尋找最優(yōu)的解題方法

精品文檔-下載后可編輯尋找最優(yōu)的解題方法數(shù)學(xué)是思維的“體操”，問(wèn)題是數(shù)學(xué)的“心臟”，解題則是提高數(shù)學(xué)水平的重要途徑.學(xué)生正是通過(guò)一個(gè)一個(gè)的解題，使思維能力得到一步一步的提高.在解題過(guò)程中，若能追求解題的最優(yōu)化，則一方面可以提高思維的深刻性，另一方面也給學(xué)生以美的熏陶，讓學(xué)生深切感受到數(shù)學(xué)的奇妙，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的真諦，激發(fā)學(xué)生更加喜愛(ài)數(shù)學(xué)，激勵(lì)更多的人從事數(shù)學(xué)研究.下面僅以函數(shù)、不等式、數(shù)列等方面的內(nèi)容加以說(shuō)明.

一、變換思維角度

不少問(wèn)題按一般思維方法，往往會(huì)束手無(wú)策或者是計(jì)算量偏大，但如果我們運(yùn)用“正難則反”、逆向思維等手段改變思維角度，則往往能起到“柳暗花明”之功效.

例1：等差數(shù)列{a}中，d=，a=，S=-，求a及n.

[分析]通常可以列出關(guān)于a、n的方程組解決，相對(duì)稍繁.但如果變換一種角度，進(jìn)行逆向考慮，把a(bǔ)看作第一項(xiàng)，則a為最后一項(xiàng)，公差為-，就簡(jiǎn)單多了.

事實(shí)上，-=n×+×（-）？圯n=10，則a=-3.

例2：若ΔABC的三邊a、b、c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：∠B

[分析]由題意=+，要證∠Ba，b>c，>，>，+>，即得矛盾.真是令人大開(kāi)眼界.正如牛頓所說(shuō)：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦?”

例3：已知=（，），=（，），求+與-2（-）的夾角.

[分析]一般思路：易知

||=||=1，·=0，cosθ==-，

而+=（，），-=（，）計(jì)算量偏大.

如果改進(jìn)計(jì)算方法，則可簡(jiǎn)化計(jì)算：

|+|===2，同樣|-|=2，則cosθ=-，又0°≤θ≤180°，θ=120°.

思考：如果從圖形上考慮，則可顯而易見(jiàn)：注意到||=||=，||=||=1，以，為邊作出的平行四邊形為矩形，∠OAB=30°，易知所求角為∠BOC=120°.

啟發(fā)：向量問(wèn)題有時(shí)根據(jù)具體情況可利用幾何意義，如平行四邊形法則、三角形法則、共線、長(zhǎng)度、平面幾何結(jié)論，從圖形入手，往往可起到化繁為簡(jiǎn)的作用.

二、變更問(wèn)題方式

如果一個(gè)問(wèn)題難于解決，我們就可以將其轉(zhuǎn)化為它的等價(jià)命題，或者利用反演原則轉(zhuǎn)化為其他領(lǐng)域問(wèn)題，必要時(shí)甚至可以強(qiáng)化結(jié)論，從而較好地解決問(wèn)題.

例4：已知函數(shù)f（x）=（1+）-2（x≥-2），求方程f（x）=f（x）的解集.

[分析]按常規(guī)思維，須求出f（x），一步一步去解.如果我們將問(wèn)題變更為：等價(jià)于解方程f（x）=x，則易得x=±2.

例5：已知函數(shù)f（x）=-，（1）證明f（x）存在反函數(shù)并求出其反函數(shù)；（2）證明f（x）的反函數(shù)圖像與直線y=x無(wú)交點(diǎn).

[分析]（1）即證a≠b時(shí)f（a）≠f（b），正面直接證明較困難.若改為證它的逆否命題：若f（a）=f（b）則a=b，則不太困難.事實(shí)上，令f（a）=f（b），即-=-，變形得（-）（1+）=0？圯==a=b，不難求得f（x）=（x+）.

（2）若直接由f（x）與y=x聯(lián)列方程組，則計(jì)算量較大.這里若注意到一個(gè)函數(shù)與其反函數(shù)圖像之間的關(guān)系，只需證明原函數(shù)f（x）與直線y=x無(wú)交點(diǎn)即可.

f（x）=-y=x？圯x（1-）=1，當(dāng)0

當(dāng)x≥1時(shí)，x（1-）≤0，得x（1-）=1，均無(wú)解，則方程組無(wú)解.

三、一般、特殊靈活用

特殊與一般是辯證統(tǒng)一關(guān)系，特殊蘊(yùn)含于一般之中，一般包含特殊.我們可以從特殊入手，從簡(jiǎn)單做起，尋找一般的規(guī)律，或者是否定一般性；也可以從一般性入手，反過(guò)來(lái)解決特殊性問(wèn)題.

例6：（1）已知數(shù)列{c}中，c=2+3，數(shù)列{c-pc}為等比數(shù)列，求常數(shù)p；

（2）設(shè){a}、是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，c=a+b，證明{c}不是等比數(shù)列.

[分析]（1）一般做法是利用任一項(xiàng)是前后兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)（第二項(xiàng)起），建立恒等關(guān)系，再化簡(jiǎn)，但化簡(jiǎn)的計(jì)算量偏大，一般學(xué)生難以完成.但如果靈活運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系，首先前三項(xiàng)必須成等比，即可求出p.然后驗(yàn)證，即利用必要條件解題.事實(shí)上，前三項(xiàng)為13-5p，35-13p，97-35p，則（35-13p）=（13-5p）（97-35p），得p=2或p=3，容易驗(yàn)證適合，計(jì)算量明顯減小.

（2）仿（1）同樣只需考慮前三項(xiàng)c=a+b，c=ap+bq，c=ap+bq（記公比分別為p、q），易證得c≠cc，否則不難推出（p-q）=0？圯p=q，從而矛盾.故前三項(xiàng)不能成等比，因而{c}不是等比數(shù)列.

例7：已知函數(shù)f（x）=，那么f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+f（4）+f（）=.

[分析]用死算的方法當(dāng)然能求，但比較耗時(shí).我們將其一般化：考慮到f（x）+f（）=1，則易得原式=f（1）+3=

再如：已知函數(shù)f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a、b、α、β都是非零實(shí)數(shù)，又知f（2022）=-1，求f（2022）.只要將其一般化，研究f（x）與f（x+1）的關(guān)系即可.

四、用好數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，用好數(shù)學(xué)思想方法則能更有效地指導(dǎo)解題，提高解題有效性，做到高瞻遠(yuǎn)矚.

例8：等差數(shù)列{a}中，a=13，S=S，問(wèn)前多少項(xiàng)和最大？

[分析]此題一般方法當(dāng)然能解，但若能從函數(shù)觀點(diǎn)尤其從圖像角度出發(fā)，則會(huì)異常簡(jiǎn)單.

S=na+d=An+Bn，A=

例9：當(dāng)1b.

[分析]此題雖然敘述簡(jiǎn)單，但一般方法并不太好著手.兩邊取對(duì)數(shù)試試看：

即證（b-1）lga>（a-1）lgb，即證>（*）

這自然聯(lián)想到數(shù)形結(jié)合，即比較斜率大小.考察函數(shù)y=lgx，A（1，0）、B（a，lga）、C（b，lgb），B、C兩點(diǎn)在圖像上，b>a>1，由圖像知k>k，即（*）成立，原不等式得證.（見(jiàn)圖2）

例10：若|a|

[分析]運(yùn)用分類討論，則有意想不到的效果.

若（a+b）（a-b）≥0，則|a+b|+|a-b|=|（a+b）+（a-b）|=2|a|

若（a+b）（a-b）

證畢.

例11：拋物線x=8y的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（-2，4），P為拋物線上的一點(diǎn)，求P點(diǎn)坐標(biāo)，使得|PM|+|PF|最小.

若以常規(guī)設(shè)法，設(shè)P（x，y）為拋物線上的一點(diǎn)，則|MP|+|PF|=.顯然，這與簡(jiǎn)單性是背道而馳的，可以說(shuō)此路繁瑣之極.

考慮到數(shù)形結(jié)合，由定義可知，|MP|+|PF|=|PM|+P到準(zhǔn)線的距離，如圖3，易得P點(diǎn)坐標(biāo)為p（-2，）.這個(gè)解法巧妙，簡(jiǎn)捷，合理，優(yōu)美.

又如：求cos+cosπ+cosπ的值.

解：按常規(guī)的方法是用三角變換，乘以后積化和差，逐步變換得結(jié)果，另外