新湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修·第二冊(cè)2.4.2 第二課時(shí) 向量與平行 課件（共30張PPT）

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第2課時(shí)向量與平行

新知初探·課前預(yù)習(xí)

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預(yù)習(xí)

教材要點(diǎn)

要點(diǎn)一向量法判斷線線平行

設(shè)直線l1的方向向量為v1＝(x1，y1，z1)，直線l2的方向向量為v2＝(x2，

y2，z2)，則l1∥l2______________________．

批注注意l1與l2是兩條不重合的直線．

v1∥v2

要點(diǎn)二向量法判斷線面平行

設(shè)直線l的方向向量為v＝(x，y，z)，平面α的法向量是n＝(a，b，c)，

則l∥α__________________________________．

批注必須說(shuō)明直線不在平面內(nèi)！

v⊥n

v·n＝0

xa＋yb＋zc＝0

要點(diǎn)三向量法判斷面面平行

設(shè)平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，

則α∥β__________________________．

批注必須說(shuō)明兩個(gè)平面不重合！

n1∥n2

n2＝kn1

基礎(chǔ)自測(cè)

1．判斷正誤(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)

(1)若向量n1，n2為平面的法向量，則以這兩個(gè)向量為方向向量的直線一定平行．()

(2)若平面外的一條直線的方向向量與平面的法向量垂直，則該直線與平面平行．()

(3)兩個(gè)平面的法向量平行，則這兩個(gè)平面平行；兩個(gè)平面的法向量垂直，則這兩個(gè)平面垂直．()

×

√

√

2．若直線l1，l2的方向向量分別為v1＝(1，2，3)，v2＝(－，－1，－)，則l1，l2的位置關(guān)系是()

A．垂直B．重合

C．平行D．平行或重合

答案：D

解析：因?yàn)関1＝(1，2，3)，v2＝，

所以v1＝－2v2，即v1∥v2，

所以l1∥l2或l1與l2重合．

3．已知直線l的方向向量a＝(－1，2，1)，平面α的法向量b＝(－2，－2，2)，則直線l與平面α的位置關(guān)系是()

A．l∥α

B．l⊥α

C．lα

D．以上選項(xiàng)都不對(duì)

答案：D

解析：a＝(－1，2，1)，b＝(－2，－2，2)，

則a·b＝2－4＋2＝0，故a⊥b，

故直線l與平面α的位置關(guān)系是l∥α或lα.

4．已知兩個(gè)不同的平面α，β的法向量分別是n1＝(1，2，2)和n2＝(3，6，6)，則平面α，β的位置關(guān)系是________．

α∥β

解析：∵n1＝(1，2，2)，n2＝(3，6，6)，

∴n1＝n2，∴n1∥n2，∴α∥β.

題型探究·課堂解透

題型1向量法證明線線平行

例1在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，點(diǎn)P，Q，R，S分別是AA1，D1C1，AB，CC1的中點(diǎn)．求證：PQ∥RS.

證明：方法一以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.

則P(3，0，1)，Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0，4，1)，

∴＝(－3，2，1)，＝(－3，2，1)，

∴＝，∴∥，即PQ∥RS.

方法二＝＝，

＝＋＝＋，

∴＝∥，即RS∥PQ.

方法歸納

利用向量法證明線線平行的2種方法

鞏固訓(xùn)練1如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1和BB1的中點(diǎn)．求證：四邊形AEC1F是平行四邊形．

證明：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為正交基建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A(1，0，0)，E(0，0，)，C1(0，1，1)，F(xiàn)(1，1，)，

∴＝＝＝(0，1，)，＝(0，1，)，

∴＝＝，

∥，

∴AE∥FC1，EC1∥AF，

∴四邊形AEC1F是平行四邊形．

題型2向量法證明線面平行

例2在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)．證明：PA∥平面EDB.

證明：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，D是坐標(biāo)原點(diǎn)，

設(shè)PD＝DC＝a.連接AC，交BD于點(diǎn)G，連接EG，

依題意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，E(0，)．

方法一設(shè)平面BDE的法向量為n＝(x，y，z)，

又＝(0，)，＝(a，，－)，

則有即

即令z＝1，則所以n＝(1，－1，1)，

又＝(a，0，－a)，所以n·＝(1，－1，1)·(a，0，－a)＝a－a＝0.

所以n⊥.

又PA平面EDB，所以PA∥平面EDB.

方法二因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以G是此正方形的中心，

故點(diǎn)G的坐標(biāo)為(，0)，所以＝(，0，－)．

又＝(a，0，－a)，所以＝2，這表明PA∥EG.

而EG平面EDB，且PA平面EDB，所以PA∥平面EDB.

方法三假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，μ使得＝λ＋μ，

即(a，0，－a)＝λ(0，)＋μ(a，，－)，

則有解得

所以＝－，

又PA平面EDB，所以PA∥平面EDB.

方法歸納

利用空間向量證明線面平行的3種方法

鞏固訓(xùn)練2在如圖所示的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中點(diǎn)，求證：AB∥平面DEG.

證明：∵EF⊥平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，

∴EF⊥AE，EF⊥BE.又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA兩兩垂直．

以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB，EF，EA所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

由已知得，E(0，0，0)，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(xiàn)(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，

∴＝(0，2，2)，＝(2，2，0)，＝(2，0，－2)．

設(shè)平面DEG的法向量為n＝(x，y，z)，

則即

令y＝1，得z＝－1，x＝－1，則n＝(－1，1，－1)，

∴·n＝－2＋0＋2＝0，即⊥n.

∵AB平面DEG，∴AB∥平面DEG.

題型3向量法證明面面平行

例3如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點(diǎn)E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn)．求證：平面EGF∥平面ABD.

解析：如圖所示，由條件知BA，BC，BB1兩兩互相垂直，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

由條件知B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，E(0，0，3)，F(xiàn)(0，1，4)，設(shè)BA＝a，則A(a，0，0)，G(，1，4)．

所以＝(a，0，0)，＝(0，2，2)，

＝(0，2，－2)，＝(，1，1)，＝(0，1，1)．

方法一因?yàn)椤ぃ?，·＝0＋4－4＝0，

所以B1D⊥BA，B1D⊥BD.

因?yàn)锽A＝B，所以B1D⊥平面ABD.

又·＝0＋2－2＝0，

·＝0＋2－2＝0.

所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG＝E，

所以B1D⊥平面EFG，可知平面EGF∥平面ABD.

方法二設(shè)平面EGF的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，

則即

令y1＝1，則n1＝(0，1，－1)．

設(shè)平面ABD的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，

則即

即

令y2＝1，則n2＝(0，1，－1)．

所以n1＝n2，

所以平面EGF∥平面ABD.

方法歸納

利用空間向量證明面面平行的方法

鞏固訓(xùn)練3已知正方體ABCD-A′B′C′D′，求證：平面AB′D′∥平面BDC′.

證明：方法一設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則A(1，0，0)，B′(1，1，1)，D′(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，0，0)，C′(0，1，1)，于是＝(0，1，1)，＝(1，1，0)．

設(shè)平面AB′D′的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，

則即

令y1＝1，可得平面AB′D′的一個(gè)法向量為

n1＝(－1，1，－1)．

設(shè)平面BDC′的法向量為n2＝(x2，y2，z2)．

易知＝(1，1，0)，＝(0，1，1)，

由得

令y2＝1，可得平面BDC′的一個(gè)法向量為n2＝(－1，1，－1)．

則n1＝n