線性代數(shù)經(jīng)管類串講-自考必備教學課件

第一章行列式(一)行列式的定義行列式是指一個由若干個數(shù)排列成同樣的行數(shù)與列數(shù)后所得到的一個式子,它實質(zhì)上表示把這些數(shù)按一定的規(guī)則進行運算,其結果為一個確定的數(shù)1.二階行列式由4個數(shù)an(i,j=1,2)得到下列式子:稱為一個二階行列式,其運算規(guī)則為an42-a12a22.三階行列由9個數(shù)an(i,j=1,2,3)得到下列式子:21a2a23稱為一個三階行列式,它如何進行運算呢?教材上有類似于二階行列式的所謂對角線法,我們采用遞歸法,為此先要定義行列式中元素的余子式及代數(shù)余子式的概念3.余子式及代數(shù)余子式設有三階行列式D3=a21a2a對任何一個元素an,我們劃去它所在的第i行及第j列,剩下的元素按原先次序組成一個二階行列式,稱它為元素4的余子式,記成M例如M1再記A=(-1)M,稱A為元素a#的代數(shù)余子式例如A1=M1,A21=-M2,A1那階行列式D3定義為1a1我們把它稱為D2按第一列的展開式,經(jīng)常簡寫成D3=∑a1A41=∑(-1)-anMan階行列式階行列式D1={41|=a1n階行列式Dn=AAA1A1+a2A21+A+a其中A(,j=1,2,L,n)為元素an的代數(shù)余子式5.特殊行列式0上三角行列式22aa2,La00a0L0下三角行列式2210LLLL-na,La,ww0L0對角行列式LLLI=ana2,L00L二)行列式的性質(zhì)性質(zhì)1行列式置行列式即D=D性質(zhì)2用數(shù)k乘行列式D中某一行(列)的所有元素所得到的行列式等于kD,也就是說,行列式可以按行和列提出公因數(shù)性質(zhì)3互換行列式的任意兩行(列),行列式的值改變符號推論1如果行列式中有某兩行(列)相同,則此行列式的值等于零推論2如果行列式中某兩行(列)的對應元素成比例,則此行列式的值等于零性質(zhì)4行列式可以按行(列)拆開性質(zhì)5把行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以同一個數(shù)以后加到(列)的對應元素上去,所得的行列式仍為D定理1(行列式展開定理)n階行列式D=等于它的任意一行(列)的各元素與其對應的代數(shù)余子式的乘積的和,即D=ajA+a2A2+A+aA(i=1,2,A,n)EXD=aA+a2:A2i+A+aAn(j=1,2,A,n)前一式稱為D按第i行的展開式,后一式稱為D按第j列的展開式本定理說明,行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開來求出它的值.定理2n階行列式D=的任意一行(列)各元素與另一行(列)對應元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零即an1A21+a12A2+△+anAn=0(≠k)a1;A1+a2;AO(j≠s)(三)行列式的計算行列式的計算主要采用以下兩種基本方法:(1)利用行列式性質(zhì),把原行列式化為上三角(或下三角)行列式再求值,此時要注意的是在互換兩行或兩列時,必須在新的行列式的前面乘上(-1),在按行或按列提取公因子k時,必須在新的行列式前面乘上k2)把原行列式按選定的某一行或某一列展開,把行列式的階數(shù)降低,再求出它的值,通常是利用性質(zhì)在某一行或某一列中產(chǎn)生很多個“0”元素,再按這一行或這一列展開例1計算行列式D4解:觀察到第二列第四行的元素為0,而且第二列第一行的元素是a12=1,利用這個元素可以把這列其它兩個非零元素化為0,然后按第二列展開214D2行+1×1行506按第二列展開-1-502323行+(-2)×10-52列+5×1列100按第二行展開312bbb例2計算行列式D4解:方法1這個行列式的元素含有文字,在計算它的值時,切忌用文字作字母,因為文字可能取0值要注意觀察其特點,這個行列式的特點是它的每一行元素之和均為a+3(我們把它稱為行和相同行列式),我們可以先把后三列都加到第一列上去,提出第一列的公因子a+3b,再將后三行都