結(jié)構(gòu)動力學(xué)多自由系統(tǒng)的振動課件

2023/7/231

多層房間的側(cè)向振動、不等高排架的振動、塊式基礎(chǔ)的水平回轉(zhuǎn)振動等，作為多自由度體系進行分析。（multi-degreeoffreedomsystem）2023/7/232

對具有無限個自由度的彈性結(jié)構(gòu)，精確地處理其振動問題：

有時是非常困難的，在某些情況下也并不必要。在某些特定條件下可對問題作一些簡化假定，使一個無限自由度體系離散為有限多個自由度體系，

使原來的問題變得容易求解，能獲得原結(jié)構(gòu)體系的主要屬性和特征。2023/7/233§3.1兩個自由度體系的自由振動

針對兩個自由度體系；介紹三種常用的方法：平衡力系法剛度法柔度法2023/7/2341、平衡力系法如圖，兩集中質(zhì)量和通過三個彈簧、和相互聯(lián)結(jié)，在任意一時刻它們偏離其平衡位置的水平位移分別為和2023/7/235根據(jù)兩質(zhì)量塊的平衡條件，可以得到：2023/7/236表示成矩陣形式：式中：整理：2023/7/237寫成一般形式：對于圖中結(jié)構(gòu)體系，有2023/7/238

假設(shè)兩個質(zhì)點為簡諧振動，上式的解設(shè)為：

位移振幅和，以及頻率和相位角均為待定參數(shù)。2023/7/2391）、在振動過程中，兩個質(zhì)點具有相同的頻率和相同的相位角。2）、在振動過程中，兩個質(zhì)點的位移在數(shù)值上隨時間而變化，但兩者的比值始終保持不變：2023/7/2310

主振型:結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動形式稱為主振型或振動模態(tài)（normalmode）。2023/7/2311

齊次方程有非零解的條件為其系數(shù)行列式等于零，即:

確定了固有頻率應(yīng)滿足的條件，稱為頻率方程或特征方程。（eigenequationorcharacteristicequation）利用這個方程可計算固有頻率2023/7/2312展開上式，求得的兩個根為:正實根，僅依賴于結(jié)構(gòu)體系的物理性質(zhì)，即質(zhì)量和彈簧剛度。2023/7/2313具有兩個自由度的體系共有兩個自振頻率，表示其中最小的圓頻率，稱為第一圓頻率或基本圓頻率（fundamentalfrequency）；稱為第二圓頻率。2023/7/2314

比值所確定的振動形式就是與第一圓頻率相應(yīng)的振型，稱為第一振型或基本振型（fundamentalmode）分析頻率各自對應(yīng)的振型2023/7/2315

和表示第二振型中質(zhì)點1和2的振幅。下標(biāo)與質(zhì)量和相對應(yīng)，上標(biāo)表示模態(tài)號碼。由于模態(tài)方程是齊次的，所以及只有相對關(guān)系。2023/7/2316

主振動:結(jié)構(gòu)體系以某一階固有頻率按其相應(yīng)的主振型作振動，稱為體系的主振動。各點同時經(jīng)過靜平衡位置，并同時到達(dá)最大偏移位置，以確定的頻率和振型作簡諧振動。一般情況下，體系的自由振動不是主振動，而是兩種不同頻率及其振型的組合振動:2023/7/2317方程的全解:其中，、、和由初始條件確定。2023/7/23182、剛度法

(a)具有兩個集中質(zhì)量的結(jié)構(gòu)體系，兩個自由度，

(b)為和的隔離體圖。根據(jù)達(dá)朗伯原理，平衡方程為：2023/7/23192023/7/2320

彈性力和是質(zhì)量和與結(jié)構(gòu)之間的相互作用力，

圖(b)中的和是質(zhì)點所受的力，圖(c)中的和是結(jié)構(gòu)所受的力，兩者的方向相反。結(jié)構(gòu)所受的力和與結(jié)構(gòu)的位移和之間應(yīng)滿足如下剛度方程:2023/7/2321

是結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)。如是使質(zhì)點2產(chǎn)生單位位移而質(zhì)點1保持為零時在質(zhì)點所需施加的作用力。2023/7/23222023/7/2323

3、柔度法以兩個自由度體系為例進行分析:2023/7/2324用柔度法建立自由振動微分方程的思路:

在自由振動過程中的任一時刻，質(zhì)量和的位移和應(yīng)當(dāng)?shù)扔隗w系在慣性力和作用下所產(chǎn)生的靜力位移。2023/7/2325

是結(jié)構(gòu)體系的柔度系數(shù)(flexibilitycoefficient)，即體系在點j承受單位力時，在點i產(chǎn)生的位移。設(shè)解的形式為:2023/7/2326

主振型的位移幅值就是結(jié)構(gòu)體系在此主振型慣性力幅值作用下所引起的靜力位移。2023/7/2327

令系數(shù)行列式等于零，可得到和的非零解，即:用柔度系數(shù)表示的頻率方程或特征方程。2023/7/2328求得固有圓頻率的兩個值為:解出的兩個根2023/7/2329體系的第一階主振型:2023/7/2330體系的第二階主振型:2023/7/2331總結(jié)：在多自由體系自由振動問題中4）體系的自振頻率和主振型是體系本身的固有性質(zhì)。自振頻率只與體系本身的剛度系數(shù)和質(zhì)量分布有關(guān)，與外荷無關(guān)。3）每個自振頻率有其相應(yīng)的主振型；2）振動頻率個數(shù)與自由度個數(shù)一致，自振頻率可通過特征方程計算；1）主要問題是確定體系全部自振頻率及其相應(yīng)主振型2023/7/2332例3-1

試分析圖示結(jié)構(gòu)體系的固有頻率和振型。已知：。解：體系的運動方程為：2023/7/2333體系的運動方程為：設(shè)方程的解為：2023/7/2334上式有非零解的條件是系數(shù)行列式為零：展開行列式，可以求得2023/7/2335計算振型：其中對應(yīng)于第一階頻率對應(yīng)于第二階頻率。2023/7/2336

第一模態(tài)（振型）為兩個質(zhì)量一起振動，無相對位移，中間一個彈簧不起作用，只有第一和第三個彈簧起作用，其結(jié)果類似于質(zhì)量為2m、彈簧系數(shù)為2k的單自由度體系的振動；以橫坐標(biāo)表示系統(tǒng)的靜平衡位置，縱坐標(biāo)表示各點的振幅，體系的主振型圖。第二模態(tài)（振型）為兩個質(zhì)量作相反振動，中間一個彈簧的中點始終不動。2023/7/2337例3-2

圖示兩層剛架，其橫梁EI=。設(shè)質(zhì)量集中在