剛體力學(xué)學(xué)習(xí)資料課件

例6-3質(zhì)量為m的空間站沿半徑為r的圓周繞月運動.在圓軌道P點向前發(fā)射一質(zhì)量m1的物體以使空間站在月球表面登陸。求m1的發(fā)射速度v1(已知月球質(zhì)量mm半徑Rm)月球p空間站發(fā)射m1的物體,軌道切線方向動量守恒空間站在新橢圓軌道，對月球中心點角動量守恒空間站在新橢圓軌道，機械能守恒例6-2人造衛(wèi)星繞地球作圓周運動，受空氣摩擦阻力，衛(wèi)星速度和軌道半徑如何變化？衛(wèi)星受空氣摩擦阻力，阻力的元功質(zhì)點系動量y方向分量守恒xByA繩伸直時，質(zhì)點A對固定點B角動量守恒4．一圓錐擺的擺線長為L，擺錘的質(zhì)量為

m

，圓錐的半頂角為α。試求當(dāng)擺錘從圖中位置

A

沿圓周勻速運動到位置B的過程中張力的沖量。解：設(shè)繩中張力為，擺錘的運動周期為。對擺錘應(yīng)用牛頓第二定律：其中，又知：豎直方向：水平方向：4從到位置應(yīng)用對擺錘應(yīng)用動量定理：即解得：5§7.1剛體運動的描述第七章剛體力學(xué)§7.1.2剛體繞固定軸的轉(zhuǎn)動§7.1.1剛體的平動§7.1.3角速度矢量§7.1.4剛體的平面運動剛體——是受力時不改變形狀和體積的物體.是理想模型.特點(1)是一個質(zhì)點組（剛體可以看成由許多質(zhì)點組成，每一個質(zhì)點叫做剛體的一個質(zhì)元.）(2)組內(nèi)任意兩點間的距離保持不變.第七章剛體力學(xué)§7.1.1

剛體的平動O平動——剛體運動時,剛體內(nèi)任一直線恒保持平行的運動.§7.1剛體運動的描述動畫演示取參考點O

結(jié)論：剛體平動時,其上各點具有相同的速度、加速度及相同的軌跡.可用一個質(zhì)點的運動代替剛體的運動.O取參考點O

結(jié)論：剛體平動時,其上各點具有相同的速度、加速度及相同的軌跡.可用一個質(zhì)點的運動代替剛體的運動.O轉(zhuǎn)動：剛體運動時,其上各質(zhì)元都繞同一直線作圓周運動.這種運動稱轉(zhuǎn)動.該直線稱為轉(zhuǎn)軸.若轉(zhuǎn)軸不動，稱定軸轉(zhuǎn)動.§7.1.2剛體繞固定軸的轉(zhuǎn)動OO’(1)剛體上各點都在垂直于固定軸的平面內(nèi)(轉(zhuǎn)動平面)做圓周運動.其圓心都在一條固定不動的直線(轉(zhuǎn)軸)上.(2)剛體上各點到轉(zhuǎn)軸的垂直線在同樣的時間內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角度都相同.因而用角量描述剛體的運動.1.定軸轉(zhuǎn)動特征xOp稱角位置或角坐標(biāo).規(guī)定逆時針轉(zhuǎn)向為正.2.定軸轉(zhuǎn)動的描述(1)角坐標(biāo)剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動學(xué)方程(2)角位移

為t時間內(nèi)剛體所轉(zhuǎn)過的角度.

=

(t)xOp(3)角速度在定軸轉(zhuǎn)動中,轉(zhuǎn)向只可能有兩個方向.取逆時針轉(zhuǎn)動>0，順時針轉(zhuǎn)動<0.每分轉(zhuǎn)n轉(zhuǎn)

角速度xOP(t)P(t+t

)+(4)角加速度可正可負,當(dāng)與

同號時,轉(zhuǎn)動加快,異號時減慢.角加速度勻變速轉(zhuǎn)動=常量與質(zhì)點勻變速直線運動公式相對應(yīng).(5)剛體定軸轉(zhuǎn)動運動方程勻速轉(zhuǎn)動=常量(6)角量與線量的關(guān)系線量——質(zhì)點做圓周運動的位移r、速度v、加速度a

角量——描述剛體轉(zhuǎn)動整體運動的注:r的原點必須在轉(zhuǎn)軸上.弧長線速度切向加速度法向加速度r

sOxy角量與線量的矢量關(guān)系式為OP§7.1.3角速度矢量O

角速度是矢量，其方向沿轉(zhuǎn)軸且與剛體轉(zhuǎn)動方向成右手螺旋系統(tǒng).

若剛體同時參與兩個軸的轉(zhuǎn)動，則合成角速度按平行四邊形法則進行合成.O注：角速度總是與無限小角位移相聯(lián)系,無限小角位移是矢量,所以角速度也是矢量.而有限角位移不是矢量.角速度和角加速度在直角坐標(biāo)系的正交分解式為其中剛體作定軸轉(zhuǎn)動，令轉(zhuǎn)軸與z

軸重合，有§7.1.4剛體的平面運動剛體的平面運動——剛體內(nèi)所有的點都平行于某一平面而運動.如車輪滾動等.動畫演示1.剛體的平面運動特點：(1)每一質(zhì)元軌跡都是一條平面曲線，質(zhì)心始終落在一個平面上.(3)剛體內(nèi)垂直于固定平面的直線上的各點，運動狀況都相同.(2)轉(zhuǎn)軸總是保持平行，并與固定平面垂直.(4)可用與固定平面平行的平面在剛體內(nèi)截出一平面圖形來代表剛體.2.平面運動的方程剛體平面運動=B點平動+繞B點軸轉(zhuǎn)動

建立坐標(biāo)系Oxyz，使平面圖形在Oxyz面內(nèi),z軸與屏幕垂直.

在平面上任取一點B，稱為基點，以基點B為原點建各坐標(biāo)軸平行于Oxyz的動坐標(biāo)系Bx′y′z′.BBBAAA′A122′3.平面運動的剛體上任意一點的速度平面上A點相對于Oxyz系的位置矢量剛體繞過基點的角速度4.無滑滾動(純滾動)條件(1)有滑動滾動和無滑動滾動有滑滾動——接觸面之間有相對滑動的滾動(摩擦力不夠大).無滑滾動——接觸面之間無相對滑動的滾動(摩擦力足夠大)也稱純滾動.無滑滾動條件:當(dāng)邊緣上一點P與支承面接觸的瞬時，[證]以圓柱體中心軸線上一點C為基點,則邊緣上一點AxyOCP實際上,當(dāng)柱體繞中心轉(zhuǎn)動,其中心軸前進的距離ryC2r微分§7.2剛體的動量和質(zhì)心運動定理§7.2.1剛體的質(zhì)心§7.2.2剛體的動量和質(zhì)心運動定理§7.2剛體的動量和質(zhì)心運動定理§7.2.1剛體的質(zhì)心在O-xyz坐標(biāo)中，質(zhì)點系的質(zhì)心坐標(biāo)為對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體,剛體是特殊質(zhì)點系，上述各式同樣適用于剛體.引入體密度均質(zhì)物體[例題1]求質(zhì)量均勻，半徑為R的半球的質(zhì)心位置.[解]

設(shè)半球的密度為，將半球分割成許多厚為dx的圓片，任取其一由對稱性得xROyzy[例題2]

在半徑為R的均質(zhì)等厚大圓板的一側(cè)挖掉半徑為R/2的小圓板,大小圓板相切,如圖所示.求余下部分的質(zhì)心.xyO[解]

由對稱性，yc=0余下部分設(shè)平板面密度為,大圓板小圓板§7.2.2剛體的動量和質(zhì)心運動定理剛體動量質(zhì)心運動定律質(zhì)心加速度剛體的總質(zhì)量剛體所受的外力矢量和[例題3]一圓盤形均質(zhì)飛輪質(zhì)量為m=5.0kg，半徑為r=0.15m,轉(zhuǎn)速為n=400r/min.飛輪作勻速轉(zhuǎn)動.飛輪質(zhì)心距轉(zhuǎn)軸d=0.001m，求飛輪作用于軸承的壓力.計入飛輪質(zhì)量但不考慮飛輪重量（這意味著僅計算由于飛輪的轉(zhuǎn)動使軸承受到的壓力，不考慮飛輪所受重力對該壓力的影響）.[解]根據(jù)質(zhì)心運動定理§7.3剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量·轉(zhuǎn)動慣量§7.3.1剛體定軸轉(zhuǎn)動對軸上一點的角動量§7.3.2剛體對一定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量§7.3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和轉(zhuǎn)動定理§7.3.4剛體的重心§7.3.5典型例子§7.3剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量·轉(zhuǎn)動慣量§7.3.1剛體定軸轉(zhuǎn)動對軸上一點的角動量1.轉(zhuǎn)軸為對稱軸zm1m2Or1r2如圖,對O點因m1=m2=m故總角動量2.轉(zhuǎn)軸為非對稱軸zm1m2O21如圖,對O點同樣有總角動量與轉(zhuǎn)軸成角.

剛體繞對稱軸轉(zhuǎn)動時，剛體上任一點的角動量與角速度方向相同.一般情況，剛體定軸轉(zhuǎn)動對軸上一點的角動量并不一定沿角速度的方向，而是與之成一定夾角.§7.3.2剛體對一定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)點系對點的角動量設(shè)剛體繞Oz軸轉(zhuǎn)動，剛體角動量在z軸的投影剛體對z軸轉(zhuǎn)動慣量剛體對z軸角動量轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動慣性的量度.1.轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量連續(xù)分布的剛體其中、、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度.轉(zhuǎn)軸的位置;質(zhì)量分布.總質(zhì)量；轉(zhuǎn)動慣量的決定因素：(1)轉(zhuǎn)軸過中心與桿垂直取質(zhì)元：(2)轉(zhuǎn)軸過棒一端與棒垂直例1:勻質(zhì)細桿的

J

。

dmdm[例1]求均質(zhì)圓盤(m,R)過圓心且與板面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量

.[解]xyzrdr盤由許多環(huán)組成2.幾種典型形狀剛體的轉(zhuǎn)動慣量圓筒圓環(huán)I=mR2ωRmO′

O圓柱ωR2R1細圓棒ωR圓球球殼ωR3.回轉(zhuǎn)半徑任何轉(zhuǎn)動慣量均有I=mk2k稱為回轉(zhuǎn)半徑質(zhì)量相同的剛體，I，k(1)平行軸定理ABCdxmi

iii對CA軸平行C軸（質(zhì)心軸）對A由圖故：——平行軸定理4.反映轉(zhuǎn)動慣量性質(zhì)的定理(2)垂直軸定理（正交軸定理）mi

ixyzyixiO(3)可疊加原理

若一個復(fù)雜形狀的物體是由許多簡單形體組成，則這個復(fù)雜物體的對某軸的轉(zhuǎn)動慣量等于各簡單形體對同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量之疊加.例質(zhì)量為m半徑為R長為l的實圓柱體對中心直徑的轉(zhuǎn)動慣量取x-x+dx處質(zhì)量dm的薄盤§7.3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和轉(zhuǎn)動定理剛體對定軸的角動量角動量定理微分形式角動量定理積分形式剛體定軸轉(zhuǎn)動I=常量剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理說明：★注意：1.隔離法分析研究對象，建立坐標(biāo)系。2.對剛體列轉(zhuǎn)動定律方程，對質(zhì)點列牛頓定律方程。3.列出輔助方程。七、轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用（重點）

⑴力矩和轉(zhuǎn)動慣量必須對同一轉(zhuǎn)軸而言。

⑵選定轉(zhuǎn)軸正方向,以確定力矩、角加速度、角速度的正負。⑶當(dāng)系統(tǒng)中既有轉(zhuǎn)動物體，又有平動物體時,用隔離法解題。對轉(zhuǎn)動物體用轉(zhuǎn)動定律建立方程,對平動物體則用牛頓定律建立方程。解:隔離法列出運動方程從以上各式解得T2T1m1gm2gm2m1輔助方程：①②③④T1T2mOm2m1am例4:已知一、質(zhì)點的運動規(guī)律和剛體定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律的對比(一)質(zhì)點運動剛體定軸轉(zhuǎn)動速度角速度加速度角加速度質(zhì)量

m

,

力

F轉(zhuǎn)動慣量

J

,力矩

M力的功力矩的功動能轉(zhuǎn)動動能勢能轉(zhuǎn)動勢能質(zhì)點的運動規(guī)律和剛體定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律的對比(二)質(zhì)點運動剛體定軸轉(zhuǎn)動牛頓定律轉(zhuǎn)動定律動量定理角動量定理動量守恒角動量守恒動能定理轉(zhuǎn)動動能定理機械能守恒機械能守恒§7.3.4剛體的重心重心——剛體處于不同方位時,重力作用線都要通過的那一點.

如圖,被懸掛剛體處于靜止,C為重心,因C不動,可視為轉(zhuǎn)軸.因為剛體靜止,所以諸體元重力對C軸合力矩為零.xzCyABDWCCABDW則重心坐標(biāo)與質(zhì)心坐標(biāo)同，但概念不同.質(zhì)心是質(zhì)量中心，其運動服從質(zhì)心運動定理.重心是重力合力作用線通過的那一點.若取[例題2]如圖(a)表示半徑為R的放水弧形閘門，可繞圖中左方支點轉(zhuǎn)動，總質(zhì)量為m,質(zhì)心在距轉(zhuǎn)軸處，閘門及鋼架對質(zhì)點的總轉(zhuǎn)動慣量為,可用鋼絲繩將弧形閘門提起放水，近似認為在開始提升時鋼架部分處于水平，弧形部分的切向加速度為a=0.1g，g為重力加速度,不計摩擦,不計水浮力.圖(a)（1）求開始提升時的瞬時，鋼絲繩對弧形閘門的拉力和支點對閘門鋼架的支承力.（2）若以同樣加速度提升同樣重量的平板閘門[圖(b)]需拉力是多少？圖(b)xyO圖(a)[解]（1）以弧形閘門及鋼架為隔離體，受力如圖(a)所示.建立直角坐標(biāo)系Oxy，向x及y軸投影得根據(jù)轉(zhuǎn)動定理起動時根據(jù)質(zhì)心運動定理即起動瞬時繩對閘板的拉力為，質(zhì)點O對閘門鋼架的支承力豎直向上，大小等于29mg/90.圖(b)(2)用表示提升平板形閘門所用的拉力，對閘門應(yīng)用牛頓第二定律，得：比較上面結(jié)果，可見提升弧形閘門所用的拉力較小.[例題3]如圖表示一種用實驗方法測量轉(zhuǎn)動慣量的裝置。待測剛體裝在轉(zhuǎn)動架上，線的一端繞在轉(zhuǎn)動架的輪軸上，線與線軸垂直，輪軸的軸體半徑為r，線的另一端通過定滑輪懸掛質(zhì)量為m的重物，已知轉(zhuǎn)動架慣量為I0

，并測得m自靜止開始下落h高度的時間為t,求待測物體的轉(zhuǎn)動慣量I，不計兩軸承處的摩擦，不計滑輪和線的質(zhì)量，線的長度不變.hII0rm[解]分別以質(zhì)點m和轉(zhuǎn)動系統(tǒng)I+I0

作為研究對象，受力分析如圖.xyO角動量定理微分形式角動量定理積分形式例P2367-8o1o2§7.4剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理§7.4.1力矩的功§7.4.2剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理§7.4.3剛體的重力勢能對有限角位移作用于剛體的外力的功，可用外力對轉(zhuǎn)軸的力矩所做的功來計算.力矩的功率：§7.4.1力矩的功剛體中P點在力的作用下位移則力元功OzP§7.4.2剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理

當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時,其動能為所有質(zhì)點作圓周運動動能的總和.任意質(zhì)元的動能為：1.定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能剛體的動能2.定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定理

作用于剛體的外力對固定軸的力矩所做的功等于剛體繞定軸轉(zhuǎn)動動能的改變量.不變質(zhì)點系,內(nèi)力做功之和為零§7.4.3剛體的重力勢能

剛體的重力勢能與質(zhì)量集中在質(zhì)心上的一個質(zhì)點的重力勢能相同.剛體的重力勢能[例題1]裝置如圖所示，均質(zhì)圓柱體質(zhì)量為m1，半徑為R，重錘質(zhì)量為m2

，最初靜止，后將重錘釋放下落并帶動柱體旋轉(zhuǎn)，求重錘下落h高度時的速率v，不計阻力，不計繩的質(zhì)量及伸長.hR[解]方法1.利用質(zhì)點和剛體轉(zhuǎn)動的動能定理求解.由質(zhì)點動能定理由剛體動能定理約束關(guān)系聯(lián)立得方法2.利用質(zhì)點系動能定理求解將轉(zhuǎn)動柱體、下落物體視作質(zhì)點系由質(zhì)點系動能定理約束關(guān)系聯(lián)立得[例題2]均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，長為l,一端為光滑的支點.最初處于水平位置，釋放后桿向下擺動，如圖所示.（1）求桿在圖示的豎直位置時，其下端點的線速度v；（2）求桿在圖示的豎直位置時，桿對支點的作用力.O[解](1)由機械能守恒得聯(lián)立得CEp=0(2)根據(jù)質(zhì)心運動定理分量式

例５：質(zhì)量為M

，長

l的勻質(zhì)細桿一端懸掛于光滑的O點，質(zhì)量為

m

的子彈以水平速度

v

從

A

點射入桿并陷入其中，使桿轉(zhuǎn)動的最大角度為

30°。已知

OA

=l′，求：子彈入射速度。①⑵桿擺動過程僅重力矩做功，系統(tǒng)機械能守恒：聯(lián)立①②解得：30°解：兩個物理過程⑴子彈以

v

射入桿內(nèi)與桿獲得共同角速度

ω

的過程，系統(tǒng)角動量守恒：②p241例7-11：⑵環(huán)m與桿系統(tǒng)在環(huán)從A到B

的過程系統(tǒng)機械能守恒：⑴環(huán)m與桿系統(tǒng)在環(huán)從A到B

的過程，系統(tǒng)角動量守恒：：②§7.5剛體平面運動的動力學(xué)§7.5.1剛體平面運動的基本動力學(xué)方程§7.5.2作用于剛體上的力§7.5.3剛體平面運動的動能§7.5.4滾動摩擦力偶矩§7.5.5汽車輪的受力汽車的極限速度§7.5剛體平面運動的動力學(xué)§7.5.1剛體平面運動的基本動力學(xué)方程平面運動=平動+定軸轉(zhuǎn)動1.求質(zhì)心的運動根據(jù)質(zhì)心運動定律m—剛體的質(zhì)量.—所有外力的矢量和,剛體作平面運動，受力必是平面力直角坐標(biāo)系中的分量式(7.5.1)2.剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動在質(zhì)心系中剛體作定軸轉(zhuǎn)動.

選質(zhì)心坐標(biāo)系Cx’y’z’,設(shè)z’為過質(zhì)心而垂直于固定平面的軸.在質(zhì)心系中M外i’—外力對質(zhì)心的力矩,又

M慣=0M慣—慣性力對質(zhì)心力矩.

即剛體相對于質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動同樣服從定軸轉(zhuǎn)動定律.式(7.5.1)和(7.5.2)稱剛體平面運動的基本動力學(xué)方程.(7.5.2)§7.5.2作用于剛體上的力1.作用于剛體上力的兩種效果·滑移矢量(1)施于剛體的力的特點作用力通過質(zhì)心，對質(zhì)心軸上的力矩為零，使剛體產(chǎn)生平動.力作質(zhì)心軸的力矩使剛體產(chǎn)生角加速度.施于剛體的某個點的力,決不可以隨便移到另一點去.AB(2)施于剛體的力是滑移矢量

右圖中,施于A點的力F′可用施于B點的力F′′代替,即力可沿作用線滑移.ABC作用于剛體的力的三要素：大小、方向和作用線.2.力偶和力偶矩力偶:大小相等方向相反彼此平行的一對力.大小與參考點的選擇無關(guān).Odm1m2

一般作用于剛體的力等效于一作用線通過質(zhì)心的力和一力偶，這力的方向和大小與原力相同，而力偶矩等于原力對質(zhì)心軸的力矩.§7.5.3剛體平面運動的動能動能動能定理

如果剛體不太大，若剛體在運動中只有保守力作功，則系統(tǒng)的機械能也守恒.[例題1]如圖，固定斜面傾角為，質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)圓柱體順斜面向下作無滑滾動，求圓柱體質(zhì)心的加速度ac及斜面作用于柱體的摩擦力F.xyOCx′y′[解]根據(jù)質(zhì)心運動定理y軸上投影對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理無滑滾動[例題2]質(zhì)量為m的汽車在水平路面上急剎車，前后輪均停止轉(zhuǎn)動.前后輪相距L，與地面的摩擦因數(shù)為

.汽車質(zhì)心離地面高度為h，與前輪軸水平距離為l.求前后車輪對地面的壓力.OCxyx′y′[解]

汽車受力如圖.y軸投影對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理根據(jù)質(zhì)心運動定理由上面方程可解出根據(jù)牛頓第三定律，前后輪對地面的壓力大小分別為FN1、FN2

，但方向向下.[例題3]

在例題1中，設(shè)圓柱體自靜止開始滾下，求質(zhì)心下落高度h時，圓柱體質(zhì)心的速率.xyOCx′y′[解]

因為是無滑滾動，靜摩擦力F不做功，只有重力W做功，機械能守恒.無滑滾動條件例7-15質(zhì)量為m,長為L的均質(zhì)桿,其B端放在桌上,A端用手支住,使桿水平,突然釋放A端,在此瞬時,求1.桿質(zhì)心的加速度2.