋擲一枚硬幣，觀察它落地時哪一面朝上，寫出試驗的樣本空間。解：用i表示朝上面的“點數(shù)為i”，因為落地時朝上面的點數(shù)有1,2,3,4,5,6共6個可能的基本結(jié)果，所以試驗的樣本空間可以表示為Ω={1,2,3,4,5,6}.例2拋擲一枚骰子（touzi),觀察它落地時朝上的面的點數(shù)，寫出試驗的樣本空間.

構(gòu)建樣本空間，這是將實際問題數(shù)學(xué)化的關(guān)鍵步驟，其作用體現(xiàn)在：可以利用集合工具（語言）描述概率問題，能用數(shù)學(xué)語言嚴格刻畫隨機事件的概念，通過與集合關(guān)系與運算的類比，可以更好地理解隨機事件的關(guān)系和運算意義.可以用符號語言準(zhǔn)確而簡練地表示求解概率問題的過程.典型例題解：擲兩枚硬幣，第一枚硬幣可能的基本結(jié)果用x表示，第二枚硬幣可能的基本結(jié)果用y表示，那么試驗的樣本點可用（x,y)表示.于是，試驗的樣本空間Ω

={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面，反面)}例3拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，寫出試驗的樣本空間如果我們用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝第一枚第二枚上”，那么樣本空間還可以簡單表示為Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.如圖所示，畫樹狀圖可以幫助我們理解例3的解答過程.對于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗，一般用1和0表示這兩個結(jié)果.一方面數(shù)學(xué)追求最簡潔地表示，另一方面，這種表示有其實際意義，在后面的研究中會帶來很大的方便.鞏固練習(xí)解:(1)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}．(2)樣本點的總數(shù)為16.(1,4),(2,3),(3,2),(1,4)；(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)．(1,4),(2,2),(4,1)(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)在擲骰子試驗中，樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6}，思考：(1)集合{1,3,5}有沒有意義？在一次擲骰子試驗中集合{1,3,5}一定會出現(xiàn)嗎？提示：{1,3,5}=“擲出點數(shù)是1、3、5”=“擲出點數(shù)是奇數(shù)點”是隨機出現(xiàn)的。(2)在一次擲骰子試驗中Ω={1,2,3,4,5,6}的所有子集有意義嗎？是否發(fā)生？提示：都有意義，Ω一定發(fā)生，?一定不發(fā)生，其它子集隨機發(fā)生。探究新知一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示.為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件（randomevent),簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件（elementaryevent).隨機事件一般用大寫字母A,B,C,···表示，在每次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.學(xué)習(xí)新知Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件.而空集Φ不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們Φ稱為不可能事件.必然事件與不可能事件不具有隨機性.為了方便統(tǒng)一處理，將必然事件和不可能事件作為隨機事件的兩個極端情形。這樣，每個事件都是樣本空間。Ω的一個子集.隨機事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機事件。必然事件：在一定條件下必然要發(fā)生的事件叫必然事件。不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件叫不可能事件。規(guī)律方法已知袋中裝有大小相同的紅、白、黃、黑4個球，分別寫出以下試驗的樣本空間．(1)從中一次任取1球，觀察球的顏色；(2)從中一次任取2球，觀察球的顏色．解析：(1)樣本空間為Ω={紅,白,黃,黑}．(2)若記(x，y)表示一次試驗中，取出的是x球與y球，樣本空間為Ω={(紅，白)，(紅，黃)，(紅，黑)，(白，黃)，(白，黑)，(黃，黑)}6種．鞏固練習(xí)思考1：將(2)條件“從中一次任取2球”改為“從中一次任取1球記錄顏色后不放回，再任取1球記錄顏色”,求樣本空間.解析：若記(x，y)表示一次試驗中，第一次取出的是x球與第二次取出的y球，樣本空間為Ω={(紅，白)，(紅，黃)，(紅，黑)，(白，紅)，(白，黃)，(白，黑)，(黃，紅)，(黃，白)，(黃，黑)，(黑，紅)，(黑，白)，(黑，黃)}思考2：將(2)條件“從中一次任取2球”改為“從中一次任取1球記錄顏色后放回，再任取1球記錄顏色”,求樣本空間.解析：若記(x，y)表示一次試驗中，第一次取出的是x球與第二次取出的y球，樣本空間為Ω={(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黃)，(紅，黑)，

(白，紅)，(白，白)，(白，黃)，(白，黑)，(黃，紅)，(黃，白)，(黃，黃)，(黃，黑)，(黑，紅)，(黑，白)，(黑，黃)，(黑，黑)}規(guī)律方法

在寫樣本空間時，一般采用列舉法寫出，必須首先明確事件發(fā)生的條件，按一定次序列舉，才能保證所列結(jié)果沒有重復(fù)，也沒有遺漏．指出下列事件是必然事件,不可能事件,還是隨機事件：（1）某地1月1日刮西北風(fēng)；（2）當(dāng)x是實數(shù)時,;(3)手電筒的電池沒電,燈泡發(fā)亮；（4）一個電影院某天的上座率超過50%。隨機事件必然事件不可能事件隨機事件鞏固練習(xí)（5）如果a＞b，那么a一b＞0；（6）從分別標(biāo)有數(shù)字l，2，3，4，5的5張標(biāo)簽中任取一張，得到4號簽;（7）某電話機在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫；（8）隨機選取一個實數(shù)x，得|x|<0.必然事件隨機事件隨機事件不可能事件典型例題例4如圖,一個電路中有A,B,C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效.把這個電路是否為通路看成是一個隨機現(xiàn)象，觀察這個電路中各元件是否正常.(1)寫出試驗的樣本空間;(2)用集合表示下列事件：M=“恰好兩個元件正?！?；N=“電路是通路”；T=“電路是斷路”.解：分別用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能狀態(tài)，則這個電路的工作狀態(tài)可用(x1,x2,x3)表示.進一步地，用1表示元件的“正?！睜顟B(tài)，用0表示“失效”狀態(tài)，(1)樣本空間Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.如圖,還可以借助樹狀圖幫助我們列出試驗的所有可能結(jié)果.典型例題例4如圖,一個電路中有A,B,C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效.把這個電路是否為通路看成是一個隨機現(xiàn)象，觀察這個電路中各元件是否正常.(2)用集合表示下列事件：M=“恰好兩個元件正?！?；N=“電路是通路”；T=“電路是斷路”.解：分別用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能狀態(tài)，則這個電路的工作狀態(tài)可用(x1,x2,x3)表示.進一步地，用1表示元件的“正常”狀態(tài)，用0表示“失效”狀態(tài)，(2)“恰好兩個元件正?！钡葍r于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3中恰有兩個為1,所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.“電路是通路”等價于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=1,且x2,x3中至少有一個是1,所以N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}。同理，“電路是斷路”等價于(x1,x2,x3)∈Ω，x1=0,或x1=1,x2=x3=0.所以T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}.(1)用樣本點表示隨機事件，首先弄清試驗的樣本空間，不重不漏列出所有的樣本點．然后找出滿足隨機事件要求的樣本點，從而用這些樣本點組成的集合表示隨機事件．(2)隨機事件可以用文字表示，也可以將事件表示為樣本空間的子集，后者反映了事件的本質(zhì)，且更便于今后計算事件發(fā)生的概率．規(guī)律方法鞏固練習(xí)課本2291.寫出下列各隨機試驗的樣本空間：(1)采用抽簽的方式，隨機選擇一名同學(xué)，并記錄其性別；(2)采用抽簽的方式，隨機選擇一名同學(xué)，觀察其ABO血型；(3)隨機選擇一個有兩個小孩的家庭，觀察兩個孩子的性別；(4)射擊靶3次，觀察各次射擊中靶或脫靶情況；(5)射擊靶3次，觀察中靶的次數(shù).

Ω={男，女}或令m表示男生，f表示女生，則樣本空間為Ω={m,f}.Ω={O,A,B,AB}.b表示“男孩”，g表示“女孩”，樣本空間為Ω={bb,bg,gb,gg}.每次射擊，中靶用1表示，脫靶用0表示，則3次射擊的樣本空間為Ω={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}Ω={(0,1,2,3)}2.如圖，由A,B兩個元件分別組成串聯(lián)電路（圖(1))和并聯(lián)電路(圖(2)),觀察兩個元件正?；蚴У那闆r.(1)寫出試驗的樣本空間；(2)對串聯(lián)電路，寫出事件M=“電路是通路”包含的樣本點；(3)對并聯(lián)電路，寫出事件N=“電路是斷路”包含的樣本點.解:(1)用1表示元件正常，0表示元件失效，則樣本空間為Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.(2)對于串聯(lián)電路，M={(1,1)}.(3)對于并聯(lián)電路，N={(0,0)}.鞏固練習(xí)課本2293.袋子中有9個大小和質(zhì)地相同的球，標(biāo)號為1,2,3,4,5,6,7,8,9,從中隨機模出一個球(1)寫出試驗的樣本空間；(2)用集合表示事件A=“摸到球的號碼小于5”，事件B=“摸到球的號碼大于4”，事件