二階系統(tǒng)的時域分析-課件

二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的數學模型-動態(tài)結構圖開環(huán)傳遞函數閉環(huán)傳遞函數

ζ為系統(tǒng)的阻尼比；ωn為無阻尼振蕩頻率，簡稱固有頻率（也稱自然振蕩頻率）二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的數學模型-動態(tài)結構圖開環(huán)傳遞函數1二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程閉環(huán)極點1.當0<ζ<1時，此時系統(tǒng)特征方程具有一對負實部的共軛復根;系統(tǒng)的單位階躍響應具有衰減振蕩特性，稱為欠阻尼狀態(tài)。2.當ζ=1時，特征方程具有兩個相等的負實根，稱為臨界阻尼狀態(tài)。4.當ζ=0時，系統(tǒng)有一對共軛純虛根，系統(tǒng)單位階躍響應作等幅振蕩，稱為無阻尼或零阻尼狀態(tài)。3.當ζ>1時，特征方程具有兩個不相等的負實根，稱為過阻尼狀態(tài)。二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程閉環(huán)極點1.當0<ζ2二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點0<ζ<1ζ=1ζ>1ζ=0二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點0<ζ<1ζ=1ζ>1ζ3二階系統(tǒng)的時域分析過阻尼二階系統(tǒng)暫態(tài)響應的定性分析-二階系統(tǒng)的時域分析過阻尼二階系統(tǒng)暫態(tài)響應的定性分析-4二階系統(tǒng)的時域分析過阻尼二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應當ξ>1時，二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程有兩個不相等的負實根，這時閉環(huán)傳遞函數可寫為二階系統(tǒng)的時域分析過阻尼二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應當ξ>1時，二階系5二階系統(tǒng)的時域分析過阻尼二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應求反拉氏變換畫出響應曲線：起始速度小，然后上升速度逐漸加大，到達某一值后又減小，響應曲線不同于一階系統(tǒng)。過阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標主要是調節(jié)時間ts，根據公式求ts的表達式很困難，一般用計算機計算出的曲線確定ts。二階系統(tǒng)的時域分析過阻尼二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應求反拉氏變換畫出響6二階系統(tǒng)的時域分析過阻尼二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應過阻尼二階系統(tǒng)調節(jié)時間特性從曲線可以看出，當T1=T2，ζ=1(臨界阻尼)時ts=4.75T1；當T1=4T2，ζ=1.25時，ts≈3.33T1；由此可見，當T1>4T2，二階系統(tǒng)可近似等效為一階系統(tǒng)，調節(jié)時間可用3T1來估算。二階系統(tǒng)的時域分析過阻尼二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應過阻尼二階系統(tǒng)調節(jié)7二階系統(tǒng)的時域分析臨界阻尼二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應當ζ=1時,臨界阻尼二階系統(tǒng)T1=T2,則臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應為過阻尼二階系統(tǒng)的響應較緩慢，實際應用的控制系統(tǒng)一般不采用過阻尼系統(tǒng)。二階系統(tǒng)的時域分析臨界阻尼二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應當ζ=1時,臨界8二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應當0<ζ<1時,二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征根為ωn無阻尼振蕩頻率或固有頻率，也叫自然振蕩頻率。二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應當0<ζ<1時,9二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應10二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線是按指數規(guī)律衰減到穩(wěn)定值的，衰減速度取決于特征值實部-ζωn的大小，而衰減振蕩的頻率，取決于特征根虛部ωd的大小。二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應欠阻尼二階系統(tǒng)的單11二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應如果以ωnt為橫坐標相應曲線為：二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應如果以ωnt為橫坐12二階系統(tǒng)的時域分析無阻尼二階系統(tǒng)的暫態(tài)性能如果以ζ=0響應表達式和曲線為：響應的角頻率為ωn等幅振蕩曲線二階系統(tǒng)的時域分析無阻尼二階系統(tǒng)的暫態(tài)性能如果以ζ=0響應表13二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標1.上升時間tr由定義知：tr為輸出響應第一次到達穩(wěn)態(tài)值所需時間，所以應取n=1。二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標1.上升時14二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標1.上升時間tr當ωn一定時，ζ越小，tr越??；當ζ一定時，ωn越大，tr越小。二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標1.上升時15二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標2.峰值時間tp兩邊求導，并令h’(t)=0，得：二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標2.峰值時16二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標2.峰值時間tp二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標2.峰值時17二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標2.峰值時間tp當ωn一定時，ζ越小，tp越??；當ζ一定時，ωn越大，tp越小。tp為輸出響應達到第一個峰值所對應的時間所以應取n=1。二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標2.峰值時18二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標3.超調量σ%β角的定義二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標3.超調量19二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標3.超調量σ%所以超調量是阻尼比ζ的函數，與無阻尼振蕩頻率ωn的大小無關。二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標3.超調量20二階系統(tǒng)的時域分析3.超調量σ%σ%與ζ的關系曲線

ζ增大，σ%減小，通常為了獲得良好的平穩(wěn)性和快速性，阻尼比ζ取在0.4~0.8之間，相應的超調量25%~2.5%欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標二階系統(tǒng)的時域分析3.超調量σ%σ%與ζ的關系曲線21二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標4.調節(jié)時間ts根據定義不易求出ts，但可得出ωnts與ζ的關系曲線二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標4.調節(jié)時22二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標4.調節(jié)時間tsζ值的微小變化可引起調節(jié)時間ts顯著的變化。二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標4.調節(jié)時23二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標4.調節(jié)時間ts當ζ=0.68（5%誤差帶）或ζ=0.76（2%誤差帶)調節(jié)時間ts最短。所以通常的控制系統(tǒng)都設計成欠阻尼的。曲線的不連續(xù)性，是由于ζ值的微小變化可引起調節(jié)時間顯著變化而造成的。近似計算時，常用阻尼正弦振蕩的包絡線衰減到誤差帶之內所需時間來確定ts。二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標4.調節(jié)時24二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標4.調節(jié)時間ts當ζ≤0.8時,常把寫成兩邊取對數,得：二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標4.調節(jié)時25二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標4.調節(jié)時間ts在設計系統(tǒng)時,ζ通常由要求的最大超調量決定,而調節(jié)時間則由無阻尼振蕩頻率ωn來決定?？山票硎緸椋憾A系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標4.調節(jié)時26二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標5.振蕩次數NN的定義:在調節(jié)時間內,響應曲線穿越其穩(wěn)態(tài)值次數的一半。Td為阻尼振蕩的周期。二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標5.振蕩次27二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)參數與性能指標之間的關系

二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)參數與性能指標之間的關系28二階系統(tǒng)的時域分析阻尼比對系統(tǒng)的影響二階系統(tǒng)的時域分析阻尼比對系統(tǒng)的影響29二階系統(tǒng)的時域分析無阻尼系統(tǒng)屬于臨界穩(wěn)定系統(tǒng)，不屬于穩(wěn)定系統(tǒng)臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng)雖無超調量，但反應遲鈍欠阻尼系統(tǒng)雖有超調量，但反應迅速因此控制系統(tǒng)就是性能指標之間的均衡，一般設計成欠阻尼系統(tǒng)。阻尼比一般取0.4~0.8，此時系統(tǒng)反應迅速，而且超調量也不大結論二階系統(tǒng)的時域分析無阻尼系統(tǒng)屬于臨界穩(wěn)定系統(tǒng)，不屬于穩(wěn)定系統(tǒng)30阻尼比ζ是二階系統(tǒng)的一個重要參量，由值ζ的大小可以間接判斷一個二階系統(tǒng)的暫態(tài)品質。在過阻尼（ζ>1）情況下，暫態(tài)特性為單調變化曲線，沒有超調和振蕩，但調節(jié)時間較長，系統(tǒng)反應遲緩。當ζ≤0，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。一般情況下，系統(tǒng)在欠阻尼（0<ζ<1）情況下工作。但是ζ過小，則超調量大，振蕩次數多，調節(jié)時間長，暫態(tài)特性品質差。應注意到，最大超調量只與阻尼比這一特征參數有關。因此，通?？梢愿鶕试S的超調量來選擇阻尼比ζ。二階系統(tǒng)的時域分析阻尼比ζ是二階系統(tǒng)的一個重要參量，由值ζ的大小可以間接判斷一31調節(jié)時間與系統(tǒng)阻尼比和自然振蕩角頻率這兩個特征參數的乘積成反比。在阻尼比ζ一定時，可以通過改變自然振蕩角頻率ωn來改變暫態(tài)響應的持續(xù)時間。ωn越大，系統(tǒng)的調節(jié)時間越短。為了限制超調量，并使調節(jié)時間較短，阻尼比一般應在0.4～0.8之間，這時階躍響應的超調量將在1.5%～25%之間。二階系統(tǒng)的時域分析調節(jié)時間與系統(tǒng)阻尼比和自然振蕩角頻率這兩個特征參數的乘積成反32二階工程最佳參數令二階系統(tǒng)的時域分析二階工程最佳參數令二階系統(tǒng)的時域分析33二階系統(tǒng)的時域分析例題分析例1:已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為設系統(tǒng)的輸入量為單位階躍函數，試計算放大器增益KA=200時，系統(tǒng)輸出響應的動態(tài)性能指標。當KA增大到1500時或減小到KA=13.5，這時系統(tǒng)的動態(tài)性能指標如何?二階系統(tǒng)的時域分析例題分析例1:已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函34二階系統(tǒng)的時域分析例題分析解:系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為:二階系統(tǒng)的時域分析例題分析解:系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為:35二階系統(tǒng)的時域分析則根據欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能指標的計算公式,可以求得:二階系統(tǒng)的時域分析則根據欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能指標的計算公式36二階系統(tǒng)的時域分析由此可見，KA越大，ζ越小，ωn越大，tp越小，σ%越大，而調節(jié)時間ts無變化。系統(tǒng)工作在過阻尼狀態(tài),峰值時間,超調量和振蕩次數不存在,而調節(jié)時間可將二階系統(tǒng)近似處理。二階系統(tǒng)的時域分析由此可見，KA越大，ζ越小，ωn越大，t37二階系統(tǒng)的時域分析把該系統(tǒng)當成大時間常數T的一階系統(tǒng)來估計,即:調節(jié)時間比前兩種KA大得多,雖然響應無超調,但過渡過程緩慢,曲線如下：二階系統(tǒng)的時域分析把該系統(tǒng)當成大時間常數T的一階系統(tǒng)來估計,38二階系統(tǒng)的時域分析例題分析KA增大，tp減小，tr減小，可以提高響應的快速性，但超調量也隨之增加，僅靠調節(jié)放大器的增益，即比例調節(jié)，難以兼顧系統(tǒng)的快速性和平穩(wěn)性，為了改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，可采用比例－微分控制或速度反饋控制，即對系統(tǒng)加入校正環(huán)節(jié)。二階系統(tǒng)的時域分析例題分析KA增大，tp減小，tr減小，可以39二階系統(tǒng)的時域分析例題分析C(s)R(s)例2：已知某系統(tǒng)方框圖如圖所示,要求該系統(tǒng)的單位階躍響應c(t)具有超調量σ%=16.3%和峰值時間tp=1秒，試確定前置放大器的增益K和內反饋系數τ之值。二階系統(tǒng)的時域分析例題分析C(s)R(s)例2：已知某系統(tǒng)方40二階系統(tǒng)的時域分析例題分析C(s)R(s)（2）求閉環(huán)傳遞函數的標準形式（3）與標準形式比較二階系統(tǒng)的時域分析例題分析C(s)R(s)（2）求閉環(huán)傳遞函41二階系統(tǒng)的時域分析具有零點的二階系統(tǒng)的動態(tài)性能如果二階系統(tǒng)含有一個零點?！獮镾平面上零點和極點到虛軸距離之比二階系統(tǒng)的時域分析具有零點的二階系統(tǒng)的動態(tài)性能如果二階系統(tǒng)含42二階系統(tǒng)的時域分析具有零點的二階系統(tǒng)的動態(tài)性能當a=時，即為無零點的二階系統(tǒng)階躍響應曲線。當其它條件不變時，附加一個閉環(huán)零點：超調量σ%——平穩(wěn)性上升時間tr——快速性峰值時間tp——快速性二階系統(tǒng)的時域分析具有零點的二階系統(tǒng)的動態(tài)性能當a=時43二階系統(tǒng)的時域分析具有零點的二階系統(tǒng)的動態(tài)性能閉環(huán)零點 影響瞬態(tài)分量的初始幅值和相位； 不影響衰減系數和阻尼振蕩頻率。所以：響應曲線的類型取決于閉環(huán)極點,具體形狀由閉環(huán)極點和閉環(huán)零點共同決定。結論：由于閉環(huán)傳遞函數零點的存在，振蕩增強。二階系統(tǒng)的時域分析具有零點的二階系統(tǒng)的動態(tài)性能閉環(huán)零點所以：44二階系統(tǒng)的時域分析具有零點的二階系統(tǒng)的動態(tài)性能a→附加零點的影響=0.5時，若a>4，則零點可忽咯不計。附加的閉環(huán)零點從左側極點靠近。二階系統(tǒng)的時域分析具有零點的二階系統(tǒng)的動態(tài)性能a→附加零點45二階系統(tǒng)的時域分析具有零點的二階系統(tǒng)的動態(tài)性能如果在二階系統(tǒng)中引入一個比例微分控制，則系統(tǒng)變?yōu)椋篢ds1系統(tǒng)輸出量同時受偏差信號ε(t)和偏差信號微分ε/(t)的雙重控制，所以稱為比例+微分校正控制系統(tǒng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數和閉環(huán)傳遞函數變?yōu)椋憾A系統(tǒng)的時域分析具有零點的二階系統(tǒng)的動態(tài)性能46二階系統(tǒng)的時域分析具有零點的二階系統(tǒng)的動態(tài)性能Tds1變成具有零點的二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)的時域分析具有零點的二階系統(tǒng)的動態(tài)性能Tds1變成具47二階系統(tǒng)的時域分析具有零點的二階系統(tǒng)的動態(tài)性能可見，微分系數對系統(tǒng)的影響為：1.閉環(huán)負實零點(1/Td)的主要作用在于加速二階系統(tǒng)的響應過程(起始段)；2.增大系統(tǒng)阻尼比，超調量減弱；3.合理的取值范圍為1/Td=（2~5)ζωn。二階系統(tǒng)的時域分析具有零點的二階系統(tǒng)的動態(tài)性能可見，微分系數48二階系統(tǒng)加極點的動態(tài)性能系統(tǒng)傳遞函數當時，特征方程式的三個根為

二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)加極點的動態(tài)性能系統(tǒng)傳遞函數當時，特征49因此得

上式中各項的待定系數為

式中是負實數極點與共軛復數極點的負實部之比二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)加極點的動態(tài)性能因此得上式中各項的待定系數為式中是負實數極50三階系統(tǒng)的極點分布如下圖所示二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)加極點的動態(tài)性能三階系統(tǒng)的極點分布如下圖所示二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)加極51輸出量的暫態(tài)響應為或

式中

二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)加極點的動態(tài)性能輸出量的暫態(tài)響應為或式中二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)加極52，以為參變量時三階系統(tǒng)的單位階躍響應如下圖所示結論：具有負實數極點的三階系統(tǒng)，振蕩性減弱，而上升時間和調節(jié)時間增長，超調量減小，也就是相當于系統(tǒng)的慣性增強了。二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)加極點的動態(tài)性能，以為參變量時三階系統(tǒng)的單位階躍響應如下圖53高階系統(tǒng)的階躍響應三階系統(tǒng)的暫態(tài)響應設三階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為：二階因子引起的阻尼振蕩一階因子引起的非周期指數衰減高階系統(tǒng)的階躍響應三階系統(tǒng)的暫態(tài)響應設三階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數54高階系統(tǒng)的階躍響應三階系統(tǒng)的暫態(tài)響應其中：高階系統(tǒng)的階躍響應三階系統(tǒng)的暫態(tài)響應其中：55高階系統(tǒng)的階躍響應三階系統(tǒng)的暫態(tài)響應結論1）當=，系統(tǒng)即為二階系統(tǒng)響應曲線；2）附加一個實數極點（0<<），原二階系統(tǒng)的單位階躍響應：超調量上升時間峰值時間高階系統(tǒng)的階躍響應三階系統(tǒng)的暫態(tài)響應結論1）當=，系統(tǒng)即56高階系統(tǒng)的階躍響應三階系統(tǒng)的暫態(tài)響應結論>1,即1/T>n呈二階系統(tǒng)特性；實數極點P3距離虛軸遠；共軛復數極點p1、p2距離虛軸近特性主要取決于p1、p2。<1,即1/T<n呈一階系統(tǒng)特性；實數極點P3距離虛軸近；共軛復數極點p1、p2距離虛軸遠特性主要取決于p3。高階系統(tǒng)的階躍響應三階系統(tǒng)的暫態(tài)響應結論>1,即1/T>57高階系統(tǒng)的階躍響應高階系統(tǒng)的單位階躍響應的近似分析如果系統(tǒng)極點互不相同R(s)=1/sa,

aj為C(s)在極點s=0和s=-pj處的留數；bk、ck是與C(s)在極點處的留數有關的常數。假設高階系統(tǒng)的微分方程為高階系統(tǒng)的階躍響應高階系統(tǒng)的單位階躍響應的近似分析如果系統(tǒng)極58高階系統(tǒng)的階躍響應高階系統(tǒng)的單位階躍響應的近似分析3）極點的性質決定暫態(tài)分量的類型；實數極點:非周期暫態(tài)分量；共軛復數極點:阻尼振蕩暫態(tài)分量。1）高階系統(tǒng)的單位階躍響應由一階和二階系統(tǒng)的響應函數疊加而成。2）如果所有閉環(huán)極點都在S平面的左半平面，則隨著時間t→∞，c(∞)=a,系統(tǒng)是穩(wěn)定的。高階系統(tǒng)的階躍響應高階系統(tǒng)的單位階躍響應的近似分析3）極點的59高階系統(tǒng)的階躍響應高階系統(tǒng)的單位階躍響應的近似分析極點距虛軸的距離決定了其所對應的暫態(tài)分量衰減的快慢，距離越遠衰減越快；高階系統(tǒng)的