數(shù)學建模穩(wěn)定性問題

數(shù)學建模穩(wěn)定性問題第1頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月一般的微分方程或微分方程組可以寫成：定義稱微分方程或微分方程組為自治系統(tǒng)或動力系統(tǒng)。（3.28）

若方程或方程組f(x)=0有解Xo，X=Xo顯然滿足（3.28）。稱點Xo為微分方程或微分方程組（3.28)的平衡點或奇點。第2頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月例Logistic模型共有兩個平衡點：N=0和N=K，分別對應微分方程的兩兩個特殊解。前者為No=0時的解而后者為No=K時的解。

當No<K時，積分曲線N=N(t)位于N=K的下方；當No>K時，則位于N=K的上方。從圖3中不難看出，若No>0，積分曲線在N軸上的投影曲線（稱為軌線）將趨于K。這說明，平衡點N=0和N=K有著極大的區(qū)別。定義1自治系統(tǒng)的相空間是指以（x1,…,xn）為坐標的空間Rn。特別，當n=2時，稱相空間為相平面?？臻gRn的點集{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)滿足(3.28)，i=1,…,n}稱為系統(tǒng)的軌線，所有軌線在相空間的分布圖稱為相圖。第3頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月定義2設x0是（3.28）的平衡點，稱：（1）x0是穩(wěn)定的，如果對于任意的ε>0，存在一個δ>0，只要|x(0)-x0|<δ，就有|x(t)-x0|<ε對所有的t都成立。（2）x0是漸近穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的且。

微分方程平衡點的穩(wěn)定性除了幾何方法，還可以通過解析方法來討論，所用工具為以下一些定理。（3）x0是不穩(wěn)定的，如果（1）不成立。根據(jù)這一定義，Logistic方程的平衡點N=K是穩(wěn)定的且為漸近穩(wěn)定的，而平衡點N=0則是不穩(wěn)定的。第4頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月解析方法定理1設xo是微分方程的平衡點：若,則xo是漸近穩(wěn)定的若,則xo是漸近不穩(wěn)定的證由泰勒公式，當x與xo充分接近時，有：由于xo是平衡點，故f(xo)=0。若，則當x<xo時必有f(x)>0，從而x單增；當x>xo時，又有f(x)<0，從而x單減。無論在哪種情況下都有x→xo，故xo是漸進穩(wěn)定的。的情況可類似加以討論。高階微分方程與高階微分方程組平衡點的穩(wěn)定性討論較為復雜，大家有興趣可參閱微分方程定性理論。我們簡單介紹一下兩階微分方程組平衡點的穩(wěn)定性判別方法。第5頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月考察兩階微分方程組：（3.29）

令，作一坐標平移，不妨仍用x記x’，則平衡點xo的穩(wěn)定性討論轉(zhuǎn)化為原點的穩(wěn)定性討論了。將f(x1,x2)、g(x1,x2)在原點展開，（3.29）又可寫成:考察（3.29）的線性近似方程組:（3.30）其中：第6頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月記λ1、λ2為A的特征值則λ1、λ2是方程：det（A-λI）=λ2-(a+b)λ+(ad–bc)=0的根令p=a+d,q=ad-bc=|A|，則，記。討論特征值與零點穩(wěn)定的關(guān)系（1）若△>0，可能出現(xiàn)以下情形：

①若q>0，λ1λ2>0。當p>0時，零點不穩(wěn)定；當p<0時，零點穩(wěn)定若q<0，λ1λ2<0

當c1=0時，零點穩(wěn)定當c1≠0時,零點為不穩(wěn)定的鞍點③q=0，此時λ1=p，λ2=0，零點不穩(wěn)定。（2）△=0，則λ1=λ2:

λ有兩個線性無關(guān)的特征向量當p>0時，零點不穩(wěn)定當p<0時，零點穩(wěn)定第7頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月②如果λ只有一個特征向量當p≥0時，零點不穩(wěn)定當p>0時，零點穩(wěn)定（2）△<0，此時若a>0，零點穩(wěn)定若a=0，有零點為中心的周期解

綜上所述：僅當p<0且q>0時，（3.30）零點才是漸近穩(wěn)定的；當p=0且q>0時（3.30）有周期解，零點是穩(wěn)定的中心（非漸近穩(wěn)定）；在其他情況下，零點均為不穩(wěn)定的。非線性方程組（3.29）平衡點穩(wěn)定性討論可以證明有下面定理成立:定理2若（3.30）的零點是漸近穩(wěn)定的，則（3.29）的平衡點也是漸近穩(wěn)定的；若（3.30）的零點是不穩(wěn)定的，則（3.29）的平衡點也是不穩(wěn)定的。第8頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月第9頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月高維幾乎線性微分方程組的穩(wěn)定性關(guān)于本節(jié)前邊所討論的按線性近似決定平面幾乎線性近似系統(tǒng)的奇點的理論可以推廣到高維情況。但是高維系統(tǒng)相空間中軌線的相圖更加復雜，而實際問題往往更關(guān)心是解的穩(wěn)定性，所以下邊我們將主要討論按線性近似決定高階微分方程組零解的穩(wěn)定性問題。階常系數(shù)線性微分方程組為此先討論階線性方程組零解的穩(wěn)定性。第10頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月(5.4.27)的任一解均可表示為形如的線性組合，這里為系數(shù)矩陣的特征方程的根（為階單位陣），為的多項式，其次數(shù)低于所對應的初等因子的次數(shù)，由線性方程組解的理論可以得出如下定理。第11頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月定理5.2

系統(tǒng)(5.4.27)的系數(shù)矩陣的特征為

則(1)若均具有負實部，則系統(tǒng)(5.4.27)的零解是漸近穩(wěn)定的；(2)若中至少有一個具有正實部，則系統(tǒng)

(5.4.27)的零解是不穩(wěn)定的；(3)若中沒有正實部的根，但是有零根或零實部的純虛根，則當零根或零實部根的初等因子都是一次時(5.4.27)的零解是穩(wěn)定的。當零根或零實部的根中至少有一個的初等因子大于1時系統(tǒng)(5.4.27)的零解是不穩(wěn)定的。第12頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月特征方程的不容易求得，無法判斷其正負例5.4.4

研究方程組(5.4.28)零解的穩(wěn)定性。解方程組的系數(shù)矩陣為特征方程為第13頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月

Routh-Hurwitz判據(jù)定理5.3

對一元次常系數(shù)代數(shù)方程其中，做行列式式中，當時，則(5.4.30)的所有根均具有負實部的充要條件是的一切主子式都大于零，即下邊不等式同時成立：第14頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月

……

對于上邊例子中方程(5.4.29)，，故(5.4.29)的根均具有負實部，因此方程組(5.4.28)的零解是漸近穩(wěn)定的。第15頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月定義同(5.4.27)，下面考慮非線性微分方程組(5.4.31)其中第16頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月且滿足及。這時(5.4.31)也稱為幾乎線性系統(tǒng)，且是其解。定理5.4

若的所有特征根均具有負實部，則(5.4.31)的零解是漸近穩(wěn)定的。若的特征根中至少有一個具有正實部，則系統(tǒng)(5.4.31)的零解是不穩(wěn)定的。第17頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.4.5

討論非線性方程組的零解的穩(wěn)定性。解原方程組在原點處的線性近似方程組的系數(shù)矩陣為第18頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月容易求出它的3個特征根為有一個正實根，而非線性項滿足(5.4.32)，因此由定理5.4知系統(tǒng)(5.4.33)的零解是不穩(wěn)定的。說明：(1)由定理5.3得到的常系數(shù)的線性方程組的穩(wěn)定性是大范圍的，而由定理5.4得到的非線性方程組的穩(wěn)定性是小范圍的。(2)當系統(tǒng)(5.4.31)的線性近似系統(tǒng)(5.4.27)