數(shù)學數(shù)學建模課件

數(shù)學建模主講人：張引娣7/25/20231.數(shù)學建模概論

隨著科學技術的不斷進步,數(shù)學模型和數(shù)學建模這些名詞已經越來越多的出現(xiàn)在我們的日常工作和日常生活中.城市人口不斷增加,道路顯得越來越擁擠,你想改善城市的交通狀況嗎?那你首先必須建立一個交通流模型,研究一番城市交通的現(xiàn)狀及可能有的發(fā)展趨勢,從中找出改善交通擁擠現(xiàn)象的有效措施。我國人口多，你想研究一下怎樣才能有效控制住我國人口的迅猛增長而又不會在其他方面造成過大的負面影響嗎？那你要建立一個能較好反映真實情況的我國人口模型，對人口增長作出預測，并分析各種政策的實施究竟會對我國人口的增長以7/25/2023及對國民經濟各領域的發(fā)展產生怎樣的影響，等等，等等。總之，社會，經濟，生物，醫(yī)學…各學科，各行業(yè)時時刻刻都在提出各種各樣的實際課題，要求我們運用數(shù)學知識去開展研究，找出解決問題的辦法來。過去，由于計算技術的落后，一些學科中的實際問題很難用數(shù)學方法對它們進行定量化的研究，只能依據(jù)經驗作一些宏觀分析。然而，這種狀況現(xiàn)在已經有了根本性的改變，計算機的出現(xiàn)和計算技術的發(fā)展為開展更深入的定量分析奠定了基礎，于是，經濟數(shù)學，生物（生態(tài)）數(shù)學，管理科學等新興學科分支不斷涌現(xiàn)，大大拓展了數(shù)7/25/2023學的應用范疇。然而，科學研究與技術革新所面臨的各種問題（即研究課題）一開始大都并非純粹的數(shù)學問題。例如，我們想知道我國的國寶熊貓最后究竟是否會絕種，是否有辦法保護它們滅頂之災？近年城市里的私家車發(fā)展得如此之快，如何改善路況，才能最大限度地避免交通阻塞？近幾年來大中城市的房價增長過快，有什么辦法能做到既有效改善群眾的住房條件，又抑制炒房風越刮越烈？我國的城市化進程非常的快，如何解決好面臨的各種新問題，使各行各業(yè)的發(fā)展呈現(xiàn)良性平衡？等等，等等。這些問題本身并非純數(shù)學方面的問題但對它們的研7/25/2023究又離不開數(shù)學。如何應用數(shù)學知識去研究和解決這些實際問題呢，我們遇到的第一個問題就是如何建立恰當?shù)臄?shù)學模型來描述它們。建立數(shù)學模型其實就是架設連接實際課題與描述它們的相應數(shù)學問題之間的橋梁，只有建立好相應的數(shù)學模型，才有可能運用數(shù)學方法來研究實際問題。從這一意義上講，數(shù)學建模可以說是一切學科研究的基礎。沒有一個較好的數(shù)學模型就不可能得到較好的研究結果。所以，建立一個較好的數(shù)學模型乃是解決實際問題的關鍵之一。7/25/20231.1數(shù)學模型與數(shù)學建模

客觀實體是我們研究的對象，是科學研究的目標和原型。我們生活在千變萬化的大自然中，時時刻刻會遇到各種各樣的新情況，新問題。自然界中的一切事物都在按自身的規(guī)律在變化著，要適應自然，戰(zhàn)勝自然，人們必須不斷地去探索奧秘，努力去了解客觀實體的本質屬性。世界是變化的，萬物之間存在千絲萬縷的聯(lián)系，其間必然存在著大量的數(shù)量關系。數(shù)學，特別是高等數(shù)學，正是研究這種數(shù)量關系的學科，從而十分自然地成了各門學科研究和發(fā)展的重要工具。7/25/2023

數(shù)學學科，從其誕生的第一天起，就一直和人們的生長、生活密切相關。數(shù)學的特點不僅在于其概念的抽象性和邏輯的嚴密性，也在于其應用的廣泛性。牛頓為了研究引力現(xiàn)象及受迫運動創(chuàng)建了微積分，而微積分的創(chuàng)建又極大地強化了人們的研究手段，推動了科學技術的迅猛發(fā)展。所以，數(shù)學離不開科研、生產實際，科研、生產實際也同樣離不開數(shù)學。然而，數(shù)學并非簡單的等同于科研、生產實際。這就產生了一個問題，如何運用數(shù)學工具去研究和解決實際問題呢？實際問題一般都是及其復雜的，人們不可能一絲不差地用數(shù)學將其復制出來。為了用數(shù)學來描述實7/25/2023際問題，研究者必須從實際問題中抽象出它的本質屬性，抓住主要因素，去除次要因素，經過必要的精練簡化，建立起相應的“數(shù)學模型”。此后的進一步研究將建立在此數(shù)學模型之上，這樣一來，一個實際問題就轉變成了一個數(shù)學問題。假如這一數(shù)學問題的求解在數(shù)學上并無困難，我們就成功地（至少是在一定程度上）解決了實際問題；假如現(xiàn)有的數(shù)學知識尚無法解決這一數(shù)學問題，則對該實際問題的研究必然也會推動數(shù)學學科本身的發(fā)展（象牛頓創(chuàng)建微積分那樣），自然科學的進步就是在這樣一種滾動式的進程中實現(xiàn)的。7/25/2023

如前所說，模型不是客觀實體的復制或翻版，而是客觀實體有關屬性的（經必要簡化的）模擬。研究結果好不好在很大程度上取決于模型建立得好不好，因為你的研究結果其實是從對數(shù)學模型的研究中得出來的。那么，根據(jù)什么來評價模型的好壞呢？稍稍想一下你就會發(fā)現(xiàn)，評價的標準和你研究的目的有關。例如，陳列在櫥窗中的飛機模型好不好應當看其外形究竟像不像真正的飛機，至于它是否真的會飛卻無關緊要，我們把它陳列在那里的目的是讓別人看的而不是去飛的；然而，要拿去參加航模比賽的飛機模型就全然不同了，如果飛行7/25/2023性能不佳，外形再像飛機，也不能算是一個好的模型。模型不一定是對實體的一種仿照，也可以是對實體的某些基本屬性的抽象。例如，一張地質圖并不需要用實物來模擬，它可以用抽象的符號、文字和數(shù)字來反映出該地區(qū)的地質結構。數(shù)學模型也是一種模擬，它是用數(shù)學模型、數(shù)學式子程序、圖形等對實際課題本質屬性的抽象而又簡潔的刻畫，對它研究的結果或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預測客觀實體未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一些現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。數(shù)學模型的建立常常既需要人們對現(xiàn)實問題作深入7/25/2023細致的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數(shù)學知識。這種從實際課題中抽象，提煉出數(shù)學模型的過程被稱為數(shù)學建模（MathematicalModeling）.7/25/20231.2萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)

15世紀中葉，哥白尼（1473－1543）沖破宗教勢力的束縛，向長期統(tǒng)治人們頭腦的地心說發(fā)起挑戰(zhàn)，提出了震驚世界的日新說。按照哥白尼的理論，地球是在一個以太陽為圓心的圓形軌道上作均勻圓周運動的，地球繞太陽一周的時間為一年。哥白尼的理論是科學史上的一次重大革命。盡管由于受歷史和科學水平的限制，其學說免不了也包含一些不盡如人意的缺陷，然而，其進步意義是勿庸置疑的。此后，丹麥著名的實驗天文學家第谷（1546－1601）花了二十年時間觀察記錄下了當時已發(fā)現(xiàn)的五大行星的運動情況，留下了十分豐富而7/25/2023又精確的第一手資料。第谷的學生和助手開普勒(1571－1630)對這些資料進行了九年時間的分析計算后，發(fā)現(xiàn)第谷的觀察結果與哥白尼的理論并不完全一致，例如，火星的運行周期就相差了1/8度。開普勒深信第谷的觀察結果是相當精確的不至于產生1/8度的誤差這就使他對哥白尼的圓形軌道的假說產生了懷疑。他以觀察數(shù)據(jù)為依據(jù)，歸納出了開普勒第一定律：行星沿橢圓形軌道繞太陽運行，太陽位于此橢圓的一個焦點上。開普勒在計算出當時已知的五大行星的運行周期T和軌道的長半軸a后，又發(fā)現(xiàn)了其他一些行星運行的規(guī)律(見表1)。7/25/2023行星周期長半軸水星0.2410.3870.058140.0580金星0.6150.7230.3780.378火星1.8811.5243.543.54木星11.865.203140.7140.9土星29.469.539867.9868.0表1五大行星運行周期及軌道長半軸7/25/2023

當時，對數(shù)表已經出現(xiàn)了，把上述數(shù)據(jù)的對數(shù)查出來，得到了一張新表(表2)。

表2水星金星火星木星土星－0.41－0.140.180.720.98－0.62－0.210.271.071.477/25/2023

由表2可以看出，故。據(jù)此，開普勒提出了至今仍十分著名的三大假設(即天文學中的Kepler三定律)，這就是：（1）行星軌道是一個橢圓，太陽位于此橢圓的一個焦點上。（2）行星在單位時間內掃過的面積不變。（3）行星運行周期的平方正比于橢圓長半軸的三次方，比例系數(shù)不隨行星而改變(即比列系數(shù)是絕對常數(shù))。7/25/2023

牛頓認為，行星運動具有上述特征必定是某一力學規(guī)律的反映，他決心找出這一規(guī)律。根據(jù)開普勒定律(1)、(2)，行星運行的速度顯然是變化的，但這種變化的速度在當時還無法計算。為了研究這種變化的速度，牛頓引入了全新的計算方法，從而創(chuàng)立了微積分。下面我們來看看，如何根據(jù)開普勒三定律及牛頓第二定律，利用微積分方法推導出牛頓第三定律—萬有引力定律。7/25/2023例1

取直角坐標系如圖1.1所示，其中指向行星所在位置，垂直于，和均為單位矢量，用表示由太陽指向行星的矢徑，其長度記為。設矢徑與軸的夾角為。圖1行星的軌道7/25/20231-1模型假設(I)

橢圓軌道方程式中，分別表示橢圓的長、短半軸，表示橢圓的離心率。(II)單位時間內向徑掃過的面積一定，即7/25/2023(III)行星運動周期滿足式中為與行星無關的絕對常數(shù)。(IV)行星運動時受力，滿足式中，是向徑，為行星質量，為向心加速度。7/25/20231-2模型建立首先引入基向量則向徑易導出利用式(6)和式(7)及復合函數(shù)求導法則，不難推出行星運動速度和加速度表達式為7/25/2023由假設(II)有于是有從而式(8)的第二式可簡化為利用假設(I)中式(1)的第一式求導數(shù)，并將式(9)中的表達式代入式中，得到7/25/2023再代入到式(10)，得到從而最終得出上面得到的式子表明：行星受力的方向與向徑相反，即沿太陽與行星連線反向指向太陽；力的大小與行星質量成正比，且與太陽和行星間的距離的平方成反比。7/25/2023實際上，常數(shù)和與行星有關，而是絕對常數(shù)，即它與行星無關。行星運行一個周期時，其向徑掃過的面積恰為橢圓面積，即有，由此得出式中，為萬有引力常數(shù)，為太陽質量。從而由(11)式得到人們所熟悉的形式：7/25/20232數(shù)學模型的一般步驟了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資料。在明確建模目的，掌握必要資料的基礎上，通過對資料的分析計算，找出起主要作用的因素，經必要的精煉、簡化，提出若干符合客觀實際的假設。在所在假設的基礎上，利用適當?shù)臄?shù)學工具去刻畫各變量之間的關系，建立相應的數(shù)學結構，即建立數(shù)學模型。模型求解。模型的分析與檢驗。7/25/2023

綜上所述，數(shù)學建模的過程可以概括為如圖2所示的流程：實際問題1澄清問題2形成數(shù)學模型3模型求解4解釋數(shù)學解5檢驗與評價6應用或寫出報告圖27/25/20233數(shù)學建模與能力的培養(yǎng)

數(shù)學建模實踐的每一步都蘊含著能力上的鍛煉，在調查研究階段，需要觀察能力、分析能力和數(shù)據(jù)處理能力等。在提出假設時，又需要想象力和歸納簡化能力。實際問題經常是十分復雜的，既存在著必然的因果關系，也存在著某些偶然的因果關系，這就需要我們從錯綜復雜的現(xiàn)象中找出主要因素，略去次要因素，確定變量的取舍，并找出變量間的內在聯(lián)系。假設條件通常是圍繞著兩類目的提出的，一類假設的提出是為了簡化問題，突出主要因素；而另一類則是為了應用某些數(shù)學知7/25/2023識或其他學科的知識。但不管哪一類假設，都必須盡可能符合實際，既要做到不失真或少失真又要便于使用數(shù)學方法處理，兩者應盡量兼顧。此外，我們的研究是前人工作的延續(xù)，在真正開始自己的研究之前，還應當盡可能地先了解一下前人或別人的工作，使自己的工作真正成為別人研究工作的繼續(xù)而不是別人工作的重復，這就需要你具有很強的查閱文獻資料的能力。你可以把某些已知的研究結果用作你的假設，即“站在前人的肩膀上”，去探索新的奧秘。牛頓導出萬有引力定律所用的假設主要有四條，即開普勒的三大定律和牛頓自己的第二定律，他所做的工作表明，如果這些假設是對的，如果7/25/2023推導過程也是正確的，那么萬有引力定律也是對的。事實上，我們也可以由萬有引力定律反過來推導出開普勒的三大定律。因而，萬有引力定理被驗證是正確的，也同樣印證了開普勒三大定律和牛頓第二定律是正確的?？傊谔岢黾僭O時，你應當盡量引用已有的知識，以避免做重復性工作。建模求解階段是考驗你的數(shù)學功底和應變能力的階段，你的數(shù)學基礎越好，應用就越自如。但學無止境，任何人都不是全才，想學好了再做，其結果必然是什么也不做，因此，我們還應當學會在盡可能短的時間內查到并學會我想應用知識的本領。7/25/20234.初等模型

椅子的擺放問題公平的席位分配問題

7/25/2023例2.

椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？下面用數(shù)學建模的方法解決此問題。2-1模型準備

仔細分析本問題的實質發(fā)現(xiàn)本問題與椅子腳，地面及椅子腳和地面是否接觸有關。如果把椅子腳看成平面上的點，并引入椅子腳和地面距離的函數(shù)關系就可以將問題與平面幾何和連續(xù)函數(shù)聯(lián)系起來，從而可以用幾何知識和連續(xù)函數(shù)知識來進行數(shù)學建模。椅子的擺放問題7/25/20232-2模型假設

為了討論問題方便，對問題進行簡化，先做出如下三個假設：（1）椅子的四條腿一樣長，椅子腳與地面接觸可以視為一個點，且四腳連線是正方形(對椅子的假設)。（2）地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不出現(xiàn)間段(對地面的假設)。（3）椅子放在地面上至少有三只腳同時著地(對椅子和地面之間關系的假設)。7/25/20232-3模型構成

根據(jù)上述假設進行本問題的模型構成。用變量表示椅子的位置，引入平面坐標系如圖3所示。圖中為椅子的四只腳，坐標系原點選為椅子中心，坐標系選為椅子四只腳的對角線。圖37/25/2023于是，由假設（2），椅子的移動位置可以由正方形沿坐標原點旋轉的角度來唯一表示，而且椅子腳與地面的垂直距離就成為的函數(shù)。注意到正方形的中心對稱性，可以用椅子的相對兩個腳與地面的距離之和來表示這對應兩個腳與地面的距離關系，這樣用一個函數(shù)就可以描述椅子兩個腳是否著地的情況。本題引入兩個函數(shù)即可描述椅子四個腳是否著地的情況。7/25/2023記函數(shù)為椅子腳與地面的垂直距離之和，函數(shù)為椅子腳與地面的垂直距離之和，則有，且它們都是的連續(xù)函數(shù)。由假設（3），對任意的，，至少有一個為零，不妨設當時，，故問題可以歸結為證明如下數(shù)學命題。數(shù)學命題

（問題的數(shù)學模型）

已知都是的非負連續(xù)函數(shù)，對任意的，有，且。則存在，使得7/25/20232-4模型求解

證明：將椅子旋轉，對角線與互換，

故變?yōu)?。構造函?shù)，則有，且也是連續(xù)函數(shù)。顯然，在閉區(qū)間連續(xù)。由介值定理，必存在，使，即存在，使得。由于對任意的，有，特別有，于是至少一有一個為零，從而有

7/25/2023--簡評--

問題初看起來似乎與數(shù)學沒有什么關系，不易用數(shù)學建模來解決；但通過如上處理把問題變?yōu)橐粋€數(shù)學定理的證明，使其可以用數(shù)學建模來解決，從中可以看到數(shù)學建模的重要作用。本題給出的啟示是：對于一些表面上與數(shù)學沒有關系的實際問題也可以用數(shù)學建模的方法來解決，此類問題建模的著眼點是尋找、分析問題中出現(xiàn)的主要對象及其隱含的數(shù)量關系，通過適當簡化與假設將其變?yōu)閿?shù)學問題。7/25/2023

公平的席位分配問題

席位分配在社會活動中經常遇到，如人大代表或職工學生代表的名額分配、其他物質材料的分配等。通常分配結果的公平與否以每個代表席位所代表的人數(shù)相等或接近來衡量。目前沿用的慣例分配方法為按比例分配方法，即

某單位席位分配數(shù)=某單位人數(shù)比例總席位

按上述公式進行分配，如果一些單位的席位分配數(shù)出現(xiàn)小數(shù)，則先按席位分配數(shù)的整數(shù)分配席位，余下席位按所有參與席位分配單位中小數(shù)的大小依次進行分配，這種分配方法公平嗎？下面來看一個學院在分配學生代表席位中遇到的問題：7/25/2023

例3

某學院按有甲、乙、丙三個系并設20個學生代表席位，其最初學生人數(shù)及學生代表席位如表3所示：

表3學生席位情況系名甲乙丙總數(shù)學生數(shù)1006040200學生人數(shù)比例100/20060/20040/200席位分配1064207/25/2023后來出現(xiàn)學生轉系情況，各系學生人數(shù)及學生代表席位有所變化，如表4：

表4轉系后學生席位情況系名甲乙丙總數(shù)學生數(shù)1036334200學生人數(shù)比例103/20063/20034/200按比例分配席位10.36.33.420按慣例分配1064207/25/2023由于總代表席位為偶數(shù)，使得在解決問題的表決中有時出現(xiàn)表決平局現(xiàn)象而不能達成一致意見。為改變這一情況，學院決定再增加一個代表席位，總代表席位變?yōu)?1個。表5為重新按慣例分配席位的情況：表5轉系后學生席位情況系名甲乙丙總數(shù)學生數(shù)1036334200學生人數(shù)比例103/20063/20034/200按比例分配席位10.8156.6153.5721按慣例分配席位1173217/25/2023

這個分配結果導致丙系比增加席位前少一席位的情況，這讓人覺得席位分配明顯不公。這個結果也說明按慣例分配席位的方法有缺陷，請嘗試建立更合理的分配席位方法解決上面代表席位分配中出現(xiàn)的不公平問題。7/25/20233-1模型構成

先討論由兩個單位公平分配席位的情況，具體如表6所示：

表6單位A、B席位情況單位人數(shù)席位每席代表人數(shù)單位AP1n1P1/n1單位BP2n2P2/n27/25/2023

要滿足公平，應該有但這一般不成立。注意到等式不成立時，有：若，則說明單位“吃虧”(即對單位不公平)若，則說明單位“吃虧”(即對單位不公平)。因此，可以考慮用算式來作為衡量分配不公平程度，不過此公式有不足之處（絕對數(shù)的特點），如某兩個單位的人數(shù)和席位為算得另兩個單位的人數(shù)和席位為算得。兩種情況下都有，但顯然第二種情況比第一種公平。7/25/2023

下面采用相對標準對公式給予改進。定義席位分配的相對不公平標準公式如下：若，定義為對單位的相對不公平值。

若，定義為對單位的相對不公平值。7/25/2023

由定義知，對某單位的不公平值越小，該單位在席位