2022-2023學(xué)年上海民辦精文中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2022-2023學(xué)年上海民辦精文中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.根據(jù)三個(gè)點(diǎn)（3，10），（7，20），（11，24）的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，求得的回歸直線方程是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C2.將邊長(zhǎng)為3的正方體,分別以八個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn),各截去一個(gè)三條棱均為1的正三棱錐,則所剩幾何體的表面積為

(

)A.42

B.

C.

D.參考答案：B3.在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=AC=2，PA=，E，F(xiàn)分別是PB，BC的中點(diǎn)，則EF與平面PAB所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：B【考點(diǎn)】直線與平面所成的角．【分析】以A為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)過(guò)A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出EF與平面PAB所成的角．【解答】解：以A為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)過(guò)A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0），P（0，0，），E（，，），F(xiàn)（，，0），=（0，1，﹣），=（0，0，），=（），設(shè)平面PAB的法向量=（x，y，z），則，取x=1，得=（1，﹣，0），設(shè)EF與平面PAB所成的角為θ，則sinθ===，∴θ=45°．∴EF與平面PAB所成的角等于45°．故選：B．4.已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且側(cè)棱垂直于底面）高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（

）A.16π B.20π C.24π D.32π參考答案：C【分析】根據(jù)正四棱柱的底面是正方形,高為4,體積為16,求得底面正方形的邊長(zhǎng),再求出其對(duì)角線長(zhǎng),然后根據(jù)正四棱柱的體對(duì)角線是外接球的直徑可得球的半徑,再根據(jù)球的表面積公式可求得.【詳解】依題意正四棱柱的體對(duì)角線是其外接球的直徑,的中點(diǎn)是球心,如圖:依題意設(shè),則正四棱柱的體積為:,解得,所以外接球的直徑,所以外接球的半徑,則這個(gè)球的表面積是.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了球與正四棱柱的組合體,球的表面積公式,正四棱柱的體積公式,屬中檔題.5.AB為圓O的直徑，C為圓O上異于A、B的一點(diǎn)，點(diǎn)P為線段OC的中點(diǎn)，則=（

）A.2

B.4

C.5

D.10參考答案：D略6.已知可導(dǎo)函數(shù)（x）的導(dǎo)函數(shù)為g（x），且滿足：①②記，則a，b，c的大小順序?yàn)?/p>

（

）

A．a(chǎn)>b>c

B．b>a>c

C．b>c>a

D．a(chǎn)>c>b參考答案：D略7.如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是

(

)A．A、M、O三點(diǎn)共線

B．A、M、O、A1不共面C．A、M、C、O不共面

D．B、B1、O、M共面

參考答案：A略8.設(shè)F1、F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且∠F1PF2=90°，則△F1PF2的面積為（）A． B．2 C． D．1參考答案：D【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)雙曲線的方程，算出焦點(diǎn)F1（﹣，0）、F2（，0）．利用勾股定理算出|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20，由雙曲線的定義得||PF1|﹣|PF2||=2a=4，聯(lián)解得出|PF1|?|PF2|=2，即可得到△F1PF2的面積．【解答】解：∵雙曲線中，a=2，b=1∴c==，可得F1（﹣，0）、F2（，0）∵點(diǎn)P在雙曲線上，且∠F1PF2=90°，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20根據(jù)雙曲線的定義，得||PF1|﹣|PF2||=2a=4∴兩式聯(lián)解，得|PF1|?|PF2|=2因此△F1PF2的面積S=|PF1|?|PF2|=1故選：D9.設(shè)某中學(xué)的高中女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回歸直線方程為，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．y與x具有正線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過(guò)樣本的中心點(diǎn)C．若該中學(xué)某高中女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該中學(xué)某高中女生身高為160cm，則可斷定其體重必為50.29kg參考答案：D【考點(diǎn)】BK：線性回歸方程．【分析】根據(jù)回歸分析與線性回歸方程的意義，對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可．【解答】解：由于線性回歸方程中x的系數(shù)為0.85，因此y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；由線性回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，因此B正確；由線性回歸方程中系數(shù)的意義知，x每增加1cm，其體重約增加0.85kg，C正確；當(dāng)某女生的身高為160cm時(shí)，其體重估計(jì)值是50.29kg，而不是具體值，因此D錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了回歸分析與線性回歸方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．10.設(shè)集合，則A所表示的平面區(qū)域(不含邊界的陰影部分)是（）參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，雙曲線的兩頂點(diǎn)為、，虛軸兩端點(diǎn)為、，兩焦點(diǎn)為、，若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，切點(diǎn)分別為、、、，則雙曲線的離心率e＝

▲

.參考答案：略12.已知一個(gè)動(dòng)圓與圓C：相內(nèi)切，且過(guò)點(diǎn)A（4，0），則這個(gè)動(dòng)圓圓心的軌跡方程是-

.參考答案：13.已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是

▲

參考答案：14.某人玩投石子游戲，第一次走1米放2顆石子，第二次走2米放4顆石子，…，第n次走n米放2n顆石子，當(dāng)此人一共走了36米時(shí)，他投放石子的總數(shù)是．參考答案：510【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】易得此人一共走了8次，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得．【解答】解：∵1+2+3+4+5+6+7+8=36，∴此人一共走了8次∵第n次走n米放2n顆石子∴他投放石子的總數(shù)是2+22+23+…+28==2×255=510故答案為：510【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的求和公式，得出數(shù)列的首項(xiàng)和公比是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．15.下列四個(gè)條件中，能確定一個(gè)平面的只有

▲

．（填序號(hào)）①空間中的三點(diǎn)

②空間中兩條直線③一條直線和一個(gè)點(diǎn)

④兩條平行直線參考答案：④16.在正三棱柱中，若AB

，則_________；參考答案：9017.若函數(shù)，則

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：解:（1）當(dāng)時(shí)，，∴，故；當(dāng)時(shí)，，∴，故；當(dāng)時(shí)，，∴，故；綜上可知：的解集為；┄┄┄5分（2）由（1）知：，【解法一】如圖所示：作出函數(shù)的圖象，由圖象知，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為。┄┄┄10分【解法二】當(dāng)時(shí)，恒成立，∴，當(dāng)時(shí)，恒成立，∴，當(dāng)時(shí)，恒成立，∴，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為。19.（本小題滿分12分）有編號(hào)為，…，的10個(gè)零件，測(cè)量其直徑(單位：cm)，得到下面數(shù)據(jù)：編號(hào)直徑1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直徑在區(qū)間［1.48，1.52］內(nèi)的零件為一等品.(1)從上述10個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)，求這個(gè)零件為一等品的概率；(2)從一等品零件中，隨機(jī)抽取2個(gè).(i)用零件的編號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果；(ii)求這2個(gè)零件直徑相等的概率參考答案：（1）由所給數(shù)據(jù)可知，一等品零件共有6個(gè)．設(shè)“從10個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)為一等品”為事件A，則．

（2）（i）解：一等品零件的編號(hào)為．從這6個(gè)一等品零件中隨機(jī)抽取2個(gè)，所有可能的結(jié)果有：,,,,,,,,,.共15種.

(ii)解“從一等品零件中，隨機(jī)抽取的2個(gè)零件直徑相等”（記為事件B）的所有可能結(jié)果有：,,,,共有6種.所以.

20.已知f(x)=ax4+bx2+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)，且在x=1處的切線方程是y=x－2.

(1)求y=f(x)的解析式；

(2)求y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.參考答案：解：(1)f(x)=ax4+bx2+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)，則c=1，f′(x)=4ax3+2bx，k=f′(1)=4a+2b=1，切點(diǎn)為(1，－1)，則f(x)=ax4+bx2+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，－1)，得a+b+c=－1，得，，∴.(2)f′(x)=10x3－9x>0，解得或，單調(diào)遞增區(qū)間為，.21.如圖，橢圓C1：+=1（a＞b＞0）的離心率為，x軸被曲線C2：y=x2﹣b截得的線段長(zhǎng)等于C1的短軸長(zhǎng)，C2與y軸的交點(diǎn)為M，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A、B，直線MA，MB分別與C1相交于點(diǎn)D、E．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）求證：MA⊥MB：（Ⅲ）記△MAB，△MDE的面積分別為S1，S2，若=λ，求λ的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（I）離心率=，可得a2=2c2=2b2，又x軸被曲線C2：y=x2﹣b截得的線段長(zhǎng)2=2b，解得b，a2．可得曲線C2的方程；曲線C1的方程．（II）設(shè)直線AB的方程為：y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2）．M（0，﹣1）．與拋物線方程聯(lián)立可得：x2﹣kx﹣1=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可證明MA⊥MB．（III）設(shè)直線MA的方程：y=k1x﹣1；MB的方程為：y=k2x﹣1，且k1k2=﹣1．分別與拋物線橢圓方程聯(lián)立解得A，B，D，E的坐標(biāo)，利用三角形面積計(jì)算公式即可得出，=λ，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】（I）解：離心率=，∴a2=2c2=2b2，又x軸被曲線C2：y=x2﹣b截得的線段長(zhǎng)2=2b，解得b=1．∴a2=2．∴曲線C2的方程為：y=x2﹣1；曲線C1的方程為：=1．（II）證明：設(shè)直線AB的方程為：y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2）．M（0，﹣1）．聯(lián)立，化為：x2﹣kx﹣1=0，∴x1+x2=k，x1?x2=﹣1．∴=x1x2+（y1+1）（y2+1）=（k2+1）x1?x2+k（x1+x2）+1=﹣（k2+1）+k?k+1=0．∴MA⊥MB．（III）解：設(shè)直線MA的方程：y=k1x﹣1；MB的方程為：y=k2x﹣1，且k1k2=﹣1．聯(lián)立，解得，或，∴A．同理可得B．S1=|MA|?|MB|=|k1|?|k2|．，解得，或，∴D．同理可得：E，∴S2==?．∴=λ==，所以λ的最小值為，此時(shí)k=1或﹣1．22.某地方政府準(zhǔn)備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個(gè)矩形綜合性休閑廣場(chǎng)