高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何第6講空間向量的運算及應(yīng)用教案理含解析新人教A版

第6講空間向量的運算及應(yīng)用基礎(chǔ)知識整合1．空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使eq\o(□,\s\up3(01))a＝λb.(2)共面向量定理如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使eq\o(□,\s\up3(02))p＝xa＋yb.(3)空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得eq\o(□,\s\up3(03))p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空間的一個eq\o(□,\s\up3(04))基底．推論：設(shè)O，A，B，C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x，y，z，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(□,\s\up3(05))xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→)).2．數(shù)量積及坐標運算(1)兩個向量的數(shù)量積①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．②a⊥b?eq\o(□,\s\up3(06))a·b＝0(a，b為非零向量)．③|a|2＝eq\o(□,\s\up3(07))a2，|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).(2)空間向量的坐標運算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則①|(zhì)a|＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；②a＋b＝eq\o(□,\s\up3(08))(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；③a－b＝eq\o(□,\s\up3(09))(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；④λa＝eq\o(□,\s\up3(10))(λa1，λa2，λa3)；⑤a·b＝eq\o(□,\s\up3(11))a1b1＋a2b2＋a3b3；⑥設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(□,\s\up3(12))(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；⑦cos〈a，b〉＝eq\o(□,\s\up3(13))eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).點共線和點共面問題(1)點共線問題：證明點共線問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共線問題，如證明A，B，C三個點共線，即證明eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線(或Aeq\o(B,\s\up6(→))與Beq\o(C,\s\up6(→))共線；或Aeq\o(C,\s\up6(→))與Beq\o(C,\s\up6(→))共線)．(2)點共面問題：點共面問題可轉(zhuǎn)化為向量共面問題，要證明P，A，B，C四點共面，只要能證明eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))，或?qū)臻g任一點O，有eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))，或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)即可．1．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，則λ與μ的值可以是()A．2，eq\f(1,2) B．－eq\f(1,3)，eq\f(1,2)C．－3,2 D．2,2答案A解析∵a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6＝kλ＋1，,2μ－1＝0，,2λ＝2k.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－3，,μ＝\f(1,2).))故選A.2．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，則實數(shù)λ的值為()A．－2 B．－eq\f(14,3)C.eq\f(14,5) D．2答案D解析由題意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.故選D.3．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝()A.eq\o(D1B1,\s\up6(→))B.eq\o(D1B,\s\up6(→))C.eq\o(DB1,\s\up6(→))D.eq\o(BD1,\s\up6(→))答案D解析eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))，故選D.4．若直線l的方向向量為a＝(1,0,2)，平面α的法向量為n＝(－2,0，－4)，則()A．l∥α B．l⊥αC．l?α D．l與α斜交答案B解析∵a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)，∴n＝－2a，即a∥n，∴l(xiāng)⊥α5．已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，則a，b夾角的余弦值為________．答案－eq\f(2\r(5),15)解析cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(2\r(5),15).6．(2018·江蘇啟東中學(xué)期中)已知向量a＝(2，－1,2)，b＝(－1,3，－3)，c＝(13,6，λ)，若向量a，b，c共面，則λ＝________.答案3解析因為a＝(2，－1,2)，b＝(－1,3，－3)，c＝(13,6，λ)，且a，b，c共面，所以存在實數(shù)x，y使得c＝xa＋yb，所以(13,6，λ)＝(2x－y，－x＋3y,2x－3y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝13，,－x＋3y＝6，,2x－3y＝λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝5，,λ＝3.))核心考向突破考向一空間向量的線性運算例1如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).解(1)∵P是C1D1的中點，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中點，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M是AA1的中點，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.觸類旁通用已知向量表示某一向量的方法用已知不共面的向量表示某一向量時，應(yīng)結(jié)合圖形，利用三角形法則或平行四邊形法則，把所求向量用已知向量表示出來．O－ABC中，M，N分別是OA，BC的中點，G是△ABC的重心，用基向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))表示eq\o(OG,\s\up6(→))，eq\o(MG,\s\up6(→)).解eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→))－\o(OA,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\o(OG,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OG,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).考向二共線向量與共面向量定理的應(yīng)用例2如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，G為△A1BD的重心，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，試用a，b，c表示eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→))，并證明A，G，C1三點共線．解eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a＋b＋c.eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1G,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(A1D,\s\up6(→))＋eq\o(A1B,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.因為eq\o(AC1,\s\up6(→))＝3eq\o(AG,\s\up6(→))，所以A，G，C1三點共線．觸類旁通證明三點共線和空間四點共面的方法比較三點(P，A，B)共線空間四點(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))且同過點Peq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))即時訓(xùn)練2.如圖，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，點M，N分別在AC1和BC上，且滿足eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．(1)向量eq\o(MN,\s\up6(→))是否與向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面？(2)直線MN是否與平面ABB1A1解(1)∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋keq\o(BC,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(B1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－k(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－k)eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AA1,\s\up6(→))，∴由共面向量定理知向量eq\o(MN,\s\up6(→))與向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面．(2)當k＝0時，點M，A重合，點N，B重合，MN在平面ABB1A1當0<k≤1時，MN不在平面ABB1A1又由(1)知eq\o(MN,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面，所以MN∥平面ABB1A1考向三空間向量的數(shù)量積角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(1))坐標法例3已知空間三點A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)若|c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求c；(2)求a和b的夾角的余弦值；(3)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k的值．解(1)∵c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴c＝meq\o(BC,\s\up6(→))＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)．∴|c|＝eq\r(－2m2＋－m2＋2m2)＝3|m|＝3.∴m＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a|＝eq\r(12＋12＋02)＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(－12＋02＋22)＝eq\r(5)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－1,\r(10))＝－eq\f(\r(10),10).∴a和b夾角的余弦值為－eq\f(\r(10),10).(3)∵ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.∴k＝2或k＝－eq\f(5,2).即當ka＋b與ka－2b互相垂直時，k＝2或k＝－eq\f(5,2).角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(2))基向量法例4已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD(1)求線段AC1的長；(2)求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值；(3)證明：AA1⊥BD.解(1)如圖所示，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|b|＝1，|c|＝2.a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cos120°＝－1.∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b＝1＋1＋22－2－2＝2.∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(2).即AC1長為eq\r(2).(2)∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝b－c，∴eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2＝1＋12－22＝－2.又|eq\o(A1D,\s\up6(→))|2＝(b－c)2＝b2＋c2－2b·c＝1＋4＋2＝7，∴|eq\o(A1D,\s\up6(→))|＝eq\r(7).∴cos〈eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AC1,\s\up6(→))·\o(A1D,\s\up6(→)),|\o(AC1,\s\up6(→))||\o(A1D,\s\up6(→))|)＝eq\f(－2,\r(2)×\r(7))＝－eq\f(\r(14),7).∴異面直線AC1與A1D所成角的余弦值為eq\f(\r(14),7).(3)證明：∵eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b－a，∴eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1－(－1)＝0.∴eq\o(AA1,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，即AA1⊥BD.觸類旁通eq\a\vs4\al(1空間向量數(shù)量積計算的兩種方法,①基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.,②坐標法：設(shè)a＝x1，y1，z1，b＝x2，y2，z2，則a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.)(2)利用數(shù)量積解決有關(guān)垂直、夾角、長度問題①a≠0，b≠0，a⊥b?a·b＝0.②|a|＝eq\r(a2).③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝eq\r(14)，若(a＋b)·c＝7，則a與c的夾角為()A．30° B．60°C．120° D．150°答案C解析由于a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，即a·c＝－7.又|a|＝eq\r(12＋22＋32)＝eq\r(14)，所以cos〈a，c〉＝eq\f(a·c,|a||c|)＝－eq\f(1,2)，所以〈a，c〉＝120°.4．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M為PC的中點．(1)求證：PB⊥DM；(2)求AC與PD所成角的余弦值．解(1)證明：結(jié)合圖形知，eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DP,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))－\o(AD,\s\up6(→))＋\o(AB,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，則eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\