2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第5節(jié)：指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（教師版）

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

第5節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

考試要求1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景；2.理解有理指數(shù)嘉的含義，了解實(shí)數(shù)

指數(shù)嘉的意義，掌握嘉的運(yùn)算；3.理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函

數(shù)圖像通過(guò)的特殊點(diǎn)，會(huì)畫(huà)底數(shù)為2,3,10二，!的指數(shù)函數(shù)的圖像；4.體會(huì)指數(shù)

23

函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)模型.

I知識(shí)診斷?基礎(chǔ)夯實(shí)

||知識(shí)梳理

1.根式的概念及性質(zhì)

（1）概念：式子仍叫作根式，其中〃叫作根指數(shù)，。叫作被開(kāi)方數(shù).

（2）性質(zhì)：（％）"=&（。使獨(dú)有意義）；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，y/cf'=a,當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，汨=

a,

同=，

[―a,a<0.

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)累

規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是3=垣（。>0,m,“GN+,且〃>1）；正數(shù)的

m1

負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累的意義是。一-=一（心0,m,〃GN+,且〃>1）；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累等

于0;0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒(méi)有意義.

3.指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)

實(shí)數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)：（abY=arb,,其中a>0,b>0,r,

sCR.

4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（1）概念：函數(shù)_y=a'（a>0,且aWl）叫作指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的

定義域是R,。是底數(shù).

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(2)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

a>\0<a<l

產(chǎn)Q\

圖像--尸1四1

定義域R

值域(0,+8)

過(guò)定點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí)，y=1

當(dāng)x>0時(shí)，y>l；當(dāng)x<0時(shí)，y>l；

性質(zhì)

當(dāng)x<0時(shí),0<”<1當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1

在(一8,十8)上是增函數(shù)在(一8,十8)上是減函數(shù)

|常用結(jié)論

1.畫(huà)指數(shù)函數(shù)y=a@>0,且aWl)的圖像，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1,a),(0,1),

卜J]

2.指數(shù)函數(shù)〉=優(yōu)5>0,且aWl)的圖像和性質(zhì)跟。的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分

d>\與0《<1來(lái)研究.

3.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)歹=出3>0,且aWl)的圖像越高，底數(shù)越大.

診斷自測(cè)

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“義”)

(皿(—4)4=—4()

(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕。t可以理解為名個(gè)a相乘.()

nn

(3)函數(shù)_y=2xr是指數(shù)函數(shù).()

⑷函數(shù)y=/r(a>l)的值域是(0,+°°).()

答案(1)X(2)X(3)X(4)X

解析(1)由于▼(-4)4=加=4,故(1)錯(cuò)誤.

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(2)當(dāng)場(chǎng)<1時(shí)，不可以，故(2)錯(cuò)誤.

n

(3)由于指數(shù)函數(shù)解析式為^=不(。>0,且aWl),

故歹=2、r不是指數(shù)函數(shù)，故(3)錯(cuò)誤.

(4)由于》2+121,又a>l,.*.ax2+1^a.

故的值域是［a,+8),故(4)錯(cuò)誤.

2.(易錯(cuò)題)若函數(shù)八x)=(a2—3)d為指數(shù)函數(shù)，則。=.

答案2

解析???/(X)=(〃2—3)㈠為指數(shù)函數(shù)，

二次一3=1且a>0,aWl,'.a=2.

3.(易錯(cuò)題)函數(shù)產(chǎn)2―的值域是.

答案(0,1)U(1,+8)

1?

角星析：.y=2~^l,

x-1x1

而》=2萬(wàn)恒大于0,則函數(shù)歹=23的值域?yàn)?0,1)U(1,+°°).

4.函數(shù)/(x)=a-i+2(a>0且aWl)的圖像恒過(guò)定點(diǎn).

答案(1，3)

5.(2021?貴陽(yáng)一中月考)計(jì)算：03義卜力十8以步一弋)，

答案2

伴-1伴

解析原式=(3fx1+24X24—133=2.

6.已知a=d3,8=0\0=用4,貝ija,b,c的大小關(guān)系是

答案c<b<a

解析??)=￡)是R上的減函數(shù),

..凱周?chē)?guó)：即…

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又c=d<^=1,c<b<a,

口考點(diǎn)突破?題型剖析

|考點(diǎn)一指數(shù)累的運(yùn)算__________________

2[-2}4;________.

1.計(jì)算：8--18j+y](3-n)4+[(-2)6]-=.

答案兀+8

21

解析原式=(23)11+|3—兀|+(26)鼻

=4—1+兀-3+23=兀+8.

12r—

2.[(0.0645)25]3-\3Q_#=.

答案0

解析原式=111000點(diǎn)」2打_18左-1

q(4"一|)3

3.（2021?滄州七校聯(lián)考）i(a>0,b>0)=

(0.1)r?(〃力一3)2

答案I

33

___3

242a2b--

解析原式=-3—=!

_35

\0a2b--

4.已知")=3*+3),大6)=4,貝1」<26)=.

答案14

解析V/(ft)=3fe+3-6=4,

：.J[2b)=32b+3^2b=(3'+3r)2—2

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=42—2=14.

感悟提升1.指數(shù)幕的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)幕統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)賽，以便利

用法則計(jì)算，但應(yīng)注意：(1)必須同底數(shù)幕相乘，指數(shù)才能相加；(2)運(yùn)算的先后順

序.

2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù).

3.運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).

考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用

例1(1)已知實(shí)數(shù)①b滿(mǎn)足等式2022"=2023,，下列等式一定不成立的是()

A.a=b=0B.a</?<0

C.0〈a<bD.0<b<a

(2)若函數(shù)/(乃=|2"—2]—6有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是.

答案(1)C(2)(0,2)

解析(1)如圖，觀察易知，。<6<0或0<b<a或。=6=0.

(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出卜=|2*—2|與y=b的圖像，如圖所示.

.,.當(dāng)0<b<2時(shí)，兩函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，從而函數(shù)/(x)=|2、一2|一人有兩個(gè)零點(diǎn).

.?方的取值范圍是(0,2).

感悟提升1.對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖像問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖

像入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱(chēng)變換得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確

定時(shí)應(yīng)注意分類(lèi)討論.

2.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)

合求解.

第5頁(yè)共15頁(yè)

訓(xùn)練1(1)函數(shù)的圖像如圖所示，其中。，b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的

是()

-1O1欠

-1-

A.Q>1,b<0h>0

C.O<4Z<1,b>0D.O<a<l,b<0

⑵如果函數(shù)y=|3x—l|+〃z的圖像不經(jīng)過(guò)第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

答案(1)D(2)(—8,-1]

解析(1)由犬x)=dr的圖像可以觀察出，函數(shù)外)=a'f在定義域上單調(diào)遞減,

所以0<a<l.

又/(0)=a所以-6>0,即X0.

(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出夕=|3工一1|與y=一根的圖像，如圖所示.

由函數(shù)歹=|3'—1|+用的圖像不經(jīng)過(guò)第二象限，則卜=|3工一1|與^=一根在第二象限

沒(méi)有交點(diǎn)，

由圖像知一〃221,即/“W—1.

考點(diǎn)三解決與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題

角度1比較指數(shù)式的大小

例2(1)設(shè)4=0.6%6=0.615,c=1.50-6,則q,，c的大小關(guān)系是()

\.a<b<cB,a<c<b

C.b<a<cD,b<c<a

(2)若守+兀"2?—，+兀一"，下列結(jié)論一定成立的是()

A.a+6W0B.a—b^O

C.a-bWOD.a+b20

答案(1)C(2)D

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解析⑴??,函數(shù)y=06是減函數(shù)，0<0.6Vl.5,???1>O.6°6>O.6L5,即XQVL

???函數(shù)y=1.5?，在(0,+8)上是增函數(shù)，0.6>0,???1.5。?6>1.5()=1,即c>l.

綜上,b<a<c.

(2)兀一。，

.?.e"一兀一"20一"一兀①

令/(x)=e'—兀"，

則/(X)是R上的增函數(shù)，

①式即為八。)卻一6),

：.a2—b,即Q+620.

角度2解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式

4*x0

例3(1)已知實(shí)數(shù)函數(shù)/(》)=,''若/(I—a)=/(a—1),則。的值為

l2a-x<0,

(2)若2占七日，則函數(shù)歹=2,的值域是()

ri]ri21

A.L82JB.L8」

i1]

cldD.[2,+8)

答案(嗎(2)B

解析(1)當(dāng)a<l時(shí)，4|-a=21,解得

當(dāng)a>l時(shí)，代入不成立，故a的值為《

2

件2

(2)14=(2-2廣2=2一個(gè)4,

...2?+仁2-"4,

即x2+1W—2x+4,即x2+2x—3W0,

-2

???一3?,此時(shí)歹=2》的值域?yàn)閇2一3,21],即為18'

角度3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例4(1)不等式4、-211十心0,對(duì)任意x￡R都成立，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍是

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(2)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)4x)=—：+—?jiǎng)t關(guān)于t的不等式火修一2。十42P—

22X+1

1)<0的解集為.

答案(1)(1,4-00)(2)【一8，一Ju(l,+8)

解析(1)由題意得a>—4*+2*-|對(duì)xGR恒成立，

令t=2x,則tX),

'-y=-4*+2"?=—F+2/=—(t—1)2+1W1.

(2)由題意知人x)是奇函數(shù)，且在R上為減函數(shù)，

則加2—2Q十1)<0,

即向2_2。<-/(2/2_1)=/(1-2外

所以241—2巴解得/>1或t<一

3

感悟提升1.比較指數(shù)式的大小的方法是：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)幕，

再利用單調(diào)性比較大小；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小.

2.指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

3.涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函

數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性

質(zhì)分析判斷.

訓(xùn)練2(1)(2021?鄭州調(diào)研)已知函數(shù)｛x)=2~a=A2°-3),6=X0.20-3),c=/(logo32),

2X

則a,b,c的大小關(guān)系為()

\.c<b<aB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

H/+2x+3|o-

(2)若函數(shù)/(x)=U的值域是I9」，則/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.

1在區(qū)間［-3,2］上的值域是

57

答案(1)A(2)(—8,-1]

AX—1

解析(1)因?yàn)槿斯?=上一=2，一2］二定義域?yàn)镽,"一》)=2二一2，=一(X),

2X

第8頁(yè)共15頁(yè)

故函數(shù)/(X)是奇函數(shù)，

又丁=2、.在定義域上單調(diào)遞增，

丁=2一”在定義域上單調(diào)遞減，

所以")=2,—21在定義域上單調(diào)遞增，

由2°3>1,0<0.2°3<1,10go.320,

可得人2。3)90.2。3)月logo.32),則a>h>c.

(2)?.)="!是減函數(shù)，且加)的值域是9_,

.'.l=ax*2-b2x+3有最小值2,

10/7—02

則a>0且”=2,解之得。=1,

4a

因此f=/+2x+3的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,-1],

故作)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,-1].

(3)因?yàn)閤W[—3,2],所以若令￡=匕)，

,1,8

則/￡4,

故尸f+l=[z)+1.

ia

當(dāng)/=不時(shí)，J/min=~；

24

當(dāng)f=8時(shí)，Jmax=57.

故所求函數(shù)值域?yàn)椤?57J.

M分層訓(xùn)練?鞏固提升

||A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

1.若函數(shù)")=?，(°>0,且aWl)的圖像經(jīng)過(guò)I?'則人-1)=()

A.lB.2C.3D.3

答案C

解析依題意可知。2=:,解得。=坐，

33

第9頁(yè)共15頁(yè)

所以y（x）=俘：

所以八-1）=（3）=也

2.（2021?成都診斷）不論。為何值，函數(shù)y=（a—1）2'一學(xué)亙過(guò)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐

標(biāo)是（）

答案C

解析y=（a—1）2*—：變?yōu)?。Ja—（2工+y）=0,

■f2M一、

依題意，對(duì)&eR,I2ja—（2'+y）=0恒成立，

則2r—1=0,且2v+^=0,

.*.x=—1且尸」，

2

即恒過(guò)定點(diǎn)—3.

3.（2022?哈爾濱質(zhì)檢）函數(shù)歹=優(yōu)一］（4>0,且aWl）的圖像可能是（）

答案D

解析當(dāng)。>1時(shí)，■為增函數(shù)，且在y軸上的截距為0<1—11,此時(shí)四個(gè)

aa

選項(xiàng)均不對(duì)；當(dāng)0<。<1時(shí)，函數(shù)y=a，一1是減函數(shù)，且其圖像可視為是由函數(shù)y

a

的圖像向下平移比>1］個(gè)單位長(zhǎng)度得到，選項(xiàng)D適合.

a

mos

4.（2020?天津卷）設(shè)。=3。匕h=\3），c=logo,70.8,貝U。，6,。的大小關(guān)系為（）

A..a<b<cB.b<a<c

C.h<c<aT）.c<a<h

第10頁(yè)共15頁(yè)

答案D

解析因?yàn)椤?3。?7>3。=1,

m0.8

6=111=3°-8>30-7,

c=logo.70.8<logo,70.7=1,

所以6>a>c.

5.(2021?衡水中學(xué)檢測(cè))當(dāng)x@(—8,—1］時(shí)，不等式(神2—加)-4'—"Zy)恒成立，則

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(—2,1)B.(-4,3)

C.(-3,4)D.(—l,2)

答案D

解析原不等式變形為掰2—機(jī)門(mén)：

因?yàn)楹瘮?shù)夕=自在(一8,—1］上是減函數(shù)，所以日N@」=2,

當(dāng)Xd(—8,—1］時(shí)，加2一用［^恒成立等價(jià)于加2一根<2,解得一1<加<2.

6.(2020?新高考山東卷)基本再生數(shù)凡與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參

數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的

平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：/(f)=e"描述累計(jì)感染病

例數(shù)/?)隨時(shí)間/(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與Ro,T近似滿(mǎn)足Ro=l

+,7.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出火0=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段,

累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(In2^0.69)()

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

答案B

解析由Ho=l+4,Ro=3.28,T=6,

由題意，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍,

則7(/2)=27(/1),

即e°3眄=2e038",所以e038(攵F)=2,

即0.38?2-/i)=ln2,

第11頁(yè)共15頁(yè)

8

...殳—1\七”

0.380.38…

2_I11

(與?L)2^-2^3

7.化簡(jiǎn)：一：-----------(^>0,6>0)=

\ja-b5

1

答案

a

_\1_1?

””一在

解析原式:一

哂

1I115

8.設(shè)偶函數(shù)g(x)=a"M在(0,+8)上單調(diào)遞增，則g(a)與g(b—l)的大小關(guān)系是

答案g(a)>g(b~\)

解析由于8@)=/+例是偶函數(shù)，知6=0,

又g(x)=a兇在(0,+8)上單調(diào)遞增,得。>1.

則g(匕—l)=g(—l)=g(l),

故g(a)>g(l)=g(b-l).

9.已知函數(shù)/(x)=''aWx＜。，的值域是[—8,1],則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

—x2+2x,0WxW4

答案[-3,0)

解析當(dāng)0&W4時(shí),/(x)G[-8,1],

r_1-a

當(dāng)時(shí)，2"'J,

r_1―]

所以L(fǎng)2“'J[-8,1],

即一8W—1,即一3Wa<0.

2a

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是[-3,0).

10.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(》)=翥—21|h為奇函數(shù).

第12頁(yè)共15頁(yè)

(1)求b的值；

(2)任意，CR,/(於一2/)+/(2P—左)<0恒成立，求左的取值范圍.

解(1)因?yàn)?(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以人0)=0,則6=1(經(jīng)檢驗(yàn)，6=1時(shí)兀0為奇函數(shù)，滿(mǎn)足題意).

—28+111

(2)由⑴知火x)=r-=—=+―

2、巧+222、+1

因?yàn)?(x)是奇函數(shù)，所以不等式/(-一2/)+/(2戶(hù)一人)<0等價(jià)于加2—2。<一/(2戶(hù)一人)

=A—2/2+。

易知外)是R上的減函數(shù)，

所以t2-2t>—2t2~\-k.

即對(duì)任意的reR有3/2-2Z-左>0恒成立，從而對(duì)應(yīng)方程的根的判別式/=4+12K0,

解得比<—!

3

(-OO

所以％的取值范圍為〔，-13]」

4'-1-777

11.已知函數(shù)/(x)=生鏟是奇函數(shù).

⑴求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

(2)設(shè)g(x)=2"i—a,若函數(shù)/(x)與g(x)的圖像有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解(I)*.?危)為奇函數(shù)，

?\A0)=0,得利=一1,

經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)?7=—1時(shí)，/(X)為奇函數(shù)，

m=-1.

4'—1

(2)令----=2”】一〃，

2X

令1=2、.*.r>0,

於一11

?\----=2t-a,即a=t-\--,

tt

方程a=/+l有正實(shí)數(shù)根，

t

\'t+-^2,當(dāng)且僅當(dāng)，=1時(shí)取等號(hào).

t

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