抽樣與參數(shù)估計(jì)-課件

第9講抽樣與參數(shù)估計(jì)一﹑抽樣方法抽樣概率抽樣非概率抽樣簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣分層抽樣等距抽樣整群抽樣判斷抽樣定額抽樣滾雪球抽樣2020/12/211.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(SimpleRandomSampling)

一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(n≤N),如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。假設(shè)要對(duì)某食品店內(nèi)的一批小包裝餅干進(jìn)行衛(wèi)生達(dá)標(biāo)檢驗(yàn)，我們只能從中抽取一定數(shù)量的餅干作為檢驗(yàn)的樣本。得到樣本餅干的一個(gè)方法是，將這批小包裝餅干放入一個(gè)不透明的袋子中，攪拌均勻，然后不放回地摸取(這樣可以保證每一袋餅干被抽中的機(jī)會(huì)相等)，這樣我們就可以得到一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。抽簽法(抓鬮法):例如，高一（2）班有45名學(xué)生，現(xiàn)要從中抽出8名學(xué)生去參加一個(gè)座談會(huì)，每名學(xué)生的機(jī)會(huì)相等。我們可以把45名學(xué)生的學(xué)號(hào)寫在小紙片上，揉成小球，放到一個(gè)不透明袋子中，充分?jǐn)嚢韬?，再從中逐個(gè)抽出8個(gè)號(hào)簽，從而抽出8名參加座談會(huì)的學(xué)生。2020/12/22精品資料3你怎么稱呼老師？如果老師最后沒有總結(jié)一節(jié)課的重點(diǎn)的難點(diǎn)，你是否會(huì)認(rèn)為老師的教學(xué)方法需要改進(jìn)？你所經(jīng)歷的課堂，是講座式還是討論式？教師的教鞭“不怕太陽曬，也不怕那風(fēng)雨狂，只怕先生罵我笨，沒有學(xué)問無顏見爹娘……”“太陽當(dāng)空照，花兒對(duì)我笑，小鳥說早早早……”42.分層抽樣法(類型抽樣：StratifiedSampling)

一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣法．假設(shè)某地區(qū)有高中生2400人，初中生10900人，小學(xué)生11000人．此地區(qū)教育部門為了了解本地區(qū)中小學(xué)生的近視情況及形成原因，要從本地區(qū)中小學(xué)生中抽取１％的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．由于樣本容量與總體的個(gè)體數(shù)的比是1:100,因此,樣本中包含的各部分的個(gè)體數(shù)應(yīng)該是

2400/10010900/10011000/100即抽取24名高中生，109名初中生和110名小學(xué)生作為樣本．2020/12/253.等距抽樣(系統(tǒng)抽樣:SystematicSampling)

等距抽樣是在總體中每隔一定距離選取一個(gè)樣本，即從數(shù)量為Ｎ的總體中每隔k個(gè)單位就選取一個(gè)樣本，若需選擇n個(gè)樣本，則取k=N/n,k的值需取整．(如遇到N/n不是整數(shù)的情況，可以先從總體中隨機(jī)地剔除幾個(gè)個(gè)體，使得總體中剩余的個(gè)體數(shù)能被樣本容量整除)某學(xué)校為了了解高一年級(jí)學(xué)生對(duì)教師教學(xué)的意見，打算從高一年級(jí)500名學(xué)生中抽取50名進(jìn)行調(diào)查．首先將這500名學(xué)生從1開始進(jìn)行編號(hào)，然后按號(hào)碼順序以一定的間隔進(jìn)行抽?。捎?00/50=10,這個(gè)間隔可以定為10,即從號(hào)碼為1～10的第一間隔中隨機(jī)地抽取一個(gè)號(hào)碼，假如抽到6號(hào)，然后從第6號(hào)開始，每隔10個(gè)號(hào)碼抽取一個(gè)，得到

6,16,26,36,···,496這樣我們就得到一個(gè)容量為50的樣本．2020/12/264.整群抽樣(ClusterSampling)

整群抽樣就是從總體中成群成組地抽取調(diào)查單位，而不是一個(gè)一個(gè)地抽取調(diào)查單位。整群抽樣與分層抽樣有相似之處，即它們的第一步都是根據(jù)某種標(biāo)準(zhǔn)將總體劃分為一些子群。分層抽樣是在所有子群中均要抽取樣本，作為總體樣本的一部分。而整群抽樣則不然，它是抽取若干子群并將抽出的子群中全部個(gè)體作為樣本，因此總體樣本只分布在幾個(gè)群中。某大學(xué)共有100個(gè)班級(jí)，每班30人，共3000人。現(xiàn)要抽300人作為樣本，就可以采取隨機(jī)的辦法抽10個(gè)班。整群抽樣的優(yōu)點(diǎn)是可以簡(jiǎn)化抽樣的過程；降低收集資料的費(fèi)用；擴(kuò)大抽樣的應(yīng)用。其缺點(diǎn)是樣本分布不均勻，樣本的代表性較差。2020/12/275.方便抽樣(ConvenienceSampling)

方便抽樣又稱為就近抽樣、偶遇抽樣和自然抽樣，它是一種非概率抽樣方法。

方便抽樣是指調(diào)查者根據(jù)現(xiàn)實(shí)情況，以自己方便的形式抽取偶然遇到的人作為調(diào)查對(duì)象，或者僅僅選擇那些離得最近的、最容易找到的人作為調(diào)查對(duì)象。為了調(diào)查某市的交通情況，研究者到離他最近的公共汽車站，把當(dāng)時(shí)正在那里等車的人選作調(diào)查對(duì)象。

在圖書館閱覽室對(duì)當(dāng)時(shí)正在閱讀的讀者進(jìn)行調(diào)查。2020/12/286.判斷抽樣(JudgmentSampling)

判斷抽樣又稱為主觀抽樣和立意抽樣，它是一種非概率抽樣方法。

判斷抽樣是根據(jù)合理的判斷而得到具有代表性的樣本的一種抽樣方法。如果判斷正確，使用判斷抽樣既節(jié)約時(shí)間又節(jié)省成本，但通常就一個(gè)判斷而言，有時(shí)出現(xiàn)判斷錯(cuò)誤是不可避免的。某記者可以抽取他認(rèn)為能夠代表所有參議員觀點(diǎn)的兩名或三名參議員進(jìn)行調(diào)查。2020/12/297.定額抽樣(配額抽樣：QuotaSampling)

定額抽樣是一種非概率抽樣方法。

定額抽樣與分層抽樣相似，也是按調(diào)查對(duì)象的某種屬性或特征將總體中所有個(gè)體分成若干類或?qū)樱缓笤诟鲗又谐闃?，樣本中各層（類）所占比例與他們?cè)诳傮w中所占比例一樣。定額抽樣的目的在于要抽選出一個(gè)總體的“模擬物”。

某高校有2000名學(xué)生，其中男生占60％，女生占40％；文科學(xué)生和理科學(xué)生各占50％；一年級(jí)學(xué)生占40％，二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)學(xué)生分別占30％、20％和10％。現(xiàn)要用定額抽樣方法依上述三個(gè)變量抽取一個(gè)規(guī)模為100人的樣本?？傻枚~表如下：

男生（60）女生（40）文科（30）理科（30）文科（20）理科（20）年級(jí)一二三四一二三四一二三四一二三四人數(shù)1296312963864286422020/12/2108.滾雪球抽樣(SnowballSampling)滾雪球抽樣是一種非概率抽樣方法。

在無法了解總體情況時(shí)，可以從總體中的少數(shù)成員入手，對(duì)他們進(jìn)行調(diào)查，向他們?cè)儐栠€知道哪些符合條件的人；再去找那些人并詢問他們知道的人。如同滾雪球一樣，我們可以找到越來越多具有相同性質(zhì)的群體成員。這樣的抽樣方法就是滾雪球抽樣方法。要研究退休老人的生活，可以清晨到公園去結(jié)識(shí)幾位散步老人，再通過他們結(jié)識(shí)其朋友，不用很久，你就可以交上一大批老年朋友。2020/12/211二﹑抽樣分布與參數(shù)估計(jì)1.正態(tài)分布與總體均值的區(qū)間估計(jì)

(1)正態(tài)分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量Ｘ的概率密度為其中μ,σ>0為常數(shù)，則稱Ｘ服從參數(shù)為μ,σ的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為Ｘ~Ｎ(μ,σ2).當(dāng)μ=0,σ=1時(shí)，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作Ｎ(0,1).

從經(jīng)驗(yàn)和理論的研究告訴我們，在實(shí)踐中遇到的隨機(jī)變量，有許多是服從或近似地服從正態(tài)分布律．

,f(X)=√2πσ1e-(x-μ)22σ2﹣∞<x<+∞2020/12/212正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)的曲線簡(jiǎn)稱為正態(tài)曲線．下圖給出３條正態(tài)曲線，它們的μ都等于零，但卻具有不同的σ值．從圖可以看出，正態(tài)曲線具有下述性質(zhì):1)

曲線是位于橫軸的上方，以直線x=μ為對(duì)稱軸，它向左右對(duì)稱地?zé)o窮伸延，并且以橫軸為漸進(jìn)線．當(dāng)x=μ時(shí)曲線處于最高點(diǎn)，當(dāng)x向左右遠(yuǎn)離μ時(shí)，曲線逐漸降低，整條曲線呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀．參數(shù)σ決定了正態(tài)曲線的形狀特點(diǎn)2020/12/213

(2)中心極限定理

設(shè)從均值為μ，方差為σ2的一個(gè)服從任意分布的總體中，抽取容量為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ，方差為σ2/n的正態(tài)分布．中心極限定理告訴我們，當(dāng)樣本總體不是正態(tài)分布或者總體的分布未知時(shí)，只要樣本容量n充分大，樣本均值就服從正態(tài)分布．那么n多大才叫充分大呢?當(dāng)總體的分布未知時(shí)，通常要求n≥30.2020/12/214

(3).σ2已知時(shí)，總體均值μ的區(qū)間估計(jì)

設(shè)(X1,X2,···,Xn)是來自正態(tài)總體Ｎ(μ,σ)的一個(gè)樣本，其中總體方差σ２已知，則統(tǒng)計(jì)量~N(0,1).對(duì)于給定的顯著性水平α(0<α<1),總體均值μ在置信水平1-α下的置信區(qū)間為:

2020/12/215本例中，雖然總體分布未知，但由于n=36,是大樣本情況，根據(jù)中心極限定理，樣本均值服從正態(tài)分布．已知:n=36,σ=1.2，1-α=0.98則α=0.02,差表得Z=2.33樣本均值Ｘ=[(3×14)+(4×8)+(2×6)+(5×5)+(1×2)+(6×1)]/36=3.31根據(jù)前面的公式，總體均值在置信水平98%下的置信區(qū)間為:=(3.31-2.33,3.31+2.33)=(2.84,3.78)也就是說，有98%的把握相信，顧客平均入住天數(shù)大約在2.8天與3.8天之間．2α(X-Z2σnX+Z)σ√nα2α√,1.2√361.2√36案例:

某飯店隨機(jī)抽取了36名顧客，對(duì)其入住天數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)調(diào)查，其中入住３天的有14人，入?。刺斓挠校溉耍胱。蔡斓挠校度耍胱。堤斓挠校等?，入住１天的有２人，入?。短斓挠校比?，假設(shè)其總體標(biāo)準(zhǔn)差為1.2，試構(gòu)建98%的置信區(qū)間，估計(jì)顧客的平均入住天數(shù)．2020/12/216n2020/12/2172.t分布與總體均值的區(qū)間估計(jì)

(1)t分布設(shè)(X1,X2,···,Xn)是來自正態(tài)總體N(μ,σ2)的一個(gè)樣本,而總體方差σ２未知，樣本均值,樣本方差為S２,

X=n1ΣXii=1nS2=n-11Σ(Xi-X)i=1n2t=X-μS/√nt=X-μS/√n~t(n-1).從圖可以看出t分布是對(duì)稱分布，當(dāng)n很大時(shí)(例如當(dāng)n>30時(shí))t分布和正態(tài)分布很接近．t分布通常是在小樣本情況下，總體方差未知時(shí)，對(duì)總體均值μ的估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)中使用．則選取統(tǒng)計(jì)量其中2020/12/218

(2)σ2未知時(shí)，總體均值μ的區(qū)間估計(jì)

設(shè)(X1,X2,···,Xn)是來自正態(tài)總體Ｎ(μ,σ)的一個(gè)樣本，但總體方差σ２未知，這時(shí)要選取統(tǒng)計(jì)量,

則

對(duì)于給定的顯著性水平α(0<α<1),總體均值μ在置信水平1-α下的置信區(qū)間為:

t=X-μS/√nt=X-μS/√n~t(n-1).2020/12/219

案例:研究者從人群中隨機(jī)抽取16人，調(diào)查他們的年出游天數(shù)，得到他們的年出游天數(shù)分別為13天﹑9天﹑

7天﹑

15天﹑

17天﹑

20天﹑

12天﹑

6天﹑

12天﹑

12天﹑

10天﹑9天﹑16天﹑

7天﹑

8天﹑

11天，假設(shè)其總體服從正態(tài)分布，試在α=0.1下建立年人均出游天數(shù)的置信區(qū)間.已知n=16,α=0.1

計(jì)算得:查表得:t=1.753

根據(jù)公式，總體均值μ在置信水平90%下的置信區(qū)間為:也就是說，有90%的把握相信，年人均出游天數(shù)大約在9.8天到13.2天之間．ΣXi=11.5X=n1i=1ni=1n(Xi-X)2√1n-1Σ

=3.96S=2α(X–t(n-1),α2S√nX+t(n-1))α2S√n11.5+1.7533.9616)=(11.5-1.7533.9616,=(9.77,13.24)2020/12/2202020/12/221

3.總體比例的區(qū)間估計(jì)

(1)樣本比例的分布樣本比例p是樣本中具有某種特征的單位數(shù)量Ｘ除以樣本中的單位總數(shù)n得到的.

總體中具有某種特征的單位占全部單位的比例稱為總體比例，記作p.

在大樣本情況下，樣本比例分布近似于正態(tài)分布．若從總體中抽取n個(gè)樣本，則樣本比例p的均值為p,p的方差為

p=nXn1p(1-p),即p~N(p,p(1-p))n1Z=√p-pp(1-p)n則統(tǒng)計(jì)量~N(0,1).2020/12/222

(2)總體比例的區(qū)間估計(jì)在

中，要確定p的區(qū)間估計(jì)，用p代替分母中的p,得到在1-α的置信水平下，總體比例p值的置信區(qū)間為:

在上式中，是點(diǎn)估計(jì)，

P(1-P)nZ=√p-p

是估計(jì)誤差．2020/12/223案例:航空公司的飛行時(shí)間和價(jià)格是商務(wù)旅行者選擇航班的重要因素，調(diào)查結(jié)果表明，商務(wù)旅行者一般將航空公司許諾的?？驼劭劭闯墒亲钪匾囊蛩兀谝粋€(gè)由1993名商務(wù)旅行者組成的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本中，有618人認(rèn)為折扣是他們最看好的東西．試在0.95的置信水平下，估計(jì)認(rèn)為折扣最有吸引力的人數(shù)所占的比例．=(0.29,0.33)p(1-p)n(p–Z

α2√,p(1-p)np+Z

α2√

已知,n=1993,p=618/1993=0.31,1-α=0.95查表得:Z2α=Z0.025=1.96由得知,認(rèn)為折扣最有吸引力的人數(shù)所占的比例為29%~33%之間.2020/12/224pp))2020/12/225

4.樣本容量的確定

(1)估計(jì)總體均值時(shí)，樣本容量的確定

在大樣本情況下，不論是正態(tài)總體還是非正態(tài)總體，在估計(jì)總體均值μ時(shí)，我們都選取統(tǒng)計(jì)量其中，Ｘ-μ就是估計(jì)誤差，記估計(jì)誤差為△，

△=X-μ,則得到估計(jì)總體均值μ時(shí)的樣本容量為:

X-μZ=σ/√n,

Z=σ/√n△2Zn=α2σ2△22020/12/226

案例:某飯店為了合理配置前臺(tái)接待人員，飯店管理部門需要了解接待一名顧客所花費(fèi)的時(shí)間，要求估計(jì)誤差不超過2分鐘，假定一名服務(wù)員接待一名顧客花費(fèi)時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差為4分鐘，問在99%的置信水平下，需要觀察多少名顧客?2Zα=Z0.005=2.58

查表得:n=α2σ2△2Z2=(2.58)2(4)222=26.6于是，已知估計(jì)誤差△=2,標(biāo)準(zhǔn)差σ=4,1-α=0.99,α=0.01即需要觀察27名顧客。2020/12/2272020/12/228(2)估計(jì)總體比例時(shí),樣本容量的確定估計(jì)樣本比例時(shí),選取統(tǒng)計(jì)量,估計(jì)誤差為△,△=p–p=Z2α√p(1-p)nP(1