高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題(含答案)

第31頁高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題與答案解析一元函數(shù)微積分概要（一）函數(shù)、極限與連續(xù)1.求下列函數(shù)的定義域:(1)SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.解(1)由所給函數(shù)知,要使函數(shù)SKIPIF1<0有定義，必須滿足兩種情況，偶次根式的被開方式大于等于零或?qū)?shù)函數(shù)符號(hào)內(nèi)的式子為正，可建立不等式組，并求出聯(lián)立不等式組的解.即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0推得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0這兩個(gè)不等式的公共解為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所以函數(shù)的定義域?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0(2)由所給函數(shù)知，要使函數(shù)有定義，必須分母不為零且偶次根式的被開方式非負(fù)；反正弦函數(shù)符號(hào)內(nèi)的式子絕對(duì)值小于等于1.可建立不等式組，并求出聯(lián)立不等式組的解.即SKIPIF1<0推得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0,因此，所給函數(shù)的定義域?yàn)镾KIPIF1<0.2.設(shè)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，求SKIPIF1<0的定義域.解：令SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（kSKIPIF1<0,kSKIPIF1<0+SKIPIF1<0）,kSKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0 SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0（kSKIPIF1<0,kSKIPIF1<0+SKIPIF1<0）,kSKIPIF1<0SKIPIF1<0.3.設(shè)SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.解：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(SKIPIF1<0SKIPIF1<01,0),SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(SKIPIF1<0SKIPIF1<00,1).4.求下列極限：（1）SKIPIF1<0,（2）SKIPIF1<0,解：原式=SKIPIF1<0解:原式=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=2.（抓大頭）=SKIPIF1<0.（恒等變換之后“能代就代”）（3）SKIPIF1<0,（4）SKIPIF1<0,解：原式=SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0,=SKIPIF1<0SKIPIF1<0,=SKIPIF1<0.（恒等變換之后“能代就代”）SKIPIF1<0原式=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.（等價(jià)）（5）SKIPIF1<0,（6）SKIPIF1<0，解：原式=SKIPIF1<0解：原式=SKIPIF1<0=0+100=100（無窮小的性質(zhì)）SKIPIF1<0．(7)SKIPIF1<0．解:原式=SKIPIF1<0．（抓大頭）（8）SKIPIF1<0.解：因?yàn)镾KIPIF1<0而SKIPIF1<0，求該式的極限需用無窮小與無窮大關(guān)系定理解決．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0是無窮小量，因而它的倒數(shù)是無窮大量，即SKIPIF1<0．（9）SKIPIF1<0．解：不能直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則，因?yàn)楫?dāng)SKIPIF1<0時(shí)分子，極限不存在，但SKIPIF1<0是有界函數(shù)，即SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，因此當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0為無窮小量.根據(jù)有界函數(shù)與無窮小乘積仍為無窮小定理，即得SKIPIF1<0.（10）SKIPIF1<0．解：分子先用和差化積公式變形，然后再用重要極限公式求極限原式=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．（也可用洛必達(dá)法則）（11）SKIPIF1<0.解一原式=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，解二原式=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．（12）SKIPIF1<0．解：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（SKIPIF1<0SKIPIF1<0）．（等價(jià)替換）5.求下列極限（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0（5）SKIPIF1<0解：（1）由于SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故原極限為SKIPIF1<0型，用洛必達(dá)法則所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0（分母等價(jià)無窮小代換）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）此極限為SKIPIF1<0，可直接應(yīng)用洛必達(dá)法則所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（3）所求極限為SKIPIF1<0型，不能直接用洛必達(dá)法則，通分后可變成SKIPIF1<0或SKIPIF1<0型.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（4）所求極限為SKIPIF1<0型，得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0型）=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（5）此極限為SKIPIF1<0型，用洛必達(dá)法則，得SKIPIF1<0不存在，因此洛必達(dá)法則失效！但SKIPIF1<0.6.求下列函數(shù)的極限：（1）SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0為何值時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的極限存在.解：(1)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因?yàn)樽髽O限不等于右極限，所以極限不存在．（2）由于函數(shù)在分段點(diǎn)SKIPIF1<0處，兩邊的表達(dá)式不同，因此一般要考慮在分段點(diǎn)SKIPIF1<0處的左極限與右極限．于是，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，為使SKIPIF1<0存在，必須有SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，因此，當(dāng)SKIPIF1<0=1時(shí)，SKIPIF1<0存在且SKIPIF1<0=1．7.討論函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在點(diǎn)SKIPIF1<0處的連續(xù)性．解：由于函數(shù)在分段點(diǎn)SKIPIF1<0處兩邊的表達(dá)式不同，因此，一般要考慮在分段點(diǎn)SKIPIF1<0處的左極限與右極限．因而有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，由函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充要條件知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處連續(xù)．8.求函數(shù)SKIPIF1<0的間斷點(diǎn)，并判斷其類型：解：由初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)知SKIPIF1<0的間斷點(diǎn)為SKIPIF1<0.SKIPIF1<0而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處無定義，故SKIPIF1<0為其可去間斷點(diǎn).又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的無窮間斷點(diǎn).綜上得SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的可去間斷點(diǎn),SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的無窮間斷點(diǎn).（二）一元函數(shù)微分學(xué)1.判斷：（1）若曲線SKIPIF1<0=SKIPIF1<0處處有切線，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0必處處可導(dǎo).答：命題錯(cuò)誤.如：SKIPIF1<0處處有切線，但在SKIPIF1<0處不可導(dǎo).（2）若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)），試判斷下列命題是否正確.①SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處可導(dǎo),②SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處連續(xù),③SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.答：命題①、②、③全正確.(3)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處都不可導(dǎo)，則SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0處也一定不可導(dǎo).答：命題不成立.如：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0=0處均不可導(dǎo)，但其和函數(shù)SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0在SKIPIF1<0=0處可導(dǎo).（4）若SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處可導(dǎo)，SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處不可導(dǎo)，則SKIPIF1<0+SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處一定不可導(dǎo).答：命題成立.原因：若SKIPIF1<0+SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處可導(dǎo)，由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處點(diǎn)可導(dǎo)知SKIPIF1<0=[SKIPIF1<0+SKIPIF1<0]SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點(diǎn)處也可導(dǎo)，矛盾.（5）SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有區(qū)別.答：命題成立.因?yàn)镾KIPIF1<0表示SKIPIF1<0處的導(dǎo)數(shù);SKIPIF1<0表示對(duì)SKIPIF1<0處的函數(shù)值求導(dǎo)，且結(jié)果為SKIPIF1<0.（6）設(shè)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0的某鄰域有定義，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為常數(shù)，下列命題哪個(gè)正確？①SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處可導(dǎo)，且SKIPIF1<0,②SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處可微，且SKIPIF1<0,③SKIPIF1<0（SKIPIF1<0很小時(shí)）.答：①、②、③三個(gè)命題全正確.2.已知SKIPIF1<0，利用導(dǎo)數(shù)定義求極限SKIPIF1<0.解：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=0.3.求SKIPIF1<0SKIPIF1<0，的導(dǎo)數(shù).解：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0SKIPIF1<04.設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0.5.已知SKIPIF1<0求SKIPIF1<0.解：兩端對(duì)SKIPIF1<0求導(dǎo)，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，上式兩端再對(duì)SKIPIF1<0求導(dǎo)，得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入上式，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.6.求SKIPIF1<0=SKIPIF1<0的導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0解：兩邊取對(duì)數(shù)：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,兩邊關(guān)于SKIPIF1<0求導(dǎo)：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0 SKIPIF1<0.7.設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.解：令SKIPIF1<0,兩邊取對(duì)數(shù)得：SKIPIF1<0,兩邊關(guān)于SKIPIF1<0求導(dǎo)數(shù)得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0.8.設(shè)SKIPIF1<0求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.解：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.9.SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0SKIPIF1<0.解：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.10.設(shè)SKIPIF1<0求SKIPIF1<0.解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.11.求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)（1，1）處切線的斜率.解：由題意知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0 SKIPIF1<0,SKIPIF1<0曲線在點(diǎn)（1，1）處切線的斜率為312.求函數(shù)SKIPIF1<0的微分.解一用微分的定義SKIPIF1<0求微分，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0.解二利用一階微分形式不變性和微分運(yùn)算法則求微分，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.13.試證當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.證明：令SKIPIF1<0，易見SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)連續(xù)，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的嚴(yán)格單調(diào)減少函數(shù)，即SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)，即SKIPIF1<0.故對(duì)任意SKIPIF1<0有SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0.14.求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性與極值.解：函數(shù)的定義域?yàn)镾KIPIF1<0.SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0駐點(diǎn)SKIPIF1<0列表SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<000+SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0極小SKIPIF1<0SKIPIF1<0由上表知，單調(diào)減區(qū)間為SKIPIF1<0，單調(diào)增區(qū)間為SKIPIF1<0，極小值SKIPIF1<0求函數(shù)的極值也可以用二階導(dǎo)數(shù)來判別，此例中SKIPIF1<0不能確定SKIPIF1<0處是否取極值，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0是極小值.15.求SKIPIF1<0+SKIPIF1<0在閉區(qū)間SKIPIF1<0上的極大值與極小值，最大值與最小值.解：SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0的極大值為SKIPIF1<04，極小值為SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.∴比較SKIPIF1<0的大小可知：SKIPIF1<0最大值為200，最小值為SKIPIF1<0.16.求曲線SKIPIF1<0的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).解：函數(shù)的定義域?yàn)镾KIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,用SKIPIF1<0把SKIPIF1<0分成SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩部分.當(dāng)SKIPIF1<0SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0曲線的凹區(qū)間為SKIPIF1<0凸區(qū)間為SKIPIF1<0拐點(diǎn)為SKIPIF1<0.17.求函數(shù)SKIPIF1<0的凹向及拐點(diǎn).解：函數(shù)的定義域SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，列表SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01(SKIPIF1<01,1)1SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00+0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0拐點(diǎn)SKIPIF1<0拐點(diǎn)SKIPIF1<0由此可知，上凹區(qū)間SKIPIF1<0,下凹區(qū)間SKIPIF1<0，曲線的拐點(diǎn)是SKIPIF1<0.的漸近線.18.求下列曲線的漸近線（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0，（3）SKIPIF1<0.解（1）所給函數(shù)的定義域?yàn)镾KIPIF1<0.由于SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0為所給曲線SKIPIF1<0的水平漸近線.由于SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0的鉛直漸近線.所給函數(shù)的定義域SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0為所給曲線的鉛直漸近線（在SKIPIF1<0的兩側(cè)SKIPIF1<0的趨向不同）.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是曲線的一條斜漸近線.（3）SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0為曲線的鉛直漸近線,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0為曲線的鉛直漸近線,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0為曲線的水平漸近線,SKIPIF1<0 曲線的漸近線為：SKIPIF1<0.19.求解下列各題：（1）設(shè)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)和總收入函數(shù)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0為該產(chǎn)品的銷售量，求該產(chǎn)品的邊際成本、邊際收入和邊際利潤(rùn).解：邊際成本SKIPIF1<0=SKIPIF1<0邊際收入SKIPIF1<0=SKIPIF1<0邊際利潤(rùn)SKIPIF1<0.（2）設(shè)SKIPIF1<0為某產(chǎn)品的價(jià)格，SKIPIF1<0為產(chǎn)品的需求量，且有SKIPIF1<0,問SKIPIF1<0為何值時(shí)，需求彈性大或需求彈性小.解：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,所以需求價(jià)格彈性SKIPIF1<0,故當(dāng)SKIPIF1<0<SKIPIF1<0,即40<SKIPIF1<0<80時(shí),需求彈性大;當(dāng)SKIPIF1<0<SKIPIF1<0<0,即0<SKIPIF1<0<40時(shí)，需求彈性小.（三）一元函數(shù)積分學(xué)1.在不定積分的性質(zhì)SKIPIF1<0中，為何要求SKIPIF1<0？答：因?yàn)镾KIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0（任意常數(shù)），而不是0.2.思考下列問題：(1)若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為何？答：SKIPIF1<0.(2)若SKIPIF1<0的一個(gè)原函數(shù)為SKIPIF1<0，問SKIPIF1<0為何？答：SKIPIF1<0(3)若SKIPIF1<0的一個(gè)原函數(shù)的SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為何？答：SKIPIF1<0.3.計(jì)算下列積分：（1）SKIPIF1<0,（2）SKIPIF1<0,（3）SKIPIF1<0,（4）SKIPIF1<0,（5）SKIPIF1<0,（6）SKIPIF1<0,（7）SKIPIF1<0,（8）SKIPIF1<0,（9）SKIPIF1<0,（10）SKIPIF1<0,（11）SKIPIF1<0,（12）SKIPIF1<0.解：（1）SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.（3）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.（4）SKIPIF1<0.（5）SKIPIF1<0.（6）SKIPIF1<0.（7）SKIPIF1<0.（8）SKIPIF1<0.（9）SKIPIF1<0.（10）SKIPIF1<0.（11）SKIPIF1<0.（12）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.4.計(jì)算下列不定積分：（1）SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0,（3）SKIPIF1<0，（4）SKIPIF1<0.解：（1）令SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,于是原式=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.（2）令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<04SKIPIF1<0216xSKIPIF1<04SKIPIF1<0216x=SKIPIF1<0.由右圖所示的直角三角形，得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.（2）令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,于是SKIPIF1<0.由右圖所示的直角三角形，得SKIPIF1<0SKIPIF1<024x2SKIPIF1<0SKIPIF1<024x2故SKIPIF1<0.（4）設(shè)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,于是SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0原式=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．5.計(jì)算下列積分：(1)SKIPIF1<0,(2)SKIPIF1<0,(3)SKIPIF1<0,(4)SKIPIF1<0,(5)SKIPIF1<0,(6)SKIPIF1<0.解：（1）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.（3）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.（4）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,移項(xiàng)合并，得SKIPIF1<0.（5）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.（6）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.6.計(jì)算（1）SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0．解：（1）選SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,于是原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,對(duì)于SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0再使用分部積分法,選SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,從而SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．原式=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）,為了簡(jiǎn)便起見，所設(shè)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0等過程不必寫出來，其解題步驟如下:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0,式中出現(xiàn)了“循環(huán)”，即再出現(xiàn)了SKIPIF1<0移至左端，整理得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0[SKIPIF1<0+SKIPIF1<0]+SKIPIF1<0．7.利用定積分的估值公式，估計(jì)定積分SKIPIF1<0SKIPIF1<0的值.解：先求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最值，由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.比較SKIPIF1<0的大小，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由定積分的估值公式，得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.8.求函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0在閉區(qū)間[-1，1]上的平均值.解：平均值SKIPIF1<0.9.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=？解：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.10.已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．解：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0．11.求極限SKIPIF1<0.解：此極限是“SKIPIF1<0”型未定型，由洛必達(dá)法則，得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<012.計(jì)算下列定積分（1）SKIPIF1<0,（2）SKIPIF1<0,（3）SKIPIF1<0.解：（1）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=1.（2）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=4+SKIPIF1<0.（3）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=2+2=4.13.計(jì)算下列定積分（1）SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0.解：(1)SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0SKIPIF1<0.14.計(jì)算（1）SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0．解:（1）利用換元積分法，注意在換元時(shí)必須同時(shí)換限．令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0．15.計(jì)算下列定積分：（1）SKIPIF1<0,（2）SKIPIF1<0,（3）SKIPIF1<0,（4）SKIPIF1<0.解：（1）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(3)SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0移項(xiàng)合并得SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（4）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<016.計(jì)算（1）SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0．解:（1）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．（2）由于在[SKIPIF1<0]上SKIPIF1<0；在[SKIPIF1<0]上SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=[SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0]SKIPIF1<0+[SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0]SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0）+（SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0）=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0．17.判別下列廣義積分的斂散性，如果收斂計(jì)算其值.(1)SKIPIF1<0,(2)SKIPIF1<0,(3)SKIPIF1<0,(4)SKIPIF1<0．解:(1)因?yàn)榉e分區(qū)間為無窮區(qū)間，所以原式=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故所給廣義積分收斂，且其值為SKIPIF1<0．(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,SKIPIF1<0 SKIPIF1<0發(fā)散.(3)SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02SKIPIF1<0SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02SKIPIF1<0SKIPIF1<018.求曲線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸圍成的平面圖形的面積.解：如圖，由SKIPIF1<0得兩曲線交點(diǎn)（1，1）.解一取SKIPIF1<0為積分變量，SKIPIF1<0,所求面積SKIPIF1<0.解二取SKIPIF1<0為積分變量,SKIPIF1<0的變化區(qū)間為[0，1]，SKIPIF1<0.顯然，解法二優(yōu)于解法一.因此作題時(shí)，要先畫圖，然后根據(jù)圖形選擇適當(dāng)?shù)姆e分變量，盡量使計(jì)算方便.19.求下列曲線所圍成的圖形的面積:拋物線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0.解:先畫圖，如圖所示，并由方程SKIPIF1<0，求出交點(diǎn)為（2，SKIPIF1<0），（8，2）.解一取SKIPIF1<0為積分變量,SKIPIF1<0的變化區(qū)間為[SKIPIF1<0，2]，在區(qū)間[SKIPIF1<0，2]上任取一子區(qū)間[SKIPIF1<0，SKIPIF1<0+SKIPIF1<0]，則面積微元SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,則所求面積為SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0=9.解二取SKIPIF1<0為積分變量，SKIPIF1<0的變化區(qū)間為[0，8]，由圖知，若在此區(qū)間上任取子區(qū)間，需分成[0，2]，[2，8]兩部分完成.在區(qū)間[0，2]上任取一子區(qū)間[SKIPIF1<0，SKIPIF1<0+SKIPIF1<0]，則面積微元SKIPIF1<01=SKIPIF1<0,在區(qū)間[2，8]上任取一子區(qū)間[SKIPIF1<0，SKIPIF1<0+SKIPIF1<0]，則面積微元SKIPIF1<02=[SKIPIF1<0]SKIPIF1<0,于是得SKIPIF1<0=SKIPIF1<01+SKIPIF1<02SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0+[SKIPIF1<0SKIPIF1<0]SKIPIF1<0=9.顯然，解法一優(yōu)于解法二.因此作題時(shí)，要先畫圖，然后根據(jù)圖形選擇適當(dāng)?shù)姆e分變量，盡量使計(jì)算方便.20.用定積分求由SKIPIF1<0所圍平面圖形繞SKIPIF1<0軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<011SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.微分方程1.驗(yàn)證SKIPIF1<0為微分方程SKIPIF1<0的解，并說明是該方程的通解.證明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,于是SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的解.SKIPIF1<0與SKIPIF1<0線性無關(guān)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相互獨(dú)立，即SKIPIF1<0中含有與方程SKIPIF1<0階數(shù)相同（個(gè)數(shù)均為2）的獨(dú)立任意常數(shù)，故SKIPIF1<0是該方程的通解.2.用分離變量法求解下列微分方程:（1）SKIPIF1<0,（2）SKIPIF1<0,（3）SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.解：（1）分離變量得SKIPIF1<0,（SKIPIF1<0）兩邊積分得SKIPIF1<0,求積分得SKIPIF1<0,從而通解為SKIPIF1<0及驗(yàn)證SKIPIF1<0也是方程的解.（特別注意，此解不能并入通解）（2）分離變量得SKIPIF1<0,（SKIPIF1<0）兩邊積分得SKIPIF1<0,求積分得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,從而通解為SKIPIF1<0，驗(yàn)證SKIPIF1<0也是方程的解.（3）分離變量得SKIPIF1<0,（SKIPIF1<0）兩邊積分得SKIPIF1<0求積分得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,從而通解為SKIPIF1<0，驗(yàn)證SKIPIF1<0也是方程的解.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故特解為SKIPIF1<0.3.求解下列一階線性微分方程（1）SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為常數(shù)）,(2)SKIPIF1<0.解：(1)因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故通解為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(2)方程變形為SKIPIF1<0,這是SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的一階線性微分方程，其中SKIPIF1<0,通解為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.以上是用一階線性微分方程的通解公式求解，要熟練掌握常數(shù)變易法！4.求微分方程SKIPIF1<0滿足條件SKIPIF1<0的特解.解：這是可以分離變量的微分方程，將方程分離變量，有SKIPIF1<0，兩邊積分，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，求積分得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，得方程的解SKIPIF1<0.可以驗(yàn)證SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，它們也是原方程的解，因此，式SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0可以為任意常數(shù)，所以原方程的通解為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為任意常數(shù)）.代入初始條件SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以特解為SKIPIF1<0.5.求微分方程（1）SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0的通解.（1）解一原方程可化為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，兩邊取積分SKIPIF1<0，積分得SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入原方程，整理得原方程的通解為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為任意常數(shù)）.解二原方程可化為SKIPIF1<0為一階線性微分方程，用常數(shù)變易法.解原方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程SKIPIF1<0，得其通解為SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0為原方程的解，代入原方程，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以原方程的通解為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為任意常數(shù)）.（2）解一原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程SKIPIF1<0分離變量，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩邊積分，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，用常數(shù)變易法.設(shè)SKIPIF1<0代入原方程，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故原方程的通解為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為任意常數(shù)）.解二這里SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入通解的公式得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為任意常數(shù)）.6.求微分方程SKIPIF1<0的通解.解：方程中不顯含未知函數(shù)SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入原方程，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，這是關(guān)于未知函數(shù)SKIPIF1<0的一階線性微分方程，代入常數(shù)變