考研數(shù)學(xué)二試題

1996年全國(guó)碩士研究生入學(xué)一致考試數(shù)學(xué)二試題一、填空題(此題共5小題,每題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)x2(1)設(shè)y(xe2)3,則yx0＿＿＿＿＿＿.11x2)2dx(2)(x＿＿＿＿＿＿.1(3)微分方程y2y5y0的通解為＿＿＿＿＿＿.(4)limxsinln(13)sinln(11)＿＿＿＿＿＿.xxx(5)由曲線yx1,x2及y2所圍圖形的面積S＿＿＿＿＿＿.x二、選擇題(此題共5小題,每題3分,滿分15分.每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)切合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1)設(shè)當(dāng)x0時(shí),ex(ax2bx1)是比x2高階的無(wú)量小,則()(A)a1,b1(B)a1,b121(C)a1(D)a1,b1,b2(2)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(,)內(nèi)有定義,若當(dāng)x(,)時(shí),恒有|f(x)|x2,則x0必是f(x)的( )(A)中斷點(diǎn)(B)連續(xù)而不行導(dǎo)的點(diǎn)(C)可導(dǎo)的點(diǎn),且f(0)0(D)可導(dǎo)的點(diǎn),且f(0)0(3)設(shè)f(x)到處可導(dǎo),則()(A)當(dāng)limf(x),必有l(wèi)imf(x)xx(B)當(dāng)limf(x),必有l(wèi)imf(x)xx(C)當(dāng)limf(x),必有l(wèi)imf(x)xx(D)當(dāng)limf(x),必有l(wèi)imf(x)xx11(4)在區(qū)間(,)內(nèi),方程|x|4|x|2cosx0( )(A)無(wú)實(shí)根(B)有且僅有一個(gè)實(shí)根(C)有且僅有兩個(gè)實(shí)根(D)有無(wú)量多個(gè)實(shí)根(5)設(shè)f(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且g(x)f(x)m(m為常數(shù)),由曲線yg(x),yf(x),xa及xb所圍平面圖形繞直線ym旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為()b2mf(x)g(x)f(x)g(x)dx(A)ab2mf(x)g(x)f(x)g(x)dx(B)abmf(x)g(x)f(x)g(x)dx(C)abmf(x)g(x)f(x)g(x)dx(D)a三、(此題共6小題,每題5分,滿分30分.)ln2e2xdx.(1)計(jì)算10(2)求dx.sinx1td2y(3)xf(u2)du,,且f(u)設(shè)022此中f(u)擁有二階導(dǎo)數(shù)0,求dx.y[f(t)],(4)求函數(shù)f(x)1x在x0點(diǎn)處帶拉格朗日型余項(xiàng)的n階泰勒睜開(kāi)式.1x(5)求微分方程yyx2的通解.(6)設(shè)有一正橢圓柱體,其底面的長(zhǎng)、短軸分別為2a、2b,用過(guò)此柱體底面的短軸與底面成角(0),得一鍥形體(如圖),求此鍥形體的體積V.2的平面截此柱體四、(此題滿分8分)計(jì)算不定積分arctanxdx.x2(1x2)五、(此題滿分8分)12x2,x1,設(shè)函數(shù)f(x)x3,1x2,12x16,x2.寫(xiě)出f(x)的反函數(shù)g(x)的表達(dá)式；g(x)能否有中斷點(diǎn)、不行導(dǎo)點(diǎn),如有,指出這些點(diǎn).六、(此題滿分8分)設(shè)函數(shù)yy(x)由方程2y32y22xyx21所確立,試求yy(x)的駐點(diǎn),并鑒別它能否為極值點(diǎn).七、(此題滿分8分)設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上擁有二階導(dǎo)數(shù),且f(a)f(b)0,f(a)f(b)0,試證明：存在(a,b)和(a,b),使f()0及f( )0.八、(此題滿分8分)設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù),(1)yayf(x),求初值問(wèn)題的解y(x),此中a為正的常數(shù)；yx00(2)若|f(x)|k(k為常數(shù)),證明：當(dāng)x0時(shí),有|y(x)|k(1eax).a1996年全國(guó)碩士研究生入學(xué)一致考試數(shù)學(xué)二試題分析一、填空題(此題共5小題,每題3分,滿分15分.)【答案】13x1x321e2【分析】yxe21,yx032【答案】2【分析】注意到對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì),有

2111.32312x1x21x2dx11dx022.原式x22x1x211【有關(guān)知識(shí)點(diǎn)】對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)：若f(x)在[a,a]上連續(xù)且為奇函數(shù),則af(x)dx0；a若f(x)在[a,a]上連續(xù)且為偶函數(shù),af(x)dxaf(x)dx.則a20(3)【答案】yexc1cos2xc2sin2x【分析】因?yàn)閥2y5y0是常系數(shù)的線性齊次方程,其特點(diǎn)方程r22r50有一對(duì)共軛復(fù)根r1,r212i.故通解為yexccos2xcsin2x.12(4)【答案】2【分析】因?yàn)閤時(shí),sinln1k:ln1k:k(k為常數(shù)),所以,xxx原式limxsinln13limxsinln11limx3limx1312.xxxxxxxx(5)【答案】ln212【分析】曲線yx1,y2的交點(diǎn)是1,2,yx1x221,當(dāng)x1時(shí)xxxyx1y(單一上漲)在y2上方,于是x2二、選擇題(此題共5小題,每題3分,滿分15分.)【答案】(A)【分析】方法1：用帶皮亞諾余項(xiàng)泰勒公式.由1bx1ax2x2令x2,2O12x1b0,1,b可得1a0,a1.應(yīng)選(A).22方法2：用洛必達(dá)法例.由有l(wèi)imex2axb1b0b1.x0又由limex2axbex2a12a1lim0a.x02xx0222應(yīng)選(A).【答案】(C)【分析】方法一：第一,當(dāng)x0時(shí),|f(0)|0f(0)0.而依據(jù)可導(dǎo)定義我們觀察f(x)f(0)f(x)x2x0(x0),0xxx由夾逼準(zhǔn)則,f(0)limf(x)f(0)0,故應(yīng)選(C).x0x方法二：明顯,f(0)0,由|f(x)|x2x(,),得f(x)1,x(,0)U(0,),即f(x),x2有界,x2且f(0)f(x)f(0)f(x)x0.limxlimx2x0x0故應(yīng)選(C).方法三：清除法.令f(x)x3,f(0)0,故(A)、(B)、(D)均不對(duì),應(yīng)選(C).【有關(guān)知識(shí)點(diǎn)】定理：有界函數(shù)與無(wú)量小的乘積是無(wú)量小.【答案】(D)【分析】方法一：清除法.比如f(x)x,則(A),(C)不對(duì)；又令f(x)ex,則(B)不對(duì).故應(yīng)選擇(D).方法二：由limf(x),對(duì)于M0,存在x0,使適當(dāng)xx0時(shí),f(x)M.x由此,當(dāng)xx0時(shí),由拉格朗日中值定理,f(x)f(x0)f( )(xx0)f(x0)M(xx0)(x),進(jìn)而有l(wèi)imf(x),故應(yīng)選擇(D).x【有關(guān)知識(shí)點(diǎn)】拉格朗日中值定理：假如函數(shù)f(x)知足在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那么在(a,b)內(nèi)起碼有一點(diǎn)(ab),使等式成立.(4)【答案】(C)11【分析】令f(x)|x|4|x|2cosx,則f(x)f(x),故f(x)是偶函數(shù),觀察f(x)在(0,)內(nèi)的實(shí)數(shù)個(gè)數(shù)：第一注意到必有零點(diǎn),且由

11f(x)x4x2cosx(x0).f(0)10,f( )(11時(shí),由零值定理,函數(shù)f(x))4( )210,當(dāng)0x222231f(x)1x41x2sinx0,42f(x)在(0,)單一遞加,故f(x)有獨(dú)一零點(diǎn).21111當(dāng)xf(x)x4x210,沒(méi)有零點(diǎn)；時(shí),cosx( )4( )2222所以,f(x)在(0,)有一個(gè)零點(diǎn).又因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),f(x)在(,)有兩個(gè)零點(diǎn).故應(yīng)選(C).【有關(guān)知識(shí)點(diǎn)】零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號(hào)(即f(a)f(b)0),那么在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)起碼有一點(diǎn),使f()0.【答案】(B)【分析】見(jiàn)上圖,作垂直切割,相應(yīng)于x,xdx的小豎條的體積微元2mg(x)f(x)f(x)g(x)dx,b2mg(x)f(x)f(x)g(x)dx,于是Va應(yīng)選擇(B).三、(此題共6小題,每題5分,滿分30分.)【分析】方法一：換元法.令1e2xu,則x1ln(1u2),dxu2du,21uln22xdx3u231131122(2(所以1e2du21)du2)du001u01u201u1u31ln1u23ln(23)321u02.2方法二：換元法.令exsint,則xlnsint,dxcostdt,x:0ln2t:2,sint6ln(csctcott)2cost2ln(23)3.662方法三：分部積分法和換元法聯(lián)合.ln2xe2x1dxln2e2x1d(ex)原式0e0令ext,則x:0ln2t:12,原式32dt3ln(tt223ln(23).21t21212【有關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.cscxdx1dxlncscxcotxC,sinx2.a0時(shí),dxlnxx2a2C.x2a2(2)【分析】方法一：dx(1(1sinx)dx1sinxdx1sinxsinx)(1sinx)cos2xtanx1C.cosx方法二：dxdx1sinxxx(cossin22)2d(1x)2tan2secxdx22C.(1tanx)2(1tanx)21tanx222方法三：換元法.令tanx2,sinx2tant2t,t,則x2arctant,dx1t22t1t221tan原式12dtdt2C2C.2t1t221t1(1t)21tanx1t22【分析】這是由參數(shù)方程所確立的函數(shù),其導(dǎo)數(shù)為dydy2f(t2)f(t2)2tdt4tf(t2),dxdxf(t2)dt所以d2yd(dy)dtd(4tf(t2))dt4f(t2)4tf(t2)2t1dx2dtdxdxdtdxf(t2)4f(t2)2t2f(t2).f(t2)(4)【分析】函數(shù)f(x)在x0處帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒睜開(kāi)式為f(x)f(0)f(0)xLf(n)(0)xnf(n1)(x)xn1,(01).n!(n1)!對(duì)于函數(shù)f(x)1x,有1x所以f(n)(0)2(1)nn!,(n1,2,3L),故f(x)1x12x2x2L(1)n2xn(1)n12xn1n1(01).1x(1x)(5)【分析】方法一：微分方程yyx2對(duì)應(yīng)的齊次方程yy0的特點(diǎn)方程為r2r0,兩個(gè)根為r10,r21,故齊次方程的通解為yc1c2ex.設(shè)非齊次方程的特解Yx(ax2bxc),代入方程能夠獲得a1,b1,c2,1x33所以方程通解為yc1c2exx22x.3方法二：方程能夠?qū)懗?yy)x2,積分得yyx3c0,這是一階線性非齊次微分方程,可直接利用3通解公式求解.通解為x3x22xc1Cex.3方法三：作為可降階的二階方程,令yP,則yP,方程化為PPx2,這是一階線性非齊次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解為yc1c2exx322x.再積分得x3【有關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.二階線性非齊次方程解的構(gòu)造：設(shè)y*(x)是二階線性非齊次方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一個(gè)特解.Y(x)是與之對(duì)應(yīng)的齊次方程yP(x)yQ(x)y0的通解,則yY(x)y*(x)是非齊次方程的通解.2.二階常系數(shù)線性齊次方程通解的求解方法：對(duì)于求解二階常系數(shù)線性齊次方程的通解Y(x),可用特點(diǎn)方程法求解：即yP(x)yQ(x)y0中的P(x)、Q(x)均是常數(shù),方程變成ypyqy0.其特點(diǎn)方程寫(xiě)為r2prq0,在復(fù)數(shù)域內(nèi)解出兩個(gè)特點(diǎn)根r1,r2；分三種狀況：(1)兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根r1,r2,則通解為yC1erx1C2er2x;(2)兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根r1r2,則通解為yC1C2xerx1;(3)一對(duì)共軛復(fù)根r1,2i,則通解為yexC1cosxC2sinx.此中C1,C2為常數(shù).3.對(duì)于求解二階線性非齊次方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一個(gè)特解y*(x),可用待定系數(shù)法,有結(jié)論以下：假如f(x)Pm(x)ex,則二階常系數(shù)線性非齊次方程擁有形如y*(x)xkQm(x)ex的特解,此中Qm(x)是與Pm(x)同樣次數(shù)的多項(xiàng)式,而k按不是特點(diǎn)方程的根、是特點(diǎn)方程的單根或是特征方程的重根挨次取0、1或2.假如f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx],則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的特解可設(shè)為y*xkex[Rm(1)(x)cosxRm(2)(x)sinx],此中Rm(1)(x)與Rm(2)(x)是m次多項(xiàng)式,mmaxl,n,而k按i(或i)不是特點(diǎn)方程的根、或是特點(diǎn)方程的單根挨次取為0或1.4.一階線性非齊次方程yP(x)yQ(x)的通解為P(x)dxQ(x)eP(x)dxyedxC,此中C為隨意常數(shù).(6)【分析】成立坐標(biāo)系,底面橢圓方程為

x

y2221.a

b方法一：以垂直于y軸的平面截此楔形體所得的截面為直角三角形,此中一條直角邊長(zhǎng)為xab2y2,ab另一條直角邊長(zhǎng)為b2y2tan,b故截面面積為1a222S(y)2b2(by)tan.楔形體的體積為ba2by2)dy2a2btanV2S(y)dy2tan(b2.0b03方法二：以垂直于x軸的平面截此楔形體所得的截面為矩形,此中一條邊長(zhǎng)為2y2ba2x2,xtana另一條邊長(zhǎng)為,故截面面積為S(x)2bxa2x2tan,a楔形體的體積為2btanxa2x2dx2a2btan.V2S(x)dxaa0a03四、(此題滿分8分)【分析】方法一：分部積分法.1arctanxlnx1ln(1x2)1arctan2xC.x22方法二：換元法與分部積分法聯(lián)合.令arctanxt,則xtant,dxsec2tdt,tcottlnsint1t2C.五、(此題滿分8分)2【剖析】為了正確寫(xiě)出函數(shù)f(x)的反函數(shù)g(x),并快捷地判斷出函數(shù)g(x)的連續(xù)性、可導(dǎo)性,須知道以下對(duì)于反函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).【有關(guān)知識(shí)點(diǎn)】反函數(shù)的性質(zhì)：①若函數(shù)f(x)是單一且連續(xù)的,則反函數(shù)g(x)有同樣的單一性且也是連續(xù)的；②函數(shù)f(x)的值域即為反函數(shù)g(x)的定義域；③g(x)1f(x)的不行導(dǎo)點(diǎn)和使,故函數(shù)f(x)f(x)0的點(diǎn)x對(duì)應(yīng)的值f(x)均為g(x)的不行導(dǎo)點(diǎn).【分析】(1)由題設(shè),函數(shù)f(x)的反函數(shù)為方法一：觀察f(x)的連續(xù)性與導(dǎo)函數(shù).注意在(

,1),(

1,2),(2,

)區(qū)間上

f(x)

分別與初等函數(shù)同樣

,故連續(xù)

.在x

1,x

2處罰別左、右連續(xù)

,故連續(xù)

.易求得因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)閮H有

f(x)在(,x0時(shí)f(x)

)內(nèi)單一上漲且連續(xù)0且f(0)0,故x

,故函數(shù)g(x)在(,)上單一且連續(xù)0是g(x)的不行導(dǎo)點(diǎn)；僅有x1是

,沒(méi)有中斷點(diǎn).f(x)的不行導(dǎo)點(diǎn)(左、右導(dǎo)數(shù)

,但不相等

),

所以

g(x)在f(1)

1處不行導(dǎo)

.方法二：直接觀察g(x)的連續(xù)性與可導(dǎo)性.注意在(,1),(1,8),(8,)區(qū)間上g(x)分別與初等函數(shù)同樣,故連續(xù).在x1,x8處罰別左、右連續(xù),故連續(xù),即g(x)在(,)連續(xù),沒(méi)有中斷點(diǎn).g(x)在(,1),(1,8),(8,)內(nèi)分別與初等函數(shù)同樣,這些初等函數(shù)只有3x在x0不行導(dǎo),其他均可導(dǎo).在x1處,g(1)不.在x8處,g(8).所以,g(x)在(,)內(nèi)僅有x0與x1兩個(gè)不行導(dǎo)點(diǎn).六、(此題滿分8分)【分析】方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),得3y2y2yyxyyx0,(3y22yx)yyx0.①令y0,得yx,代入原方程得2x3x210,解之得獨(dú)一駐點(diǎn)x1；對(duì)①兩邊再求導(dǎo)又得(3y22yx)y(3y22yx)xyy10.②以xy1,y0代入②得1是極小點(diǎn).【有關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.駐點(diǎn)：往常稱導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)(或穩(wěn)固點(diǎn),臨界點(diǎn)).2.函數(shù)在駐點(diǎn)處獲得極大值或極小值的判斷定理.當(dāng)函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)存在且不為零時(shí),能夠利用下述定理來(lái)判斷f(x)在駐點(diǎn)處獲得極大值仍是極小值.定理：設(shè)函數(shù)f(x)在x0處擁有二階導(dǎo)數(shù)且f(x0)0,f(x0)0,那么(1)當(dāng)f(x0)0時(shí),函數(shù)f(x)在x0處獲得極大值；(2)當(dāng)f(x0)0時(shí),函數(shù)f(x)在x0處獲得極小值.七、(此題滿分8分)【分析】第一證明(a,b),使f()0：方法一：用零點(diǎn)定理.主假如要證明f(x)在(a,b)有正當(dāng)點(diǎn)與負(fù)值點(diǎn).不如設(shè)f(a)0,f(b)0.由limf(x)f(a)f(a)f(a)0與極限局部保號(hào)性,知在xa的某右鄰域,xaxaf(x)f(a)0,進(jìn)而f(x)0,因此x1,bx1a,f(x1)0；近似地,由f(b)0可證xax2,x1x2b,f(x2)0.由零點(diǎn)定理,(x1,x2)(a,b),使f( )0.方法二：反證法.假定在(a,b)內(nèi)f(x)0,則由f(x)的連續(xù)性可得f(x)0,或f(x)0,不如設(shè)f(x)0.由導(dǎo)數(shù)定義與極限局部保號(hào)性,f(a)f(a)limf(x)f(a)limf(x)0,xaxaxaxaf(b)f(b)limf(x)f(b)limf(x)0,xbxbxbxb進(jìn)而f(a)f(b)0,與f(a)f(b)0矛盾.其次,證明(a,b),f(