曲線擬合的最小二乘法

曲線擬合的最小二乘法第1頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月況且，有時根據(jù)前人的經(jīng)驗(yàn)或數(shù)據(jù)的特點(diǎn)可以分析出經(jīng)驗(yàn)公式的大致形式，只是其中有些參數(shù)需要依據(jù)確定，不便使用插值逼近。這就需要新的逼近方法。引例、某種合成纖維的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)有直接關(guān)系，下表是實(shí)際測定的24個纖維樣品的強(qiáng)度與相應(yīng)拉伸倍數(shù)的記錄。第2頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)據(jù)表格第3頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月將數(shù)據(jù)描繪到坐標(biāo)紙上第4頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月這種逼近方法要求：1)不要求逼近函數(shù)嚴(yán)格過已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)；2)但要求逼近函數(shù)在某種意義下盡可能靠近已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)；第5頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月f(x)為定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)，已知f(x)的一組對應(yīng)數(shù)據(jù)(xi

，f(xi))，(i=1,2,……,m),＝span{0，1，……，n}為某一函數(shù)類，這一問題稱為最小二乘問題。其中(x)稱為權(quán)函數(shù)。曲線擬合的最小二乘法定義在中求一個函數(shù)s(x)=a00

+a11

+…+ann使得第6頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月即要求：最小。當(dāng)取權(quán)函數(shù)(x)1

時有第7頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月由于它關(guān)于系數(shù){a0，a1

，…，an}最小，因此有：記稱為函數(shù)k和j的內(nèi)積。第8頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月則有于是有方程組：法方程由的線性無關(guān)性，知道該方程存在唯一解第9頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月多項(xiàng)式擬合當(dāng)取0

＝1，1＝x，……，n＝xn時,s(x)=a0+a1

x+…+anxn為一個多項(xiàng)式。此時法方程為第10頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月1.線性擬合已知f(x)的一組對應(yīng)數(shù)據(jù)(xi

，f(xi))，(i=1,2,……,m),取＝span{1，x}，求函數(shù):y=a+bx擬合曲線f(x)。法方程為第11頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例：煉鋼是個氧化脫碳的過程，鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時間的長短，下表給出某廠平爐生產(chǎn)的記錄。xi表示熔畢碳的含量，yi表示冶煉時間，已知y=a+bx。i12345xi165123150123141yi187126170125148試根據(jù)數(shù)據(jù)確定參數(shù)a

和b

，并估計熔畢碳的含量為130時的冶煉時間。第12頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月i12345xi165123150123141702yi187126170125148758xi2272251512922500151291988199864xiyi3085515498255001537520868108096法方程：5a+702b=758，

702a+99864b=108096解之得：a=-28.61878453038674,b=1.283609576427256

y＝-28.61878453038674+1.283609576427256x解：準(zhǔn)備數(shù)據(jù)：第13頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月f(130)138.25.第14頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2.拋物擬合已知f(x)的一組對應(yīng)數(shù)據(jù)(xi

，f(xi))，(i=1,2,……,m),?。絪pan{1，x，x2}，求函數(shù):y=a+bx+cx2擬合曲線f(x)。法方程為第15頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月擬合函數(shù)類型常常是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或理論推導(dǎo)的結(jié)果來選擇的。當(dāng)無法分析擬合函數(shù)的類型時，可根據(jù)已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖的分布情況和特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)臄M合曲線類型。下面給出幾種常用曲線的圖形，并可通過適當(dāng)變換將其化為較簡單的擬合：幾種常見曲線擬合的線性化第16頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月1.雙曲線：

(a>0)第17頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2.指數(shù)函數(shù)：第18頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3．指數(shù)函數(shù)：

(a>0)第19頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月4．對數(shù)函數(shù)：第20頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月5．冪函數(shù)：第21頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月6．S曲線第22頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)有一組測量數(shù)據(jù)如下表：xi0.00.51.01.52.02.5yi=f(xi)2.01.00.90.60.40.3

用曲線擬合的最小二乘法求形如y=beax的經(jīng)驗(yàn)公式，并用該公式估計x＝1.4時的y=f(1.4)的近似值.例第23頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月解：將y=beax變形，lny=lnb+ax令Y=lny,a0=lnb,則有線性關(guān)系：Y=a0+ax，準(zhǔn)備數(shù)據(jù)：于是法方程為：解之得：a0=0.562303,a=-0.722282,于是b＝1.754709.經(jīng)驗(yàn)公式為y=1.754709e

-0.722282x，y=f(1.4)0.68335第24頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月散點(diǎn)圖第25頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月擬合曲線圖第26頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月擬合曲線圖與散點(diǎn)圖對照第27頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月加入點(diǎn)y=f(1.4)0.68335第28頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月電容器充電后電壓達(dá)到100V，然后考試放電，經(jīng)檢測得到時間t與電壓u的一組數(shù)據(jù)如下：試建立電壓u與時間t之間的函數(shù)關(guān)系，并測算t=3.2時的電壓u為多少？例t012345678910u100755540302015101055第29頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月散點(diǎn)圖可作形如：u=Beat的經(jīng)驗(yàn)公式。第30頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

Sumt01234567891055u100755540302015101055

U=lnu4.6054.3174.0073.6883.4012.9952.702.3022.3021.60941.60933.54t^20149162536496481100385t*U04.3178.01411.0613.614.9716.2416.1118.42014.48416.09133.34數(shù)據(jù)法方程組解之得b=4.61303,a=-0.312645.于是B=100.789,得經(jīng)驗(yàn)公式：u=100.789e-0.312645第31頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月第32頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月第33頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月對機(jī)床廠問題作二次擬合得擬合曲線為第34頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月作三次擬合得擬合曲線為第35頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月下表是2004年8月11日男子賽跑奧運(yùn)會紀(jì)錄x1002004008001500y9.8419.3243.49102.58212.07試建立當(dāng)今成年男子賽跑所需時間與距離之間的函數(shù)關(guān)系，并測算男子1000米賽跑奧運(yùn)會紀(jì)錄大概為多少？例題第36頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月拋物擬合：T(x)=-3.576+0.11532x+0.0000191035x2T(1000)=130.847注意：作二次擬合時數(shù)據(jù)較大，處理困難，可換算單位將距離除以100處理，只需回代時換算回去即可。第38頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月第39頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2.冪函數(shù)擬合：T(x)=0.0410863x1.14587T(1000)=112.541第40頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月第41頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)用實(shí)例：上海機(jī)床廠為客戶加工一個壓軸，要求壓軸邊緣曲線過下列各點(diǎn)，試設(shè)計壓軸邊緣曲線的方程。x0125250375500612750870100011251250y0-0.01-0.02-0.028-0.036-0.043-0.049