高數(shù)課件一階線性微分方程形式

一階線性微分方程的解法線性齊次方程

dx+P(x)y=

(使用分離變量法dy=-P( dy=-P( lny=-P(x)dx+ln齊次方程的通解為yCe-Px)dx線性非齊次方程

dx+P(x)y=Q(dy=Q(x) 討

P(

兩邊積分

lny=Q(x)dxy

Px)dx,Qx)dx為vy\ln

vxP yev(x)e-Px)dxyCe-Px)dx相比

Cu(x)2.線性非齊次方程常數(shù)變易法

dx+P(x)y=Q(未知函數(shù)的變量代換作變 y=u(x)e-P(x(

+u(x)[-P(x)]e-P(x)dx代入方程：

dy+P(x)y=Q(x).將y和y代入原方程得x)e-Px)dxQ齊次方程通解 y=Ce-P(x)dx將y和y代入原方程得x)e-Px)dxQ積分得

u(x)=Q(x)eP(x)dxdx+C一階線性非齊次微分方程的通解為y=[Q(x)eP(x)dxdx+C]e-P(x=Ce-P(x)dx+e-P(x 對應(yīng)齊次方程通解

非齊次方程特解非齊次方程的通解為dy+P(x)y=Q(x).

y=[Q(x)eP(x)dxdx+C]e-P(x例1y1ysinx的通解 xsin P(x)

x Q(x)= y=

-1dx sin x x

1e

dx+C=e-lnx

sin

elnxdx+C =1sinxdx+C)=1-cosx+C dy+P(x)y=Q(x).

y=[Q(x)eP(x)dxdx+C]e-P(xy例2如圖所示，平行 軸的動直線被曲xyfx)yx3x0)截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積,求曲線fx.x解:建立方程

f(x)dx

y=(x3(x3-y)2xydxx3y,yy3x2x0

y=f(解微分方程y=e-dxC+3x2e y|x=0

=Ce-x+3x2-6x+C

y3(-2e-xx22x伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式dy+P(x)y=Q(x) (n?{{

方程為線性微分方程.方程為非線性微分方程.解法:需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程dy+P(x)y=Q(x) (n?

y-ndy+P(x)y1-n=Q(x),

則dz=(1-n)y-ndy 代入上式

dx+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(zy1-n代入即得\y1-

=z=e-(1-n)P(x)dx(Q(x)(1-n)e(1-n)P(x)dxdx+Cdy+P(x)y=Q(x)y3dy4yy

解兩端除以yn，得

1dy-yy yy

=x2z

1-y2y

-4z=x22

zx

+C22

yx4

+C例4用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:2yy+2xy2=xe-x2 y+xy=1xe-x2y-12令z=y1-(-1)=y2

=2

dy\dz+2xz=xe-x2,z=e-2 xe-x2e2xdxdx+C x2所求通解為y2 =e- 2

+Cdy

-y 令z= 則dz=y+xdy dz=y+ -y)= sin2分離變量法得2zsin2z4xC,將z=xy代回 所求通解為2xy-sin(2xy)=4x+C.dy= x+ 令x+y= 則dy=du-

代入原式

-1= 分離變量法得uln(u1)xC,將u=x+y代回 所求通解為ylnxy1)C, xC1e

-y-另解方程變形為dxxdy+P(x)y=Q(x).

y=[Q(x)eP(x)dxdx+C]e-P(x齊次方程

yx線性齊次方程線性非齊次方程x

用1.或分離變量的方法。yux)e-Px)dx方程

y1-n一階微分方程一階微分方程作業(yè) 7. 9.求微分方程

coscosysin2y-xsin

的通解dx=cosysin2y-xsiny=sin2y-xtan cos\dx+ny)x=sin2y,x=elncosy2ye-lncosydy+=cosy2sinycosydy+C=cosC-2cos cos 1、y￠ycosxe-sinx；2、ylnydxxlny)dy3、y26xdy2y0p1、dy+ycotx=5ecosx, pdy+2-3x

22、

y=1,yx 比(比例k1)的力作用于它,此外還受 xx

y=2

- 2y22、xdyyxy31lnx)]dx01、dy= x-2、y￠y22(sinx1)ysin2x2sinxcosx - 六、已知微分方程y￠ygx),其中0,x>gx20￡x￡10,x>練習(xí)題答案一、1、yxC)e-sinx；2、2xlnyln2yC；3、xCy31y2.2二、1ysinx5ecosx1-2、2y=x3-x3