數(shù)學(xué)物理方法 格林函數(shù)法

數(shù)學(xué)物理方法格林函數(shù)法第1頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

格林（Green）函數(shù)，又稱為點(diǎn)源影響函數(shù)，是數(shù)學(xué)物理中的一個重要概念．格林函數(shù)代表一個點(diǎn)源在一定的邊界條件下和初始條件下所產(chǎn)生的場．知道了點(diǎn)源的場，就可以用疊加的方法計算出任意源所產(chǎn)生的場．

格林函數(shù)法是解數(shù)學(xué)物理方程的常用方法之一．14.1格林公式上具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù),

在區(qū)域

及其邊界

和中具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，應(yīng)用矢量分析的高斯定理(14.1.1)

單位時間內(nèi)流體流過邊界閉曲面S的流量單位時間內(nèi)V內(nèi)各源頭產(chǎn)生的流體的總量

第2頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月將對曲面

的積分化為體積分

(14.1.2)以上用到公式稱上式為第一格林公式．同理有

(14.1.3)上述兩式相減得到

第3頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月表示沿邊界

的外法向偏導(dǎo)數(shù)．稱式（14.1.4）為第二格林公式．進(jìn)一步改寫為（14.1.4）第4頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月14.2泊松方程的格林函數(shù)法討論具有一定邊界條件的泊松方程的定解問題．

泊松方程(14.2.1)

邊值條件

（14.2.2）是區(qū)域邊界

上給定的函數(shù).是第一、第二、第三類邊界條件的統(tǒng)一描述

第5頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月典型的泊松方程（三維穩(wěn)定分布）邊值問題

(14.2.3)表示邊界面

上沿界面外法線方向的偏導(dǎo)數(shù)

一、格林函數(shù)的引入及其物理意義引入：為了求解定解問題（14.2.3），我們必須定義一個與此定解問題相應(yīng)的格林函數(shù)它滿足如下定解問題，邊值條件可以是第一、二、三類條件：

第6頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月（14.2.4）

代表三維空間變量的

函數(shù)，在直角坐標(biāo)系中其形式為

（14.2.4）式中函數(shù)前取負(fù)號是為了以后構(gòu)建格林函數(shù)方便格林函數(shù)的物理意義【2】：在物體內(nèi)部（內(nèi)）處放置一個單位點(diǎn)電荷，而該物體的界面保持電位為零,那么該點(diǎn)電荷在物體內(nèi)產(chǎn)生的電勢分布，就是定解問題(14.2.4)的解――格林函數(shù)．由此可以進(jìn)一步理解通常人們?yōu)槭裁捶Q格林函數(shù)為點(diǎn)源函數(shù)．

第7頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

格林函數(shù)互易定理：

因?yàn)楦窳趾瘮?shù)

代表

處的脈沖（或點(diǎn)源）在

處所產(chǎn)生的影響（或所產(chǎn)生的場）,所以它只能是距離

的函數(shù),

故它應(yīng)該遵守如下的互易定理：（14.2.5）

根據(jù)格林公式（14.1.4）

令得到

（14.2.6）即為

(14.2.7)第8頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)函數(shù)性質(zhì)有：

(14.2.8)故有

(14.2.9)稱式(14.2.9)為泊松方程的基本積分公式．

格林函數(shù)滿足互易定理

并利用格林函數(shù)的對稱性則得到

（14.2.10）

第9頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

二、解的基本思想

通過上面解的形式（14.2.9）我們?nèi)菀子^察出引用格林函數(shù)的目的：主要就是為了使一個非齊次方程(14.2.1)與任意邊值問題（14.2.2）所構(gòu)成的定解問題轉(zhuǎn)化為求解一個特定的邊值問題（14.2.4）.一般后者的解容易求得，通（14.2.9）即可求出（14.2.1）和（14.2.2）定解問題的解．

考慮格林函數(shù)所滿足的邊界條件討論如下：

第一類邊值問題：（14.2.11）相應(yīng)的格林函數(shù)是下列問題的解：

（14.2.12）第10頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

考慮到格林函數(shù)的齊次邊界條件，由公式（14.2.9）可得第一類邊值問題的解

（14.2.13）另一形式的第一類邊值問題的解

(14.2.14)第11頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2.第二類邊值問題

相應(yīng)的格林函數(shù)是下列問題的解：（14.2.15）

（14.2.16）由公式（14.2.9）可得第二類邊值問題解

（14.2.17）第12頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月3.第三類邊值問題

相應(yīng)的格林函數(shù)是下列問題的解：（14.2.18）（14.2.19）（14.2.18）的邊值條件，兩邊同乘以格林函數(shù)第13頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月（14.2.19）的邊值條件的兩邊同乘以函數(shù)得

相減得到代入（14.2.9）得到第三類邊值問題的解

(14.2.20)利用格林函數(shù)的互易性則得到

(14.2.21)第14頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月這就是第三邊值問題解的積分表示式．右邊第一個積分表示區(qū)域

中分布的源

在點(diǎn)產(chǎn)生的場的總和.第二個積分則代表邊界上的狀況對

點(diǎn)場的影響的總和．兩項(xiàng)積分中的格林函數(shù)相同．這說明泊松方程的格林函數(shù)是點(diǎn)源在一定的邊界條件下所產(chǎn)生的場．對于拉普拉斯方程

第一邊值問題的解為

(14.2.22)第三邊值問題的解為

(14.2.23)第15頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月14.3無界空間的格林函數(shù)基本解無界區(qū)域這種情形公式（14.2.10）中的面積分應(yīng)為零，故有

(14.3.1)選取和分別滿足下列方程

(14.3.2)

(14.3.3)

第16頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月一、三維球?qū)ΨQ對于三維球?qū)ΨQ情形，我們選取

對（14.3.3）式兩邊在球內(nèi)積分

（14.3.4）

（14.3.5）利用高斯定理（14.1.1）得到

(14.3.6)第17頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

故有

使上式恒成立，有

因此，,故得到

第18頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月對于三維無界球?qū)ΨQ情形的格林函數(shù)可以選取為

（14.3.7）

代入（14.3.1）得到三維無界區(qū)域問題的解為

（14.3.8）上式正是我們所熟知的靜電場的電位表達(dá)式

第19頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月二、二維軸對稱情形用單位長的圓柱體來代替球．積分在單位長的圓柱體內(nèi)進(jìn)行，即因?yàn)橛捎?/p>

只是垂直于軸，且向外的分量，所以上式在圓柱體上、下底的面積分為零，只剩下沿側(cè)面的積分，即

第20頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月選取的圓柱的高度為單位長，則很容易得到下面的結(jié)果

令積分常數(shù)為0，得到

因此二維軸對稱情形的格林函數(shù)為

（14.3.9）

將（14.3.9）代入式（14.3.1）得到二維無界區(qū)域的解為第21頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月14.4用電像法確定格林函數(shù)用格林函數(shù)法求解的主要困難還在于如何確定格林函數(shù)本身

一個具體的定解問題，需要尋找一個合適的格林函數(shù)

為了求解的方便，對一些具體問題我們給出構(gòu)建格林函數(shù)的方法一、電像法定義

考慮一個具體的物理模型：設(shè)在一接地導(dǎo)體球內(nèi)的

放置一個單位正電荷，求在體內(nèi)的電勢分布，并滿足邊界條件為零

點(diǎn)第22頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月對于第一類邊值問題，其格林函數(shù)可定義為下列定解問題的解

（14.4.1）

為了滿足邊界條件：電勢為零，所以還得在邊界外像點(diǎn)（或?qū)ΨQ點(diǎn)）放置一個合適的負(fù)電荷，這樣才能使這兩個電荷在界面上產(chǎn)生的電勢之和為零

這方法是基于靜電學(xué)的鏡像原理來構(gòu)建格林函數(shù)，所以我們稱這種構(gòu)建方法為電像法（也稱為鏡像法）．

第23頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月二、上半平面區(qū)域第一邊值問題的格林函數(shù)構(gòu)建拉普拉斯方程的第一邊值問題求解物理模型：若在處放置一正單位點(diǎn)電荷

則虛設(shè)的負(fù)單位點(diǎn)電荷應(yīng)該在

于是得到這兩點(diǎn)電荷在xoy的上半平面的電位分布．也就是本問題的格林函數(shù)，即為

（14.4.2）

第24頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月?lián)鲜鑫锢砟Ｐ涂汕蠼庀铝卸ń鈫栴}

例1

定解問題：

解：

根據(jù)第一邊值問題，構(gòu)建的格林函數(shù)滿足

處放置于一個正和一個負(fù)的點(diǎn)電荷（或點(diǎn)源）

構(gòu)建格林函數(shù)為

第25頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月邊界外法線方向?yàn)樨?fù)軸，故有

代入到拉普拉斯第一邊值問題解的公式（14.2.13），拉普拉斯方程的自由項(xiàng),則由得

(14.4.3)第26頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月或代入拉普拉斯方程的第一邊值問題的解公式（14.2.22）得到

(14.4.4)公式（14.4.3）或（14.4.4）稱為上半平面的拉普拉斯積分公式．第27頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月三、泊松方程的第一邊值問題求解

例2

定解問題：

根據(jù)第一類邊值問題的解公式(14.2.14)得到

（14.4.5）第28頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)半平面區(qū)域第一類邊值問題的格林函數(shù)(14.4.2)式，得到

(14.4.6)

因?yàn)檫吔缟系姆ň€為負(fù)y軸，故

(14.4.7)將（14.4.6）和(14.4.7)代入（14.4.5）得到泊松方程在半平面區(qū)域第一邊值問題的解第29頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月四、上半空間內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題物理模型:

第30頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例.3

在上半空間內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題

解：構(gòu)建格林函數(shù)滿足第31頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)物理模型和無界區(qū)域的格林函數(shù)可以構(gòu)建為

(14.4.8)

即有

第32頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月為了把代入拉普拉斯第一邊值問題的解的公式（14.2.22），需要先計算即為

第33頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月代入（14.2.22）即得到

這公式叫作半空間的拉普拉斯積分．

（14.4.9）第34頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月五、圓形區(qū)域第一邊值問題的格林函數(shù)構(gòu)建物理模型2：在圓內(nèi)任找一點(diǎn)

放置一個單位第35頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)圖14.2，這兩線電荷在圓內(nèi)任一觀察點(diǎn)所產(chǎn)生的電勢為當(dāng)觀察點(diǎn)位于圓周上時，應(yīng)該有，即滿足第一類齊次邊值條件,

即為第36頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月上式應(yīng)對任何值成立，所以上式對的導(dǎo)數(shù)應(yīng)為零，即即得到

要求上式對任意的值要成立，故提供了確定的方程第37頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

聯(lián)立解得

于是圓形區(qū)域的第一類邊值問題的格林函數(shù)為

（14.4.10）

即為

(14.4.11).其中第38頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例.4

求解如下泊松方程定解問題

根據(jù)第一類邊值問題解的公式(14.2.14)，并取沿垂直于圓的方向取單位長積