平面問題有限元解法(公式推導(dǎo)講解)課件

平面問題的有限單元解法南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系7/23/2023-有限元單元法基本思想有限單元法的思想是將物體（連續(xù)的求解域）離散成有限個且按一定方式相互聯(lián)結(jié)在一起的單元組合，來模擬或逼近原來的物體，從而將一個連續(xù)的無限自由度問題簡化為離散的有限自由度問題求解的一種數(shù)值分析法。物體被離散后，通過對其中各個單元進(jìn)行單元分析，最終得到對整個物體的分析。有限單元法的分析步驟如下：物體離散化單元特性分析單元組集，整體分析求解未知節(jié)點的位移由節(jié)點的位移求解各單元的位移和應(yīng)力7/23/2023-基本變量uεσ

（位移）（應(yīng)變）（應(yīng)力）基本方程力的平衡方程幾何方程物理方程求解方法經(jīng)典解析半解析傳統(tǒng)數(shù)值解法現(xiàn)代數(shù)值解法（計算機(jī)硬件、規(guī)范化、標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)?；┪矬w變形及受力情況的描述三大方面三大方程即：σ=EεE彈性模量7/23/2023-有限元單元模型中幾個重要概念單元網(wǎng)格劃分中每一個小的塊體節(jié)點確定單元形狀、單元之間相互聯(lián)結(jié)的點節(jié)點力單元上節(jié)點處的結(jié)構(gòu)內(nèi)力載荷作用在單元節(jié)點上的外力（集中力、分布力）約束限制某些節(jié)點的某些自由度彈性模量（楊式模量）E泊松比（橫向變形系數(shù)）μ密度單元單元載荷節(jié)點節(jié)點力約束7/23/2023-平面問題有限單元法基本概念有限單元法(FEM)是20世紀(jì)50年代以來隨著計算機(jī)的廣泛應(yīng)用而發(fā)展起來的一種數(shù)值解法。簡單地說，就是用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求解彈性力學(xué)問題。平面問題的有限單元法求解將連續(xù)體變換成為離散化結(jié)構(gòu)。即將連續(xù)體劃分為有限多個有限大小的單元，這些單元僅在一些結(jié)點連接起來，構(gòu)成一個所謂離散化結(jié)構(gòu)。（對于平面問題，常用的單元是三角形單元）用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法進(jìn)行求解7/23/2023-有限元單元法分析步驟（一）結(jié)構(gòu)離散化

將結(jié)構(gòu)分成有限個小的單元體，單元與單元、單元與邊界之間通過節(jié)點連接。結(jié)構(gòu)的離散化是有限元法分析地第一步，關(guān)系到計算精度和效率，包括以下三個方面：單元類型的選擇。選定單元類型，確定單元形狀、單元節(jié)點數(shù)、節(jié)點自由度數(shù)等。單元劃分。網(wǎng)格劃分越細(xì)，節(jié)點越多，計算結(jié)果越精確，但計算量越大。網(wǎng)格加密到一定程度后計算精度提高就不明顯，對應(yīng)應(yīng)力變化平緩區(qū)域不必要細(xì)分網(wǎng)格。節(jié)點編碼。

注意：有限元分析的結(jié)構(gòu)已不是原有的物體或結(jié)構(gòu)物，而是由同樣材料、眾多單元以一定方式連接成的離散物體。所以，用有限元分析計算所獲得的結(jié)果是近似的（滿足工程要求即可）。7/23/2023-有限元單元法分析步驟（二）單元特性分析

選擇未知量模式選擇節(jié)點位移作為基本未知量時，稱為位移法；選節(jié)點力作為基本未知量時，稱為力法；取一部分節(jié)點位移和一部分節(jié)點力作為未知量，稱為混合法。分析單元力學(xué)性質(zhì)根據(jù)單元材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點數(shù)目、位置等，找出單元節(jié)點力和節(jié)點位移關(guān)系式，應(yīng)用幾何方程和物理方程建立力和位移的方程式，從而導(dǎo)出單元剛度矩陣。計算等效節(jié)點力作用在單元邊界上的表面力、體積力或集中力都需要等效地移到節(jié)點上去，即用等效力來替代所有作用在單元上的力。7/23/2023-有限元單元法分析步驟（三）整體分析集成整體節(jié)點載荷矢量F。結(jié)構(gòu)離散化后，單元之間通過節(jié)點傳遞力，作用在單元邊界上的表面力、體積力或集中力都需要等效地移到節(jié)點上去，形成等效節(jié)點載荷。將所有節(jié)點載荷按照整體節(jié)點編碼順序組集成整體節(jié)點載荷矢量。組成整體剛度矩陣K，得到總體平衡方程：引進(jìn)邊界約束條件，解總體平衡方程求出節(jié)點位移。

通過上述分析可以看出有限單元法的基本思想是“一分一合”，分是為了進(jìn)行單元分析，合是為了對整體的結(jié)構(gòu)進(jìn)行綜合分析。7/23/2023-彈性力學(xué)中的幾個基本概念作用于物體的外力可以分為體積力和表面力。體力：分布在物體體積內(nèi)的力，如重力、慣性力。為了表明物體在某一點P所受體力的大小和方向，在這一點取物體的一小部分，它包含P點，而它的體積為△V，作用于其上的體力為△F，則體力的平均集度為△F/△V。當(dāng)△V不斷減小，假定體力為連續(xù)分布，則△F/△V將趨于一定的極限f，即:這個極限矢量f就是該物體在P點所受體力在集度。f的方向就是△F的方向，矢量f在坐標(biāo)軸x,y,z上的投影fx,fy,fz稱為該物體在P點的體力分量，以沿坐標(biāo)軸正方向為正，沿坐標(biāo)軸負(fù)方向為負(fù)。7/23/2023-彈性力學(xué)中的幾個基本概念面力：分布在物體表面上的力，如流體壓力和接觸力。為了表明物體在某一點P所受面力的大小和方向，在這一點取物體表面的一小部分，它包含P點，而它的面積為△S，作用于其上的面力為△F，則面力的平均集度為△F/△S。當(dāng)△S不斷減小，假定體力為連續(xù)分布，則△F/△S將趨于一定的極限

，即:這個極限矢量

就是該物體在P點所受面力在集度。

的方向就是△F的方向，矢量

在坐標(biāo)軸x,y,z上的投影

稱為該物體在P點的面力分量，以沿坐標(biāo)軸正方向為正，沿坐標(biāo)軸負(fù)方向為負(fù)。7/23/2023-彈性力學(xué)中應(yīng)力的方向規(guī)定每一個面上的應(yīng)力可以分解為一個正應(yīng)力和兩個切應(yīng)力。正應(yīng)力用σ表示，加上一個下標(biāo)字母，表示作用面和作用方向。切應(yīng)力用τ表示，并加上兩個下標(biāo)字母，表示作用面和作用方向。前一個字母表示作用面垂直于哪一個坐標(biāo)軸，后一個字母表示作用方向沿著哪一個坐標(biāo)軸。7/23/2023-彈性力學(xué)中的基本假定連續(xù)性——假定整個物體的體積都被組成這個物體的介質(zhì)所填滿，不留任何空隙。完全彈性——假定物體在引起形變的外力被除去之后能恢復(fù)原形，而沒有任何剩余形變。均勻性——假定整個物體有同一材料組成的，物體的所有各部分具有相同的彈性。各向同性——假定物體的彈性在所有各個方向都相同。小變形——假定位移和形變是微小的，物體受力之后，整個物體所有各點的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸，因而應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1。7/23/2023-平面問題的基本理論任何一個實際的彈性力學(xué)問題都是空間問題，但是如果所考察的彈性體具有某種特殊的形狀，并且承受的是某些特殊的外力和約束，就可以把空間問題簡化為近似的平面問題。兩種典型的平面問題平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題7/23/2023-由于板很薄，外力不沿厚度變化，應(yīng)力沿板的厚度又是連續(xù)分布的，所以可以認(rèn)為在整個薄板的所有各點：只剩下平行于xy面的三個平面應(yīng)力分量，即：這種問題成為平面應(yīng)力問題。平面應(yīng)力問題設(shè)有很薄的等厚度薄板，只在板邊上受有平行于板面并不沿厚度變化的面力或約束。同時，體力也平行于板面不沿厚度變化。設(shè)薄板的厚度為δ。以薄板的中面為xy面，以垂直于中面的任何一直線為z軸。所以有：7/23/2023-只剩下平行于xy面的三個形變分量，即：這種問題成為平面應(yīng)變問題。由于z方向的位移處處為0，所以：，由于z方向的伸縮被阻止，一般平面應(yīng)變問題設(shè)有很長的柱形體，它的橫截面不沿長度變化，在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力或約束。同時，體力也平行于橫截面不沿長度變化。假想該柱體為無限長，以任一橫截面為xy面，以任一縱線為z軸，則所有一切應(yīng)力分量、形變分量和位移分量都不沿z方向變化，而只是xy的函數(shù)，所有各點的位移矢量都平行于xy面，這種問題稱為平面位移問題。由對稱條件可知：由胡克定律，相應(yīng)的切應(yīng)變：7/23/2023-三大基本方程根據(jù)靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，建立三套方程。平面問題中，根據(jù)微分體的平衡條件，建立平衡微分方程： (1-1)根據(jù)微分線段上形變與位移之間的幾何關(guān)系，建立幾何方程：

(1-2)根據(jù)應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系，建立物理方程： (1-3)(1-3‘)7/23/2023-平衡微分方程從彈性體中取出一個微分體，根據(jù)平衡條件導(dǎo)出應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系式，也就是平面問題的平衡微分方程。從彈性體中取出一個微小的正平行六面體，它在x和y方向的尺寸分別為dx和dy，在z方向的尺寸為一個單位長度。以x為投影軸，列出投影的平衡方程：約簡以后，兩邊除以dxdy，得：同理，以y為投影軸，列出投影的平衡方程，化簡得：7/23/2023-假定已知任一點P處坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量σx，σy，τxy=τyx。求經(jīng)過該點的，平行于z軸而傾斜于x軸和

y軸的任何傾斜面上應(yīng)力。從在P點附近取一個平面AB，它平行于上述斜面，并經(jīng)過P點劃出一個微小的三棱柱PAB。當(dāng)AB無限小而趨于P點時，平面AB上的應(yīng)力就成為斜面上的應(yīng)力。平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)設(shè)斜面AB的長度為ds，則PB面及A面的長度分別為lds及mds，而PAB的面積為

ldsmds/2，棱柱的厚度設(shè)為1。由x軸平衡條件，得：其中，fx為體力分量。將上式除以ds，并令ds趨于0（斜面AB趨于P點），即得：由y軸平衡條件，得：用n表示斜面AB的外法線方向，其方向余弦為：7/23/2023-幾何方程經(jīng)過彈性體內(nèi)的任意一點P，沿x軸和y軸的正方向取兩個微小長度的線段PA＝dx和PB＝dy。假定彈性體受力后，P,A,B三點分別移動到P’,A’,B’.線段PA的線應(yīng)變是：注:由于位移微小，y方向的位移v引起的PA的伸縮，是高一階微量，略去不計。線段PB的線應(yīng)變是：線段PA與

PB之間的直角的改變，即切應(yīng)變線段PA的轉(zhuǎn)角α是：線段PB的轉(zhuǎn)角β是：7/23/2023-物理方程在理想的彈性體中，形變分量和應(yīng)力分量之間的關(guān)系，在材料力學(xué)根據(jù)胡克定律導(dǎo)出如下：在平面應(yīng)力問題中，σz＝0，式變?yōu)椋涸谄矫鎽?yīng)變問題中，只要將上式中的E換為，μ換為就得到平面應(yīng)變問題的物理方程。7/23/2023-邊界條件若在su部分邊界上給定了約束位移分量和，則對于此邊界上的每一點，位移函數(shù)u和v應(yīng)滿足條件：其中（u）s和（v）s是位移的邊界值，和在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)。邊界條件表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。它可以分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：若在su部分邊界上給定了面力和，則由平衡條件得出平面應(yīng)力問題的應(yīng)力(或面力）邊界條件為：其中，l,m是邊界面外法線的方向余弦。7/23/2023-圣維南原理在求解彈性力學(xué)問題時，應(yīng)力分量、形變分量和位移分量必須滿足區(qū)域內(nèi)的三套基本方程，還必須滿足邊界上的邊界條件。但是，要使邊界條件得到完全滿足，往往遇到很大的困難。圣維南原理可為簡化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大方便。圣維南原理表明，如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢相同，對同一點的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計。7/23/2023-圣維南原理的應(yīng)用例，設(shè)有柱形構(gòu)件，在兩端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力F（a）。如果把一端或兩端的拉力變換為靜力等效的力，則只有虛線劃出的部分的應(yīng)力分布有顯著的改變，而其余部分所受影響是可以不計的。由于（d）圖中，面力連續(xù)分布，邊界條件簡單，應(yīng)力容易求得。其它三種情況，應(yīng)力難以求得。把d情況下的應(yīng)力解答應(yīng)用到其它三個情況，雖不能滿足兩端的應(yīng)力邊界條件，但仍然可以表明離桿端較遠(yuǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，而沒有顯著的誤差。圖e，構(gòu)件右端有位移邊界條件，，d情況的解答，不能滿足位移邊界條件，但e圖右端的面力，一定是合成為經(jīng)過截面形心的力F。所以把圖d情況的解答應(yīng)用于圖e時，仍然只是在靠近兩端處有顯著的誤差，而在離兩端較遠(yuǎn)之處，誤差可以不計。7/23/2023-圣維南原理的應(yīng)用(續(xù))例，厚度δ=1的梁中，左右兩端x=±l，的邊界面是正、負(fù)x面，其上作用有一般分布的面力。按照嚴(yán)格的應(yīng)力邊界條件，應(yīng)力分量在邊界上滿足：上式要求在邊界上y值不同的各點，應(yīng)力分量與對應(yīng)的面力分量必須處處相等，這種嚴(yán)格的條件是較難滿足的。當(dāng)1>>h時，x=±l是梁的邊界的一小部分，可以應(yīng)用圣維南原理，利用靜力等效條件來代替，即，使應(yīng)力的主矢量和主矩分別等于對應(yīng)的面力的主矢量和主矩。7/23/2023-圣維南原理的應(yīng)用(續(xù))應(yīng)力的主矢量和主矩的絕對值分別等于面力的主矢量和主矩的絕對值；面力的主矢量和主矩的方向就是應(yīng)力的主矢量和主矩的方向。7/23/2023-有限單元法中基本量的矩陣表示有限單元法(FEM)中，為了簡潔清晰地表示各個基本量以及它們之間的關(guān)系，也為了便于編制程序利用計算機(jī)進(jìn)行計算，廣泛采用矩陣表示和矩陣運算。平面問題中，物體受體力，可用體力列陣表示：(1)物體受面力，可用面力列陣表示：(2)3個應(yīng)力分量的應(yīng)力列陣表示：(3)3個形變分量的應(yīng)變列陣表示：(4)2個位移分量的位移列陣表示：(5)7/23/2023-彈性力學(xué)中基本方程的矩陣表示幾何方程的矩陣表示為： (6)物理方程矩陣表示為： (7)利用應(yīng)力列陣和應(yīng)變列陣（3）、（4）得： (8)其中矩陣 (9)只于彈性常數(shù)E及μ有關(guān)，稱為平面問題的彈性矩陣。7/23/2023-虛位移原理用u*和v*表示虛位移，用表示與該虛位移相應(yīng)的虛應(yīng)變。根據(jù)虛功方程：在虛位移過程中，外力在虛位移上所做的虛功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。對于厚度為t的薄板，虛功方程可用矩陣表示為：其中，分別為體力列陣，面力列陣和應(yīng)力列陣。為虛位移列陣為虛應(yīng)變列陣有限單元法中，作用于彈性體的各種外力常以作用于某些點的等效集中力來代替。在厚度為t的薄板上，設(shè)作用于i點的集中力沿x及y方向的分量為Fix,Fiy,作用于j點的力為Fjx,Fjy等。這些集中力以及它們相應(yīng)的虛位移用列陣表示為：7/23/2023-虛位移原理(續(xù))代入虛功方程，得：上式為集中力作用下的虛功方程。集中力列陣（13）虛位移列陣（14）外力在虛位移上所做的功為：7/23/2023-（1）取三角形單元的結(jié)點位移為基本位置量：

(a)其中，

稱為單元的結(jié)點位移列陣；（2）應(yīng)用插值公式，由單元結(jié)點位移求出單元的位移函數(shù)： (b)其中，N稱為形函數(shù)矩陣；（3）應(yīng)用幾何方程，由單元的結(jié)點位移求出單元的應(yīng)變： (c)其中，B是表示與之間關(guān)系的矩陣；三角形單元離散化結(jié)構(gòu)分析步驟7/23/2023-

(f)其中，F(xiàn)e

是單元的結(jié)點力，k稱為單元勁度列陣；

對三角形板單元，節(jié)點力為：

(e)

（5）應(yīng)用虛功方程，由單元的結(jié)點應(yīng)力求出單元的結(jié)點力。假設(shè)把單元和節(jié)點切開，對右圖中的i節(jié)點：節(jié)點對單元的作用力為節(jié)點力，作用于單元上。三角形單元離散化結(jié)構(gòu)分析步驟(續(xù)）（4）應(yīng)用物理方程，由單元的結(jié)點位移求出單元的應(yīng)力：

(d)其中，S稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣；

Fe是作用于單元的外力，此外，單元內(nèi)部還作用有應(yīng)力。根據(jù)虛功方程，可以將單元的節(jié)點力Fe用應(yīng)力來表示，從而得到節(jié)點力的公式：7/23/2023-（7）列出各結(jié)點的平衡方程，組成整個結(jié)構(gòu)的平衡方程組。由于節(jié)點i受有環(huán)繞節(jié)點的單元移置而來的節(jié)點載荷和節(jié)點力因而i節(jié)點的平衡方程為： （i=1,2,…,n）(h)三角形單元離散化結(jié)構(gòu)分析步驟(續(xù)）（6）應(yīng)用虛功方程，將單元中的外力載荷向結(jié)點移置，化為結(jié)點載荷（即求出單元的節(jié)點載荷）： (g)將（f）代入（h），整理得：（j)其中，K稱為整體剛度矩陣，F(xiàn)L是整體結(jié)點載荷列陣，δ是整體結(jié)點位移列陣。在上述求解步驟中，（2）至（6）是針對每個單元進(jìn)行的，稱為單元分析；（7）是針對整個結(jié)構(gòu)進(jìn)行的稱為整體分析。7/23/2023-對三角形三個結(jié)點i,j,m結(jié)點，位移函數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谠摴?jié)點的位移值，即：

三角形單元的位移模式對每個單元，只要求得單元中的位移函數(shù)，就可以應(yīng)用幾何方程求得應(yīng)變，再應(yīng)用物理方程求得應(yīng)力。有限單元法中常取結(jié)點位移為基本未知量，由單元的結(jié)點位移求出單元中的位移函數(shù)是首先必須解決的問題?？梢约俣ㄒ粋€位移模式，來表示單元中的位移函數(shù)（即在單元中做出位移插值函數(shù)）。三角形單元中，可以假定位移分量只是坐標(biāo)的線性函數(shù)，即假定：6個方程解出α1-6，代入u，v式整理得：其中：7/23/2023-三角形單元的位移模式Ni也可以該寫成為：其中系數(shù)ai,bi,ci是：其中A就等于三角形ijm的面積：按照解析幾何學(xué)，在圖示的坐標(biāo)系中，為了得出的面積A不致成為負(fù)值，節(jié)點i，j，m的次序必須是逆時針轉(zhuǎn)向的。

Ni，Nj，Nm這三個函數(shù)，表明了單元ijm的位移次形態(tài)（也就是位移在單元內(nèi)的變化規(guī)律），因而稱為形態(tài)函數(shù)，簡稱形函數(shù)。7/23/2023-三角形單元的位移模式位移模式的表示式可用矩陣表示為：簡寫為：其中是單元的節(jié)點位移列陣。是形態(tài)函數(shù)矩陣或形函數(shù)矩陣。有限單元法中，應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣和勁度矩陣的建立以及載荷的移置等，都依賴于位移模式。7/23/2023-簡寫為：其中矩陣B可寫成分塊形式：

其子矩陣為：單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣?yán)脦缀畏匠毯臀锢矸匠?，求出單元中的?yīng)變和應(yīng)力，用結(jié)點位移表示：將位移函數(shù)(16)和(18)代入幾何方程(6)，得出用結(jié)點位移表示單元應(yīng)變。7/23/2023-將D表達(dá)式(9)和B表達(dá)式(27)代入上式，并寫成分塊形式，即得到平面應(yīng)力問中的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣：單元的應(yīng)力列陣（續(xù)）再將單元的應(yīng)變式(26)代入物理方程(8)，得出用結(jié)點位移表示單元中應(yīng)力的表達(dá)式。

其中子矩陣為：簡寫為：其中，7/23/2023-由式(26)引起的虛應(yīng)變?yōu)椋河捎诮Y(jié)點力在虛位移上的虛功應(yīng)當(dāng)?shù)扔趹?yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功，即：

單元的結(jié)點列陣與勁度矩陣對于任一單元，均假設(shè)所受的外力載荷已經(jīng)被移置到結(jié)點上，并且單元已經(jīng)切開，如右圖所示：單元只受到結(jié)點對單元的作用力，即結(jié)點力：假想在結(jié)點i,j,m處發(fā)生了虛位移，即：對單元而言，這些結(jié)點力是外力，使單元內(nèi)部產(chǎn)生應(yīng)力。7/23/2023-從而建立了單元結(jié)點力和結(jié)點位移之間的關(guān)系。對于三角形單元，B中的元素為常量。并且，因此，k可簡寫為：

k稱為單元的勁度矩陣。單元的結(jié)點列陣與勁度矩陣(續(xù)）由于中的元素是常量，并且虛位移的值可以是任意的：則將B和D表達(dá)式代入上式，得：令則式可以簡寫為7/23/2023-載荷向節(jié)點移置，單元的載荷列陣設(shè)單元ijm在坐標(biāo)為（x，y）的任意一點M，在單位厚度上受有集中載荷fP，其坐標(biāo)方向的分量為fPx和fPy，用矩陣表示為fP=（fPx

fPy）T，將此集中力移置到單元的節(jié)點處，轉(zhuǎn)換為節(jié)點載荷，并且單元節(jié)點載荷列陣表示為：假想單元的各點發(fā)生了虛位移：由位移模式，相應(yīng)于集中力fP的作用點（x,y）的虛位移為：集中載荷的移置7/23/2023-載荷向節(jié)點移置，單元的載荷列陣（續(xù)）由于虛位移可以是任意的，所以：把N的表達(dá)式（25）代入上式，上式改寫為：其中，Ni,

Nj,

Nm，為它們在M點的函數(shù)值：根據(jù)靜力等效原則，節(jié)點載荷在節(jié)點虛位移上的虛功，等于原載荷集中力在其作用點的虛位移上的虛功，即：7/23/2023-載荷向節(jié)點移置，單元的載荷列陣（續(xù)）例，設(shè)單元ijm的密度為ρ，試求自重的等效節(jié)點載荷。分析：因為fx=0，

fy=-ρg，故由式（43）得：由設(shè)上述單元受有分布的體力f=（fx

fy）T，可將微分體積tdxdy上的體力ftdxdy當(dāng)作集中力，利用（40）式積分，得到：體力的移置注意單元的自重為-ρgtA，可見移置到每個節(jié)點的載荷均為1/3自重。7/23/2023-載荷向節(jié)點移置，單元的載荷列陣（續(xù)）由設(shè)上述單元的某一邊上受有分布的面力，可將微分面積tds上的面力當(dāng)作集中載荷，利用（40）式積分，得到：面力的移置例，設(shè)在ij邊上受有沿x方向的均布面力q，試求等效節(jié)點載荷。分析：因為

，故由式（45）得：7/23/2023-注意：式(46)和(48）中的編碼i,j,m僅是每個單元的局部編碼，對于整個結(jié)構(gòu)，則將結(jié)點的平衡方程按整體結(jié)點編碼1，2，…，n排列起來，就組成整個結(jié)構(gòu)的結(jié)點平衡方程組：

整體的結(jié)構(gòu)分析節(jié)點平衡方程組因此，結(jié)點i的平衡方程是：以上幾節(jié)的分析都是針對單元進(jìn)行的，即一將單元上的外力載荷都向節(jié)點移置而成為節(jié)點載荷；另一方面求出節(jié)點載荷與單元之間的相互作用力，如左圖所示。節(jié)點對單元的作用力是節(jié)點力，相反，單元對節(jié)點的作用力是節(jié)點力的負(fù)值。于是，作用于結(jié)點i上的力，有結(jié)點載荷FLi

，和結(jié)點力的負(fù)值，即：其中，是對環(huán)繞結(jié)點i的單元求和，寫成標(biāo)量形式：

7/23/2023-由整體平衡方程組，解出結(jié)點位移δ，便可由式(23)和(30)求出每個單元的位移函數(shù)和應(yīng)力。整體的結(jié)構(gòu)分析節(jié)點平衡方程組其中，整體結(jié)點位移列陣：整體結(jié)點載荷列陣：K是整體剛度矩陣，其元素是： 整個結(jié)構(gòu)的結(jié)點平衡方程組即整體勁度矩陣的元素,Krs就是按整體節(jié)點編碼的、同下標(biāo)rs的單元勁度矩陣元素疊加而得到的。7/23/2023-平面有限元解法（例）設(shè)有對角受壓的正方形薄板（如上圖所示），載荷沿厚度均勻分布，為2N/m。試對該結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體分析，建立整體剛度矩陣和整體結(jié)點載荷列陣，建立整體結(jié)點方程組，通過編程求解出結(jié)點的位移，并從而求出各單元的應(yīng)力。（為簡單起見，取板的厚度t=1,彈性常數(shù)E=1,泊松比μ＝0）7/23/2023-平面有限元解法——劃分單元由于平面薄板沿xz面和yz面均對稱，所以只取1/4之一部分作為分析和計算對象。將對象劃分成4個單元，共有6個結(jié)點，單元和結(jié)點上均編上號碼，其中結(jié)點的整體編碼1至6，以及個單元的結(jié)點局部編碼i,j,m,均示于上圖中。單元號ⅠⅡⅢⅣ局部編碼整體編碼i3526j1253m24357/23/2023-平面有限元解法——整體勁度矩陣每個單元，結(jié)點的局部編碼和整體編碼對應(yīng)關(guān)系已經(jīng)確定，每個單元勁度矩陣中任一子矩陣在整體勁度矩陣中的位置及其力學(xué)意義也就明確了。如單元Ⅰ的kii，即k33，它的四個元素表示當(dāng)結(jié)構(gòu)的結(jié)點3沿x或y方向有單位位移時，在結(jié)點3的x方向或y方向引起的結(jié)點力。暫時不考慮位移邊界條件，把所分析結(jié)構(gòu)的整體結(jié)點平衡方程組列出：整體勁度矩陣寫成6×6的矩陣，它的每個子塊是2×2的矩陣，實際它是一個12×12的矩陣。如K23，它的四個元素表示當(dāng)結(jié)構(gòu)的結(jié)點3沿x或y方向有單位位移時，在結(jié)點2的x方向或y方向引起的結(jié)點力。7/23/2023-平面有限元解法——整體勁度矩陣?yán)m(xù)由于于結(jié)點3和結(jié)點2在結(jié)構(gòu)中是通過Ⅰ和Ⅲ這兩個單元相聯(lián)系，因而K23應(yīng)是單元Ⅰ的k23和單元Ⅲ的k23之和。同理，可以找到各單元勁度矩陣中所有子矩陣在整體