2023年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)解析：圓追曲線中的定值問題（原卷版）

圓錐曲線中的定值問題

處理圓錐曲線中定值問題的方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān).（2）直接推理、

計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

考法1證明某些幾何量為定值

【例1】（2022?廣東?模擬預(yù)測）已知雙曲線cW-4=1（a＞0,/＞＞0）的離心率為2,右頂點(diǎn)。到一條漸近線

ab~

的距離為

2

⑴求雙曲線C的方程；

⑵若直線/與雙曲線C交于48兩點(diǎn)，且方.赤=0,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)。到直線/的距離是否為定值？若是,

求出這個定值；若不是，請說明理由.

【解題指導(dǎo)】（1）設(shè)漸近線方程一＞點(diǎn)D到漸近線距離列方程一＞雙曲線線的離心率-求得db—＞雙曲線C

朝程

（2）考慮直線斜率不存在和為0時一）點(diǎn)。到直線/的距離T設(shè)直線方程方程一＞根與系數(shù)關(guān)系一

OAOB=G列方程一?點(diǎn)到直線距離公式一?求得。點(diǎn)到直線/的距離.

v-2

【例2】（2022?湖北省天門中學(xué)模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系X。中，已知橢圓C1+/=1,點(diǎn)

「⑴，y\\。（孫㈤是橢圓C上兩個動點(diǎn)，直線。尸，。。的斜率分別為左I,左2,若/?=（?,"）,

“=（/，%），mn=°-

（1）求證：kvki=一;；

4

（2）試探求△OPQ的面積S是否為定值，并說明理由.

【解題指導(dǎo)】

丁|邏輯推理設(shè)PQ的方程并與橢圓方程

m-n=O互以數(shù)學(xué)基算|聯(lián)立，求彳毓與系數(shù)關(guān)系

其輯建立系數(shù)加|_數(shù)學(xué)運(yùn)算

S是定值-II

國界I_____經(jīng)扇16間的關(guān)系邏輯推理

【解題技法】參數(shù)法解決圓錐曲線中最值問題的一般步驟

(12」選擇變量，一般為點(diǎn)的坐標(biāo).直線的得率等

,0\:把要求解的定值表示成含上述變量的式子，

二化［_」并利用其他輔助條件來美少變量的個效，

，(用，)廠使其只含有一個變量(或者有多個變量，但

一n一;是能整體約分也可以)

,"一、「花手以算竟瓦溫區(qū)一目質(zhì)結(jié)A可知要

［三定值］:證明為定值的量必與交量的值無關(guān),熱求

(消參)L出的式子必能化為一個常數(shù),所以只爭對

1-------):上述式子進(jìn)行必要的化筒即可得到定值

【跟蹤訓(xùn)練】

(2020?北京卷)已知橢圓C5+二=1過點(diǎn)/(-2,-1),且a=2b.

(1)求橢圓C的方程；

⑵過點(diǎn)8(-4,0)的直線/交橢圓C于點(diǎn)”，N,直線M4分別交直線x=-4于點(diǎn)P,Q,

喘的值。

考法2證明某些代數(shù)式為定值

【例3】(2022?山東泰安?三模)已知橢圓E：W+g=l(a>b>0)的離心率0=走，四個頂點(diǎn)組成的菱

a2b22

形面積為8&,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴求橢圓E的方程；

Q

⑵過。。：/+_/=§上任意點(diǎn)尸做。。的切線/與橢圓￡交于點(diǎn)MN,求證麗.麗為定值.

【解題指導(dǎo)】

微率不存在外怵P,M,N坐標(biāo)

6一量積運(yùn)算一懵蠲

|設(shè)直線方程卜厲程聯(lián)升|根與系數(shù)關(guān)系卜隕座標(biāo)

【解后反思】常見處理技巧：(1)在運(yùn)算過程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個數(shù)，以便于向定值靠攏;

(2)巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符號曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運(yùn)算.

【例4】(2022?湖南懷化?一模)如圖.矩形488的長=26,寬=以48為左右焦點(diǎn)的橢圓

r2v2

〃：++彳=1恰好過C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓M上的動點(diǎn).

ab

⑴求橢圓M的方程，并求莎?麗的取值范圍;

(2)若過點(diǎn)B且斜率為k的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)(點(diǎn)C與/、N兩點(diǎn)不重合)，且直線CM、CN的斜率分別

為占、試證明占+&-2%為定值.

【解題技法】圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略

(1)證明代數(shù)式為定值:依題意設(shè)條件捐出與代數(shù)式中參數(shù)有關(guān)的等式，代人代數(shù)式并化簡，即可得出定值；

(2)證明點(diǎn)到直線的距離為定值:利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、證明.

【跟蹤訓(xùn)練】

(2022?衡水模擬)已知點(diǎn)P在圓0：才2+產(chǎn)=6上運(yùn)動，點(diǎn)尸在x軸上的投影為Q,動點(diǎn)M滿足(1-3)麗=

Ok-\l3dh.

(1)求動點(diǎn)M的軌跡E的方程；

(2)過點(diǎn)(2,0)的動直線/與曲線￡交于48兩點(diǎn)，問：在x軸上是否存在定點(diǎn)。使得方?成+忘2的值

為定值？若存在，求出定點(diǎn)。的坐標(biāo)及該定值；若不存在，請說明理由.

圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略

1.求代數(shù)式為定值：依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式，化簡即可得

出定值；

2.求點(diǎn)到直線的距離為定值：利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化

簡、變形求得；

3.求某線段長度為定值：利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可

求得.

1.（2023?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)橢圓E：￡+《=1僅>6>0）的右焦點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，

橢圓E的離心率和雙曲線1-/=1的離心率互為倒數(shù).

⑴求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)橢圓E的左、右頂點(diǎn)分別為aB,過定點(diǎn)N（-I,o）的直線與橢圓E交于C,。兩點(diǎn)（與點(diǎn)a8不重

合）.證明：直線4C,8。的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.

22

2.（2023?河北唐山?統(tǒng)考一模）已知雙曲線從亍一句,其力叫過點(diǎn)尸僅⑵，且P與E的兩個頂點(diǎn)連

線的斜率之和為4.

⑴求E的方程；

（2）過點(diǎn)加（1,0）的直線/與雙曲線E交于A,8兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P）.設(shè)直線5c與x軸垂直且交直線4P于點(diǎn)C,

若線段8c的中點(diǎn)為N,證明：直線用N的斜率為定值，并求該定值.

丫2

3.（2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知可國,乂），B（x2,y2）,〃三,為）三個點(diǎn)在橢圓5+/=1，橢圓外

一點(diǎn)尸滿足方=2態(tài)，麗=2而，（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

⑴求為芍+2凹%的值;

⑵證明：直線/C與08斜率之積為定值.

4.（2023?全國?本溪高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知一條長為4行的線段48的端點(diǎn)48分別在雙曲線K-/=]

3

的兩條漸近線上滑動，點(diǎn)尸是線段力8的中點(diǎn).

⑴求點(diǎn)尸的軌跡C的方程.

⑵直線/過點(diǎn)。卜4五,0）且與C交于E、尸兩點(diǎn)，/交V軸于點(diǎn)〃（00.設(shè)施=叫麗，MF=m2FD,求

證：機(jī)i+啊為定值.

5.（2023?福建泉州?統(tǒng)考三模）已知橢圓C:片+片=1的左、右頂點(diǎn)分別為4B.直線/與C相切，且與

43

圓。:一+『=4交于M,N兩點(diǎn)，〃在N的左側(cè).

⑴若|MN|=警，求/的斜率；

（2）記直線的斜率分別為匕,月，證明：發(fā)此為定值.

6.（2023?山東臨沂?統(tǒng)考一模）已知動點(diǎn)M（x,y）與點(diǎn)尸（1,0）的距離和它到直線x=4的距離之比是g,點(diǎn)M

的軌跡為曲線C.

⑴求C的方程；

⑵若點(diǎn)4民”在。上，且荏=2函/。與8E交于點(diǎn)P,點(diǎn)尸在橢圓展+5=1上，證明：加8的面積

為定值.

7.（2023?山東荷澤聯(lián)考一模）已知圓月：卜+應(yīng)『+產(chǎn)=16,E為圓月上一動點(diǎn)，心（0,0）,線段％的

垂直平分線交明于點(diǎn)G.

⑴求動點(diǎn)G的軌跡C的方程；

⑵已知“（2,0）,軌跡C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)MN,射線/M4N分別與圓x2+/=4交于尸，。兩點(diǎn)，

記直線MN和直線PQ的斜率分別為k、,k2.

①求AM與AN的斜率的乘積；

②問2是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由.

8.（2023?四川南充?四川省南部中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知橢圓區(qū)￡+5=1（4>6>0）的離心率e=^，點(diǎn)

a-b22

在橢圓上.

⑴求橢圓E的方程；

（2）過點(diǎn)N（l,0）的直線/交橢圓E于C,。兩點(diǎn)，試探究在x