高考數(shù)學優(yōu)質二診模擬試題分類匯編專題06立體幾何

立體幾何單選1．（廣東省廣州市2023屆高三二模）木升在古代多用來盛裝糧食作物，是農家必備的用具，如圖為一升制木升，某同學制作了一個高為40的正四棱臺木升模型，已知該正四棱臺的所有頂點都在一個半徑為50的球O的球面上，且一個底而的中心與球O的球心重合，則該正四棱臺的側面與底面所成二面角的正弦值為（

） B． C． D．【詳解】如圖：正四棱臺，由題意可知：是底面正方形的中心也是球O的球心，且,所以,進而可得取的中點為，過的中點作，連接,所以,,故,在直角三角形中，故，由于,所以即為正四棱臺的側面與底面所成二面角，故正弦值為，故選：A2．（廣東省深圳市2023屆高三二模）設表面積相等的正方體、正四面體和球的體積分別為、和，則（

）A． B． C． D．【詳解】設正方體棱長為，正四面體棱長為，球的半徑為，面積為.正方體表面積為，所以，所以，；如圖，正四面體，為的中點，為的中心，則是底面上的高.則，，所以，所以，所以，正四面體的表面積為，所以.又為的中心，所以.又根據(jù)正四面體的性質，可知，所以，所以，；球的表面積為，所以，所以，.因為，所以，，所以，.故選：B.3．（山東省濟南市2023屆高三二模）17世紀30年代，意大利數(shù)學家卡瓦列利在《不可分量幾何學》一書中介紹了利用平面圖形旋轉計算球體體積的方法.如圖，是一個半圓，圓心為O，ABCDOE為軸將該平面圖形旋轉一周，記△OCD，陰影部分，半圓所形成的幾何體的體積分別為，，，則下列說法正確的是（

） B． C． D．【詳解】由旋轉體的概念可得：△OCD、陰影部分、半圓所形成的幾何體分別為圓錐、圓柱減去同半徑的半球、半球，易知OE=DE，設DE=OE=r.故，，，顯然，且.故選：D.4．（浙江省杭州市2023屆高三下學期教學質量檢測（二模））如圖，點、、、、為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線平面的是（

）A． B．C． D．【詳解】對于A選項，如下圖所示，在正方體中，且，因為、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，因為平面，平面，所以，平面，同理可證平面，因為，、平面，所以，平面平面，因為平面，故平面，A滿足；對于B選項，如下圖所示，連接，在正方體中，且，因為、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，故，因為、分別為、的中點，則，所以，，因為平面，平面，所以，平面，B滿足；對于C選項，如下圖所示，在正方體中，取的中點，連接、、，因為且，、分別為、的中點，所以，且，故四邊形為平行四邊形，則，因為、分別為、的中點，所以，，則，所以，、、、四點共面，因為且，則四邊形為平行四邊形，所以，，因為、分別為、的中點，則，所以，，因為平面，平面，所以，平面，C滿足；對于D選項，如下圖所示，在正方體中，取的中點，連接、、、、、，因為且，、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則，因為、分別為、的中點，所以，，故，所以，、、、四點共面，同理可證，故，同理可得，，反設平面，因為，且平面，則平面，但與平面有公共點，這與平面矛盾，故平面，D不滿足.故選：D.多選5．（廣東省佛山市2023屆高三二模）四面體中，，，，，，平面與平面的夾角為，則的值可能為（

）A． B． C． D．【詳解】在四面體中，，，則是二面角的平面角，如圖，，而，，，，因為平面與平面的夾角為，則當時，，當時，，所以的值可能為，.故選：AD6．（廣東省廣州市2023屆高三二模）已知正四面體的棱長為2，點，分別為和的重心，為線段上一點，則下列結論正確的是（

）A．若取得最小值，則B．若，則平面C．若平面，則三棱錐外接球的表面積為D．直線到平面的距離為【詳解】將正四面體放入正方體中，以點為原點，以，，所在直線為軸，軸，軸，如圖所示，因為正四面體的長為2，所以正方體的棱長為，則，，，因為點，分別為和的重心，所以點的坐標為，點的坐標為所以設，則，所以，所以，，對于Ａ：因為，，所以，當時，即，，取得最小值，故A錯誤；對于B：若，則，所以，因為，，設平面的一個法向量為，則，取，則，因為，所以平面，即平面，故B正確；對于C：若平面，則，即，，即，設平面的一個法向量為，因為，，則，取，則，因為，所以平面，則三棱錐外接球的球心在直線上，又因為點為等邊三角形的重心，所以點為等邊三角形的外心，外接圓半徑為，設三棱錐外接球的半徑為，則，即，解得，所以三棱錐P－ABC外接球的表面積為，故C選項正確；對于D：因為點的坐標為，點的坐標為，所以，設平面的一個法向量為，因為，，所以，取，則，因為，且直線平面，所以直線平面，所以點到平面的距離就是直線到平面的距離，則點到平面的距離，即直線到平面的距離為，故D正確，故選：BCD．7．（廣東省深圳市2023屆高三二模）如圖，在矩形AEFC中，，EF=4，B為EF中點，現(xiàn)分別沿AB、BC將△ABE、△BCF翻折，使點E、F重合，記為點P，翻折后得到三棱錐P-ABC，則（

）A．三棱錐的體積為 B．直線PA與直線BC所成角的余弦值為C．直線PA與平面PBC所成角的正弦值為 D．三棱錐外接球的半徑為【詳解】由題意可得，又平面，所以平面，在中，，邊上的高為，所以，故A錯誤；對于B，在中，，，所以直線PA與直線BC所成角的余弦值為，故B正確；對于C，，設點到平面的距離為，由，得，解得，所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為，故C錯誤；由B選項知，，則，所以的外接圓的半徑，設三棱錐外接球的半徑為，又因為平面，則，所以，即三棱錐外接球的半徑為，故D正確.故選：BD.8．（湖北省武漢市2023屆高三下學期四月調研）三棱錐中，，，，直線PA與平面ABC所成的角為，直線PB與平面ABC所成的角為，則下列說法中正確的有（

）A．三棱錐體積的最小值為B．三棱錐體積的最大值為C．直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時，二面角的平面角為銳角D．直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時，二面角的平面角為鈍角【詳解】如圖（1）所示，作平面，連接，因為直線PA與平面ABC所成的角為，直線PB與平面ABC所成的角為，所以，即所以，即，以所在的直線為軸，以的垂直平分線為軸，建立如圖（2）平面直角坐標系，設，，，則，整理得，可得圓心，半徑，設點圓與軸的交點分別為，可得，因為，所以又由且，所以，則，，所以A正確，B錯誤；因為，可設，設與平面所成角為，且，可得，且，又由，令，根據(jù)斜率的結合意義，可得表示圓與定點連線的斜率，又由與圓相切時，可得，解得或，即，當時，此時取得最小值，即最小時，此時H在外部，如圖（3）所示，此時二面角的平面角為銳角，的平面角為鈍角，所以C、D正確．故選：ACD．9．（山東省濟南市2023屆高三二模）如圖所示，在菱形中，，分別是線段的中點，將沿直線折起得到三棱錐，則在該三棱錐中，下列說法正確的是（

）A．直線平面B．直線與是異面直線C．直線與可能垂直D．若，則二面角的大小為【詳解】對于A，分別為中點，，平面，平面，平面，A正確；對于B，平面，平面，，與為異面直線，B正確；對于C，設菱形的邊長為，又，則，，，，，，即與不可能垂直，C錯誤；對于D，取中點，連接，為等邊三角形，，，即為二面角的平面角，設菱形的邊長為，則，，，又，，解得：，二面角的大小為，D正確.故選：ABD.10．（浙江省杭州市2023屆高三下學期教學質量檢測（二模））如圖圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，，為圓柱上下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則（

）A．球與圓柱的體積之比為B．四面體CDEF的體積的取值范圍為C．平面DEF截得球的截面面積最小值為D．若P為球面和圓柱側面的交線上一點，則的取值范圍為【詳解】對于A，球的體積為，圓柱的體積，則球與圓柱的體積之比為，A正確；對于B，設為點到平面的距離，，而平面經過線段的中點，四面體CDEF的體積，B錯誤；對于C，過作于，如圖，而，則，又，于是，設截面圓的半徑為，球心到平面的距離為，則，又，則平面DEF截球的截面圓面積，C錯誤；對于D，令經過點P的圓柱的母線與下底面圓的公共點為Q，連接，當與都不重合時，設，則，當與之一重合時，上式也成立，因此，，則，令，則，而，即，因此，解得，所以的取值范圍為，D正確.故選：AD填空11．（湖北省武漢市2023屆高三下學期四月調研）半正多面體亦稱“阿基米德體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體．如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體，它的各棱長都相等，其中八個面為正三角形，六個面為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體．則得到的二十四等邊體與原正方體的體積之比為______．【詳解】設棱長為2，則所以原正方體的體積為，所以二十四等邊體為，所以二十四等邊體與原正方體的體積之比為．故答案為：.解答12．（廣東省佛山市2023屆高三二模）中國正在由“制造大國”向“制造強國”邁進，企業(yè)不僅僅需要大批技術過硬的技術工人，更需要努力培育工人們執(zhí)著專注、精益求精、一絲不茍、追求卓越的工匠精神，這是傳承工藝、革新技術的重要基石．如圖所示的一塊木料中，是正方形，平面，，點，是，的中點．(1)若要經過點和棱將木料鋸開，在木料表面應該怎樣畫線，請說明理由并計算截面周長；(2)若要經過點B，E，F(xiàn)將木料鋸開，在木料表面應該怎樣畫線，請說明理由．【詳解】（1）因為平面，平面，所以平面，又平面，設平面平面，則，設的中點為，連接，則，又，所以，即為，就是應畫的線，因為平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，即截面為直角梯形，又，所以，，所以，截面周長為；（2）以點為坐標原點，，，分別為，，軸的正向建立空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，設平面的法向量為，則，令，可得，設平面，設，又，∴，，由，可得，即，即為的三等分點，連接，即就是應畫的線.13．（廣東省廣州市2023屆高三二模）如圖，在直三棱柱中，，點D是的中點，點E在上，平面.(1)求證：平面平面；(2)當三棱錐的體積最大時，求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）取中點，連接、，如圖所示：，點是的中點，，又是的中點，，又在直三棱柱中，有，平面，平面，平面，且面，平面平面，，平面，且平面，，又，且、平面，平面，又，平面，平面，面平面.（2）由（1）知平面，則，設，則，，，，由基本不等式知，當且僅當時等號成立，即三棱錐的體積最大，此時，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則有，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則有，取，解得，設直線與平面所成的角為，，故直線與平面所成角的正弦值為.14．（廣東省深圳市2023屆高三二模）在三棱柱中，，，.(1)證明:；(2)若，，求平面與平面夾角的余弦值.【詳解】（1）設的中點為，連接因為，所以，又因為且，所以，因為平面，且，所以平面,因為平面，所以,又因為是的中點，所以.（2）在中，由余弦定理求得則因為，所以，解得,在和中，可知.在中，，因此.由(1)知，，且平面，且，所以平面.以所在直線分別為x軸，y軸，z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則.所以,設平面的法向量為,則,,令，得.設平面的法向量為,則,即令，得,設平面與平面夾角為,則,所以平面與平面夾角的余弦值為.15．（湖北省武漢市2023屆高三下學期四月調研）如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點．將沿EF翻折至，得到四棱錐，P為的中點．(1)證明：平面；(2)若平面平面EFCB，求直線與平面BFP所成的角的正弦值．【詳解】（1）取的中點Q，連接,則有，且，又，且，故，且，則四邊形EFPQ為平行四邊形，則，又平面，平面，故平面．（2）取EF中點O，BC中點G，由平面平面EFCB，且交線為EF，故平面EFCB，此時，兩兩垂直，以O為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則可得，，，，由P為中點，故，則，，，設平面BFP的法向量，則，即，故取，故所求角的正弦值為，所以直線與平面BFP所成的角的正弦值為．16．（山東省濟南市2023屆高三二模）如圖，在正三棱臺ABC—DEF中，M，N分別為棱AB，BC的中點，.(1)證明：四邊形MNFD為矩形；(2)若四邊形MNFD為正方形，求直線BC與平面ACFD所成角的正弦值.【詳解】（1）延長,則相交于一點,連接,M，N分別為棱的中點，所以且，由于，所以又，所以,所以四邊形為平行四邊形，在三棱錐中，,所以,進而得,又,因此所以，故四邊形為矩形（2）由可知分別是的中點，所以,又四邊形為正方形，所以，所以,由于三棱錐為正三棱錐，且，因此三棱錐為正四面體，因此直線BC與平面ACFD所成的角即為直線與平面所成角，取的中心為,連接,則平面，所以為直線與平面所成角，設四面體的棱長為，在中，由正弦定理可得，，在中，,故直線