2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)無(wú)理函數(shù)值域的常見(jiàn)求法_第1頁(yè)
2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)無(wú)理函數(shù)值域的常見(jiàn)求法_第2頁(yè)
2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)無(wú)理函數(shù)值域的常見(jiàn)求法_第3頁(yè)
2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)無(wú)理函數(shù)值域的常見(jiàn)求法_第4頁(yè)
2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)無(wú)理函數(shù)值域的常見(jiàn)求法_第5頁(yè)
已閱讀5頁(yè),還剩9頁(yè)未讀 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶(hù)提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡(jiǎn)介

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)無(wú)理函數(shù)值域的

常見(jiàn)求法

在解無(wú)理函數(shù)的值域問(wèn)題時(shí),如果采用的是“判別式法”,但由

于無(wú)理函數(shù)的定義域一般不為R,所以在解題過(guò)程中容易擴(kuò)大自

變量的取值范圍,使用“判別式法”失效。下面對(duì)常見(jiàn)的無(wú)理函

數(shù)類(lèi)型及解法作一歸納,使得在求無(wú)理函數(shù)的值域時(shí)避開(kāi)“判別

式法”,盡快求出正確答案。

一、形如“丁=■+1士而+小”的函數(shù)

例1.求函數(shù)y=2x-3+J13-4x的值域。

,------x=-(13-?)y=--ii+z+-=--(z-l)2

解:令Z=J13-4x,貝|卜20且4',則’222k

+4o當(dāng)£=1,即x=3時(shí),為洶=4,當(dāng)z-用時(shí)-,y--8。故函數(shù)值

域?yàn)?-8,4]0

說(shuō)明:此法適用于根號(hào)內(nèi)外自變量的次數(shù)相同的無(wú)理函數(shù),一般令

z=而拓,將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù),當(dāng)然也適用于

y=mx2+?±-Jax2+b"的函數(shù)。

二、形如((y=mx+n^-Jax2+bx+c(a<0,L=b2-Aac>0)的函數(shù)

例2.求函數(shù)y=x+2+J*+l°x-23的值域。

解:由-,+1°,-23*0,得5-應(yīng)SxW5+、僅。令x=7^sina+5且ae

--,—y-sina+7+-/2cosa=2sin(ad—)+7

[22],貝14,0

天」燈,3不

--<a+—<——----<sin(a+—)<1

由444,得2o

,刀\4

sin(a+—)=1門(mén)

當(dāng)4時(shí),為雙=9;

./天72

當(dāng)sm3+w)=-〒時(shí),加=7-笈。

故函數(shù)值域?yàn)椤?、洛9]。

說(shuō)明:這類(lèi)函數(shù)根號(hào)內(nèi)外自變量的次數(shù)不同,不適合第一類(lèi)型的解法。

又“<0且△>()的函數(shù)定義域一定為閉區(qū)間,如與],則可作三角

-X

X=---sma

代換為

町+々

a€[--,

且2萬(wàn),即可化為y=5sm3+同+k型函數(shù)。至于a>0

且A>0及其他類(lèi)型,同學(xué)們可自己分析一下。

三、形如ay=淞』ax+/±w&x+d(ac<0)”的函數(shù)

例3.求函數(shù)V=,歸+右中的值域。

3x4-6>0

解:由18—xN°,得-2&xW8。

2ae[0,—]

令x=10sm%-2且2,

y=^/Wcosa+V30sina=2^/fOsin(^+—)

則60

—<a+—<--<sin(a+—)<1

由663,得2,

則而故函數(shù)的值域?yàn)椋鄱?7W]o

說(shuō)明:此法適用于兩根號(hào)內(nèi)自變量都是一次,且囪<0,此時(shí)函數(shù)的

定義域?yàn)殚]區(qū)間,如[小心],則可作代換工=5-xi)s/a+xi,且

2」,即可化為丁=&m(a+0)型的函數(shù),無(wú)理函數(shù)類(lèi)型有多種,

有興趣的可以探討一下。

試題解析

(2018貴州競(jìng)賽)

已知國(guó)數(shù)y=3x+-,求該函數(shù)的值域.

這類(lèi)函數(shù)由于含有無(wú)理式,關(guān)鍵是如何去掉根號(hào).

先作簡(jiǎn)單變形y=3x+-2無(wú)=3x+]x-12-1.

令w=A-1,則有y=3〃+3+\lu2-1.

令z=3〃+A/M2-1,只要能求出z的值域即可.

解法1(絕對(duì)值換元)由題意知

1----------1(1

設(shè)J"2-1=u\-tNO,則0</<同.扁=1,且|"|=—'+-

21t

當(dāng)“>0時(shí),

2

當(dāng)0</式1,函數(shù)z=/+在0,1上單調(diào)遞減,可得NZ3.

t

當(dāng)〃<0時(shí),z=-2/--<-242.當(dāng)且僅當(dāng)/=立時(shí)取等號(hào).

t2

所以函數(shù)的值域?yàn)?8,3-2\/^]U6,+8.

[評(píng)注]這是命題組提供的解法,這種代數(shù)換元很難想到.換元

后,在求t的范圍時(shí),直接得到0</二|〃|.=1.感覺(jué)是利用

Iiniin

恒成立的思想求出的,欠嚴(yán)謹(jǐn).事實(shí)上,可以這樣求:

1

t=|//|-Jir-1-1,由/J工1,

結(jié)合單調(diào)性,可得0<rW1.

解法2(三角換元)令〃=sec?.

則z=3sec^1|tan^|-3sec^+tan6??0e

3sin。sin。-3

z=-------+---------------------

cos。cos。cosG-0

其幾何意義為圓/+),2=]上的點(diǎn)co$8,sin8與點(diǎn)、B0,-3

所在直線(xiàn)斜率的取值范圍.如圖1所示.=3,kBC=-2V2.

解法3(導(dǎo)數(shù)法)當(dāng)〃21時(shí),函數(shù)z=3〃+,J-i在i,+8

上單調(diào)遞增,可得z23.當(dāng)時(shí),z'=3+.J.

令z'>0,得〃〈一.令/<0,得一<//<-!?

44

所以當(dāng)〃-————,z取得最大值為—25/2.

4

所以此時(shí)Z&-20.可得值域?yàn)?8,3-2夜卜6,+oo.

解法4(實(shí)根分布)由z-3〃=4/-1原問(wèn)題等價(jià)于

8〃2-6口/+:2+1=0當(dāng)曙工三時(shí)有解.

3

記gw=8H2-6zu+z2+1.

/八Rnr「

解法5(幾何意義)3M=\/u?-1,令y=-3〃+z,

y=\lu2-1.問(wèn)題等價(jià)于直線(xiàn)y=-3〃+z與曲線(xiàn)y=-1

有交點(diǎn).如圖2所示.

當(dāng)直線(xiàn)y=-3〃+z過(guò)A10時(shí),得z=3.當(dāng)直線(xiàn)y=-3〃+z

與雙曲線(xiàn)y=一1上半部分相切于B點(diǎn)時(shí),得z=-2&.

所以Z23或zW-2vL可得值域?yàn)?8,3-2正卜6,+8

評(píng)注以上幾種方法是處理這類(lèi)無(wú)理函數(shù)值域的常用方法.如果調(diào)

整相關(guān)系數(shù)或結(jié)構(gòu),也有其它相關(guān)解法.

變式1:求函數(shù)y=A+-3戈+2的值域.

解:由),=x+J_?-3x+2,平方化簡(jiǎn)得產(chǎn)一2=2.y-3x,

33V2-2

當(dāng)y=一時(shí).,此式顯然不成立.當(dāng)v#士時(shí),得一

222y-3

V2-23

由v2x,得----,解得或vN2.

2y-3'2

所以值域?yàn)閘,g)u2,+8.

評(píng)注除了上述五種常規(guī)方法外,由于本題平方后能消去X?項(xiàng),很

容易得到X關(guān)于y的表達(dá)式.利用y>=x建立關(guān)于y的不等式,解

不等式即可.

變式2:求函數(shù)/x=21+/2-i的值域.

解:定義域?yàn)椴方?當(dāng)—時(shí).,函數(shù)y=/x單

調(diào)遞增,/xG[-2V2,V2.

當(dāng)時(shí),fx=2x/x2+V2-A:2>Vx2+>/2-x2

2Jf+Z-fJVL當(dāng)且僅當(dāng)x=O時(shí)等號(hào)成立.

又/x<^22+12X2+2-X2=V1O.

當(dāng)242-』=E,即/=£時(shí),等號(hào)成立.

綜上.值域?yàn)?2及,>/歷]

[評(píng)注]當(dāng)0cWa時(shí),主要利用不等式6+人2萬(wàn)亍

(當(dāng)x-0或y-O時(shí)等號(hào)成立)求出最小值.再利壓柯西不等

式求出最大值.這種解法是利用重要不等式直接進(jìn)行放縮,不

易想到.

如果覺(jué)得這類(lèi)問(wèn)題形式較單一直接,也可作以下相關(guān)變式.

變式3:已知單位向量4,小的夾角為彳,設(shè)”=2q+/le2,

則當(dāng)4<0時(shí),求4+同的取值范圍.(答案:-1,2)

變式4:若尸為邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),

求|AP|+怛P|+|CP|的最小值.(答案:'半2)

r星百日1+N知Jx2+l古4'T

【翅目】求函數(shù)y=----------的值域。

X—1

解法1(用導(dǎo)數(shù)和極限求解)

函數(shù)V=立R的定義域?yàn)閧.小W1}.

X—1

/3\業(yè)、1n-+/??、Jx+1I入~+1

(I)當(dāng)x>i時(shí),y=f(x)=——--T

x-lV(X-I)

設(shè)g(x)=,x>i,則g'(x)=;"':【)<0,

r(x-2\y(x-i)

所以g(.r)單調(diào)遞減,從而/(五)單調(diào)遞減。

當(dāng)X-?+CC時(shí),y='+1->1;

x-1

業(yè)1+gVx2+1

當(dāng)X—>1時(shí),V=------------>+CO.

X-1

故當(dāng)x>1時(shí),ye(l,+<?)。

(2)當(dāng)E時(shí)—所經(jīng)?冏

設(shè)‘"加高",則‘叱卻’

易知,當(dāng)F<XV-1時(shí),g\x)>0;

當(dāng)一1<X<1時(shí),g'(x)<0,

V2

所以“<1日寸,g(x)Wg(-l)=

2

又當(dāng)A一廣時(shí),y=、+1—>-8.

x-1

故當(dāng)X<I時(shí),ye(-oo,-^-]o

綜上,函數(shù)的值域?yàn)?TO,-走]U(l,”)。

2

點(diǎn)評(píng)本解法以導(dǎo)數(shù)為工具將無(wú)理函數(shù)f(x)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有理

函數(shù)g(x)的值域問(wèn)題求解,這樣在用導(dǎo)數(shù)時(shí)可以減少運(yùn)算量。另

外,本解法用到了分類(lèi)討論思想和極限思想。

解法2(換元后用二次函數(shù)求解)

令工一1=;,則y=/?)=[(;+D"=["+-+2,70.

(1)當(dāng)"0時(shí),")=,2/+21+1單調(diào)遞增,

所以/(,)>."0)=1。

(2)當(dāng),<0時(shí),「⑺=-也『+21+1=

易知加)在(一一5)上單調(diào)遞增,在(一天。)上單調(diào)遞減,

1B

所以/?)£/(—:)=——

2L

綜上知)w-與或),>1。

故函數(shù)的值域?yàn)椋?00,-爭(zhēng)U(1,,

解法3(三角換元用三角函數(shù)求解)

由函數(shù)V='三的定義域?yàn)閧小工1},

X—1

rrTT冗

設(shè)x=tanO,Jw(——,一)且夕工一,貝!Jcos0>(),

224

_______1

所以v=&an.+l=Icosi£=!

tan-1tan0-1cos^(tan0-\)

_11

sin”.。夜sin。一")°

4

由且。工工,得一包2<o或()<0-2<¥,

2244444

由y=sin(^--)的圖象知-1<sin0—)〈?;?<疝(。,

4442

則一&W0sin(。一工)<0或Ovsini。一巴)<1,

44

所以------!------<或------1-2*4------->1,

J^sin(0---)-J^sin(O---)

44

即y<----或y>1.

故函數(shù)的值域E-.uam。

解法4(用不等式放縮求解)

函數(shù)y二*片的定義域?yàn)椴房冢?).

(1)當(dāng)x>l時(shí),

_Vx2+I_+lx>/(-¥—I)-_

v=------

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶(hù)所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶(hù)上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶(hù)上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶(hù)因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評(píng)論

0/150

提交評(píng)論