第一節(jié)-數(shù)學(xué)期望課件

以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散型R.VX的分布律為：則稱E(X)為R.VX的數(shù)學(xué)期望,簡稱為期望或均值。不絕對收斂，則稱X的數(shù)學(xué)期望若級數(shù)不存在。記1、定義P87例3解：因此，從平均環(huán)數(shù)上看，甲的射擊水平要比乙的好。甲、乙的環(huán)數(shù)可寫為例4、按規(guī)定，火車站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一輛客車到站，但到站的時(shí)刻是隨機(jī)的，且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立，其規(guī)律為：(1)旅客8:00到站，求他侯車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。(2)旅客8:20到站，求他侯車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。解：設(shè)旅客的候車時(shí)間為（以分記）(1)的分布律：E=10*(1/6)+30*(3/6)+50*(2/6)=33.33(分)

（2）旅客8：20分到達(dá)的分布率為E=10*(3/6)+30*(2/6)+50*(1/36)+70*(3/36)+90*(2/36)=27.22(分)風(fēng)險(xiǎn)決策時(shí)，可根據(jù)期望收益最大原則，選擇最優(yōu)方案，但這樣做有時(shí)并不一定合理例、設(shè)有兩個(gè)決策問題問題1：方案A1：穩(wěn)獲100元；方案B1：獲得250元和0元的機(jī)會各為0.5問題2：方案A2：穩(wěn)獲10000元；方案B2：擲一均勻硬幣，直到出現(xiàn)正面為止，記所擲次數(shù)為N，則當(dāng)正面出現(xiàn)時(shí)，可獲2N元2、常見的離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1）0—1分布X服從參數(shù)為p的（0-1）分布，分布律為則E(X)=p證明：E(X)=0×(1-p)+1×p=p2）二項(xiàng)分布其分布律為則X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=np3）泊松分布其分布律為設(shè)X服從Poisson分布．則X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=4）幾何分布設(shè)X~G(p)．其分布律為則X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=1/p5）超幾何分布設(shè)X~H(N,M,n)．其分布律為則X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=(nM)/N3、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理1：（1）若X的分布律為設(shè)=g(X),g(X)是連續(xù)函數(shù)，例5、設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：Y=X

2求E(Y)

例6、

設(shè)一汽車沿一街道行駛，需經(jīng)過三個(gè)均設(shè)有紅綠信號燈的路口，每盞信號燈以1/2的概率允許或禁止汽車通過.信號燈的工作是相互獨(dú)立的.以

表示汽車首次停下時(shí)，它已通過的路口數(shù)，求(1)E()(2)E(1/1+)解：的分布律為：pk

0123

二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1、定義：P90設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，若積分絕對收斂，則稱積分的值為X的數(shù)學(xué)期望。數(shù)學(xué)期望也稱為均值。記為EX=例7由于因而E不存在例8、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求E(X)2、常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望P901）均勻分布其密度函數(shù)為則X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=(a+b)/22）指數(shù)分布密度函數(shù)為則X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=1/3）正態(tài)分布則X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=3、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望若X的概率密度為f(x),且Y=g(X),若絕對收斂，例10、隨機(jī)變量X服從[0,2]上均勻分布，求EsinX,EX2,E(X-EX)2解：例

假設(shè)一部機(jī)器一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2(全天停止工作），若一周內(nèi)5個(gè)工作日里無故障，可獲利潤10萬元；發(fā)生一次故障可獲利潤5萬元；發(fā)生兩次故障可獲利潤0萬元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元。求一周內(nèi)期望利潤是多少？

解：設(shè)一周內(nèi)發(fā)生故障次數(shù)為X利潤例11設(shè)在國際市場上每年對我國某種出口商品的需求量是隨機(jī)變量X（噸)，它在[2000,4000]上服從均勻分布，又設(shè)每售出這種商品一噸，可為國家掙得外匯3萬元，但假如銷售不出而囤積在倉庫，則每噸需花費(fèi)保養(yǎng)費(fèi)1萬元。問需要組織多少貨源，才能使國家收益最大。解：設(shè)y為預(yù)