高一數(shù)學(xué)平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

高一年級數(shù)學(xué)平面與平面垂直的判定與性質(zhì)知識回顧二面角作法范圍定義[0,π]從一條直線出發(fā)的兩個半平面組成的圖形稱為二面角作（定義、棱的垂面、面的垂線）、證、指、算平面與平面垂直的概念直二面角知識回顧思考1.在二面角α-m-β中,如果AO⊥β于點(diǎn)O,那么二面角α-m-β

是直二面角嗎？新課引入αβmA講授新課OαβmA分析:因?yàn)棣痢搔?m,AO?α,AO⊥β于點(diǎn)O所以AO⊥m于點(diǎn)O.在平面β內(nèi),過點(diǎn)O作OB⊥m于點(diǎn)O,所以,∠AOB是二面角α-m–β的平面角因?yàn)?/p>

AO⊥β,所以，

AO⊥OB.所以,∠AOB=900.OB所以,α⊥

β.講授新課平面與平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.講授新課αβml線面垂直面面垂直平面與平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.講授新課思考2：如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)的任一條直線都與平面β垂直嗎？αβabm講授新課思考2：如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)的任一條直線都與平面β垂直嗎？αβm講授新課cαβmOA講授新課(？)αβmB

OA講授新課線線垂直線面垂直面面垂直αβmAO平面與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.講授新課符號語言圖形語言面面垂直的判定定理：講授新課線面垂直面面垂直線線垂直線面垂直面面垂直面面垂直的性質(zhì)定理：空間中的垂直關(guān)系mnlmnlαlα線面垂直面面垂直線線垂直判定判定mnlmnlαlαβ空間中的垂直關(guān)系線面垂直面面垂直線線垂直性質(zhì)定義nlnlαlαβ判定判定空間中的垂直關(guān)系例.判斷以下命題是否正確：例題講解（1）.如果平面α內(nèi)有一條直線垂直于平面β內(nèi)的一條直線，則α⊥β.（）×AA1BCDB1C1D1（2）.如果平面α內(nèi)有一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條直線，則α⊥β.（）×AA1BCDB1C1D1（3）.如果平面α內(nèi)的一條直線l垂直于平面β內(nèi)的兩條相交直線,則α⊥β.（）√

l⊥β

，l

?

α，則α⊥β.（4）.如果α⊥β,那么平面α內(nèi)的所有直線都垂直于平面β.（）AA1BCDB1C1D1×

（5）.若兩個平面垂直，分別在這兩個平面內(nèi)直線互相垂直.（）AA1BCDB1C1D1×（6）.若兩個平面垂直,分別在兩個平面內(nèi)且互相垂直的兩條直線一定分別與另一個平面垂直.（）AA1BCDB1C1D1×（7）.若兩個平面互相垂直,過一個平面內(nèi)的任一點(diǎn)在該平面內(nèi)作交線的垂線,則此直線必垂直與另一個平面.（）√例.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,

求證：平面ABC1D1┴平面A1B1CD.AA1BCDB1C1D1AA1BCDB1C1D1證明：因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1,

所以,AB┴平面A1D1DA,AB┴A1D.

在正方形A1D1DA中,AD1

┴A1D,AB∩AD1=A,所以,A1D┴平面ABC1D1.

又因?yàn)锳1D?平面A1B1CD,

所以,平面A1B1CD┴平面ABC1D1.AA1BCDB1C1D1EF例.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,

求證：平面ABC1D1┴平面A1B1CD.思路二：例.已知,如圖,AB是⊙O的直徑,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圓周上不同于A,B的任意一點(diǎn).求證：平面PAC⊥平面PBC.ABOCP證明：設(shè)⊙O所在平面為α,因?yàn)镻A⊥α,BC?α,所以,PA⊥BC.因?yàn)锳B為⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,所以,∠BCA＝

90°,即BC⊥AC.因?yàn)镻A∩AC=A,所以,BC⊥平面PAC.因?yàn)?BC?面PBC.所以,平面PBC⊥平面PAC.線面垂直面面垂直線線垂直ABOCP判斷面面垂直的方法：利用直二面角、面面垂直的判定定理.小結(jié)αβmOAαβmOAnBl判斷面面垂直的方法：利用直二面角、面面垂直的判定定理.小結(jié)線線垂直面面垂直線面垂直直角三角形的定義勾股逆定理直徑所對圓周角是直角線面垂直的定義線面垂直的性質(zhì)ABCD例.已知,在三棱錐

A-BCD中,

AB⊥平面BCD,BC⊥CD.請問在三棱錐A-BCD中,哪些平面相互垂直,為什么？AB⊥平面BCD平面ABC⊥平面BCDAB⊥平面BCD平面ABD⊥平面BCDCD⊥平面ABC平面ACD⊥平面ABCBC⊥CDAB⊥平面BCDAB⊥CD小結(jié)尋找已知平面的垂面的關(guān)鍵：尋找已知平面的垂線.ABCD例.已知,在三棱錐

A-BCD中,

AB⊥平面BCD,BC⊥CD.請問在三棱錐A-BCD中,哪些平面相互垂直,為什么？平面ABC⊥平面BCD平面ABD⊥平面BCDAB⊥平面BCD？αβlγmn拓展：已知：

α∩β=l,

α

⊥γ

，

α∩

γ

=m,

β⊥γ，

β∩γ=n

.求證：l⊥

γ

.αβlγmnOAB解法一：在面γ

內(nèi)作取點(diǎn)O,點(diǎn)O不在n、m

上,作OA⊥m于點(diǎn)

A,OB⊥n于點(diǎn)

B,因?yàn)棣痢挺?α∩γ

=m,OA⊥m,AO?γ,所以,OA⊥α,l?α,

OA⊥l.同理,OB⊥l.

OB∩OA=O,OB?γ

,OA?

γ所以：l

⊥

γ

.線面垂直定義面面垂直性質(zhì)定理線面垂直判定定理αβlγmn垂直于同一個平面α的兩個平面若相交，則其交線垂直于平面α.已知：如圖所示,α

⊥

β,在

α

與

β

的交線上取線段,且AC、BD分別在平面α和平面β內(nèi),它們都垂直于交線AB,并且AC=1,BD=2,求CD的長．αβAlCDBαβAlCDB解：連接BC,因?yàn)棣?/p>

⊥

β,α∩

β

=AB,BD?β

,BD⊥AB,所以,DB

⊥α.又因?yàn)锽C?

α,所以，BD⊥BC,

因此,是直角三角形.在中,在中,

．已知：如圖所示,α

⊥

β,在

α

與

β

的交線上取線段,且AC、BD分別在平面α和平面β內(nèi),它們都垂直于交線AB,并且AC=1,BD=2,求CD的長．αβAlCDB課堂小結(jié)1、面面垂直的判定定理：證明兩個平面相互垂直、尋找平面的垂面2、判斷兩個平面互相垂直的方法：⑴定義