新湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修·第二冊第2章 空間向量與立體幾何 章末復(fù)習(xí)課 課件（共20張PPT）

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章末復(fù)習(xí)課

知識網(wǎng)絡(luò)·形成體系

考點聚焦·分類突破

考點一空間向量的概念及運算

1．空間向量可以看作是平面向量的推廣，有許多概念和運算與平面向量是相同的，如模、零向量、單位向量、相等向量、相反向量等概念，加減法的三角形法則和平行四邊形法則，數(shù)乘運算與向量共線的判斷、數(shù)量積運算、夾角公式、求模公式等．

2．通過對空間向量的概念及運算的考查，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．

例1(1)如圖，空間四邊形OABC中，＝a，＝b，＝c，點M在線段OA上，且OM＝2MA，點N為BC的中點，則＝()

A．－a＋b＋c

B．a(chǎn)－b＋c

C．a(chǎn)＋b－c

D．a(chǎn)＋b－c

答案：A

解析：(1)＝＝＝－＝－，

∵＝a，＝b，＝c，∴＝－a＋b＋c.

(2)正四面體ABCD的棱長為2，點E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點，則·的值為()

A．4B．－4

C．－2D．2

答案：C

解析：∵＝＝，

∴·＝()·＝＋·

＝×22cos60°－22＋×22×cos60°＝－2.

考點二利用空間向量證明線面位置關(guān)系

1．用空間向量判斷空間中位置關(guān)系的類型有：線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直；判斷證明的基本思想是轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系或者利用平面的法向量，利用向量的共線和垂直進行證明．

2．通過對用空間向量證明直線、平面的平行與垂直的考查，提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．

例2如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.求證：

(1)AF∥平面BDE；

(2)CF⊥平面BDE.

證明：(1)設(shè)AC與BD交于點G.因為EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1，

所以四邊形AGEF為平行四邊形，所以AF∥EG，因為EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面BDE.

(2)因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，

所以CE⊥平面ABCD.

如圖，以C為原點，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則C(0，0，0)，A(，0)，B(0，，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，F(xiàn)(，，1)．

所以＝(，1)，＝(0，－，1)，＝(－，0，1)．所以·＝0－1＋1＝0，·＝－1＋0＋1＝0.

所以CF⊥BE，CF⊥DE.

又BE＝E，所以CF⊥平面BDE.

考點三利用空間向量求空間角

1．空間角的計算公式

(1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為v1，v2，則l1，l2的夾角θ滿足cosθ＝|cos〈v1，v2〉|.

(2)設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為v，n，則直線l與平面α的夾角θ滿足sinθ＝|cos〈v，n〉|.

(3)設(shè)n1，n2分別是兩個平面α，β的法向量，則兩平面α，β夾角θ滿足cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.

2．通過對利用向量計算空間角的考查，提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．

例3如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，底面ABCD是梯形，AD∥BC，CD⊥PB，PD＝AD＝AB＝BC＝2.

(1)求證：PD⊥平面ABCD；

(2)若直線PC與平面ABCD所成的角為30°，點E在線段AP上，且＝3，求平面PBD與平面BDE夾角的余弦值．

解析：(1)證明：取BC中點F，連接DF.

∵AD∥BF，且AD＝BF，∴四邊形ABFD為平行四邊形．

則DF＝AB＝BC，于是CD⊥BD.

又∵CD⊥PB，PB＝B，∴CD⊥平面PBD.

又∵PD平面PBD，∴CD⊥PD.

又∵平面PCD⊥平面ABCD且交線為CD，

∴PD⊥平面ABCD.

(2)∵PD⊥平面ABCD，∴∠PCD即為直線PC與平面ABCD所成的角，

∴∠PCD＝30°.又∵PD＝2，∴CD＝AF＝2，BD＝2.

以DB，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，

則D(0，0，0)，B(2，0，0)，A(1，－，0)，P(0，0，2)．

＝(1，－，－2)，＝(2，0，0)，＝(0，0，2)．

∵＝3，∴＝＝(0，0，2)＋(1，－，－2)＝(，－)．

設(shè)平面BDE的法向量n＝(x，y，z)，

由得取n＝(0，4，)．

由(1)可知，DC⊥平面PBD，

所以平面PBD的法向量＝(0，2，0)，

∴cos〈，n〉＝＝＝.

∴平面PBD與平面BDE夾角的余弦值為.

考點四利用空間向量計算距離

1．空間距離的計算公式

(1)直線l外一點P到直線l的距離：PQ＝＝(其中A是l上的定點，是在l上的投影向量，＝a，u是l的單位方向向量)．

(2)平面α外一點P到平面α的距離：PQ＝＝＝(其中A是平面α內(nèi)的定點，n是平面α的法向量)．

2．通過對利用空間向量計算距離的考查，提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．

例4長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中點，P在線段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中點，求：

(1)M到直線PQ的距離；

(2)M到平面AB1P的距離．

解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，

則A(4，0，0)，M(2，3，4)，P(0，4，0)，

Q(4，6，2)，B1(0，0，4)．

(1)∵＝(－2，－3，2)，

＝(－4，－2，－2)，

∴在上的射影的模為＝＝，

∴M到直